高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆第2课时一课一练

第2课时　直线与椭圆的位置关系

基础过关练

题组一　直线与椭圆的位置关系

1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(　　)

A.相切 

B.相交 

C.相离 

D.不确定

2.若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则实数m的取值范围是(　　)

A.(1,+∞)

B.(1,3)∪(3,+∞)

C.(0,3)

D.(-∞,-3)∪(-3,0)∪(1,+∞)

3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为(　　)

A.3 

B.2 

C.2 

D.4

4.若直线y=kx-k+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,则实数m的取值范围是　　　　. 

5.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.

(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;

(2)当直线与椭圆相切时,求直线方程.

题组二　椭圆的弦长与中点弦的问题

6.(2019安徽安庆高二调研)已知直线l过点P(3,-2)且与椭圆C:+=1相交于A,B两点,则使得点P为弦AB中点的直线l的斜率为(　　)

A.-  B.- 

C.     D.

7.过椭圆+=1的一个焦点F作垂直于长轴的弦,则此弦长为(　　)

A.     B.3  C.2  D.

8.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若弦AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)

A.+=1   B.+=1

C.+=1   D.+=1

9.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为(　　)

A.    B.  C.  D.

10.已知椭圆mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)与直线y=1-x交于M,N两点,原点与线段MN中点所连直线的斜率为,则的值是(　　)

A.  B. 

C.  D.

11.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　. 

12.已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,离心率e=,焦点F1,F2在x轴上,过左焦点F1与A作直线交椭圆E于另一点B.

(1)求椭圆E的方程;

(2)求△ABF2的面积.

13.已知过点A(-1,1)的直线l与椭圆+=1交于B,C两点,当直线l绕点A(-1,1)旋转时,求弦BC的中点M的轨迹方程.

题组三　与椭圆有关的综合问题

14.已知椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是(　　)

A.±   B.± 

C.±  D.±

15.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A在直线l上,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则||=(　　)

A.   B.2 

C.   D.3

16.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　. 

17.已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-.

(1)试求动点P的轨迹C的方程;

(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.

18.(2019福建南平芝华中学高二期中)已知中心为坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线l平行于直线OA,且过点(0,t),若直线l与椭圆C有公共点,求t的取值范围.

能力提升练

一、选择题

1.(2019江西南昌高二月考,★★☆)若椭圆+=1的一条弦被点M(1,1)平分,则这条弦所在的直线方程是(　　)

A.x+3y-4=0 B.x-3y+2=0

C.3x-y-2=0 D.3x+y-4=0

2.(2018吉林省实验中学期末,★★☆)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3,则椭圆的离心率为　(　　)

A.   B. 

C.   D.

3.(2018安徽合肥期末,★★☆)已知椭圆x2+=1 和点A,B,若椭圆的某弦的中点在线段AB上,且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值范围为(　　)

A.[-4,-2] B.[-2,-1] 

C.[-4,-1] D.

4.(★★☆)若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为(　　)

A.1   B.-1

C.-   D.

5.(2019东北三校高三第二次模拟,★★★)已知直线y=2x+m与椭圆C:+y2=1相交于A,B两点,O为坐标原点.当△AOB的面积取得最大值时,|AB|=(　　)

A.    B. 

C.    D.

二、填空题

6.(2020河南创新发展联盟高二第三次联考,★★☆)若点P是椭圆E:+y2=1上的动点,则点P到直线l:x-y-3=0距离的最小值是　　　　. 

三、解答题

7.(2020福建南平高三第一次质检,★★☆)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长是离心率的2倍,直线l:4x-4y+3=0交C于A,B两点,且AB的中点横坐标为-.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若M,N是椭圆C上的点,O为坐标原点,且满足|OM|2+|ON|2=,求证:OM,ON斜率的平方之积是定值.

8.(2017湖南岳阳一中期末,★★★)已知圆O:x2+y2=6,P为圆O上一动点,过P作PM⊥x轴于M,N为PM上一点,且=.

(1)求点N的轨迹C的方程;

(2)若A(2,1),B(3,0),过B的直线与曲线C相交于D,E两点,则kAD+kAE是不是定值?若是,请求出该值;若不是,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.B　直线y=kx-k+1可变形为y-1=k(x-1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆+=1的内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆+=1相交,故选B.

2.B　由消去y,整理得(3+m)x2+4mx+m=0.

若直线与椭圆有两个公共点,

则

解得m<0或m>1,且m≠-3,

由+=1表示椭圆,知m>0且m≠3.

综上,m>1且m≠3,故选B.

3.C　设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),

由消去x,得

(3m+n)y2+8my+16m-1=0,

∵直线与椭圆只有一个交点,

∴Δ=192m2-4(3m+n)(16m-1)=0,

整理得3m+n=16mn,

即+=16.①

又c=2,焦点在x轴上,

∴-=4.②

由①②解得m=,n=,

∴长轴长为2.

4.答案　

解析　直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),直线与椭圆总有公共点等价于点(1,1)在椭圆内或在椭圆上,所以+≤1,即m≥,由椭圆的焦点在x轴上得0<m<5,故m∈.

5.解析　(1)联立方程消去y,整理得5x2+2mx+m2-1=0.

∵直线与椭圆有公共点,

∴Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0,

∴-≤m≤.

(2)令Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2=0,

解得m=±,∴直线方程为y=x±.

6.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减得+=0.

又点P(3,-2)为弦AB的中点,

所以x1+x2=6,y1+y2=-4,所以+=0,所以kAB==.故选C.

7.B　不妨设F(1,0),所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为,所以该弦长为3.

8.D　因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1,消去y,得x2-a2x+a2-a2b2=0,所以弦AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2.又a2=b2+c2,所以b=c=3,a2=18,故E的方程为+=1.故选D.

9.B　易求直线AB的方程为y=(x+).由消去y并整理,得7x2+12x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=.

由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=×=.

10.A　联立方程消去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为P(x0,y0),

则x0==,

y0=1-x0=1-=.

∴kOP===.故选A.

11.答案　

解析　由题意知,椭圆的右焦点的坐标为(1,0),直线的方程为y=2(x-1),将其与+=1联立,消去y,得3x2-5x=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=0,

所以|AB|=·|x1-x2|=×=.设原点到直线的距离为d,则d==.

所以S△OAB=|AB|·d=××=.

12.解析　(1)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),根据题意得

解得a2=16,b2=12,所以椭圆E的方程为+=1.

(2)由(1)知a2=16,b2=12,则F1(-2,0),F2(2,0),AF2⊥x轴.

直线AB过A(2,3),F1(-2,0),所以其方程为y=(x+2).

由得7y2-12y-27=0,

∴yA+yB=,又yA=3,∴yB=-,

∴=·2c·|yA-yB|=×2×2×=.

13.解析　设直线l与椭圆的交点B、C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦BC的中点M的坐标为(x,y),

则

①-②,得+=0,

∴(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.③

当x1≠x2时,③式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)·=0.

∵=x,=y,=,

∴2x+2·2y·=0,

化简得x2+2y2+x-2y=0.

当x1=x2时,∵点M(x,y)是线段BC中点,

∴x=-1,y=0,显然适合上式.

综上所述,弦BC的中点M的轨迹方程是x2+2y2+x-2y=0.

14.A　设椭圆的右焦点为F2,则原点O是线段F1F2的中点,从而OM∥PF2,且OM=PF2,则PF2⊥F1F2,易知F2(3,0),∴点P的横坐标为3,当x=3时,+=1,解得y=±,故点M的纵坐标为±.

15.A　设点A(2,n),B(x0,y0).

由椭圆C:+y2=1,知a2=2,b2=1,

∴c2=1,即c=1,∴F(1,0).

∴=(1,n),=(x0-1,y0),

由=3,得(1,n)=3(x0-1,y0).

∴

解得x0=,y0=n.

将x0,y0代入+y2=1,得×+=1,解得n2=1,

∴||===.

16.答案　

解析　将y=代入+=1,

解得x=±a,则B,

C,F(c,0),由∠BFC=90°,得·=·=c2-a2+b2=0,结合a2=b2+c2,化简得c=a,∴离心率e==.

17.解析　(1)设动点P的坐标是(x,y),

由题意得kPA·kPB=-.

∴·=-,

化简整理,得+y2=1.

故动点P的轨迹C的方程是+y2=1(x≠±).

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),

联立消去y,

整理得(1+2k2)x2+4kx=0.

∴x1+x2=,x1·x2=0.

∴|MN|=·=,整理得k4+k2-2=0,

解得k2=1或k2=-2(舍去).

∴k=±1,经检验,均符合题意.

∴直线l的方程是x-y+1=0或x+y-1=0.

18.解析　(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),左焦点为F',则F'(-2,0),

∴

解得又a2=b2+c2,∴b2=12,

故椭圆C的方程为+=1.

(2)由题意设直线l的方程为y=x+t,由

消去y得3x2+3tx+t2-12=0.

令Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0,

解得-4≤t≤4.

∴t的取值范围是[-4,4].

能力提升练

一、选择题

1.A　设该直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

则两式作差得=-,

∴kAB==-·.

∵M为AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2,

∴kAB=-.

∴直线方程为y-1=-(x-1),即x+3y-4=0.

2.A　设F1的坐标为(-c,0),F2的坐标为(c,0),故过F1且与x轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±.可设A,C(x,y),由题意可得△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,故=2,即有=2(x-c,y),即则代入椭圆方程可得+=1,即+=1,

∴4e2+-e2=1,解得e=(负值舍去).故选A.

3.A　设椭圆x2+=1的某弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

①-②,得(-)+(-)=0.

即k==-=-.

∵点M在线段AB上,

∴x0=,≤y0≤1,

∴k=-=-,2≤≤4,故-4≤-≤-2,则k∈[-4,-2],故选A.

4.C　设=k,则y=k(x-2).

由消去y并整理,

得(k2+4)x2-4k2x+4(k2-1)=0,

令Δ=16k4-4×4(k2-1)(k2+4)≥0,

解得-≤k≤,

∴kmin=-.故选C.

5.A　由得21x2+20mx+5m2-5=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,

|AB|=×==.

又O到直线AB的距离d=,

所以△AOB的面积S=d·|AB|=≤=,

当且仅当m2=21-m2,即m2=时,△AOB的面积取得最大值.

此时,|AB|==.

二、填空题

6.答案　

解析　设与l平行的直线l1:x-y+m=0,联立整理得5x2+8mx+4m2-4=0,

令Δ=64m2-4×5(4m2-4)=0,解得m=±.

∴直线l与直线l1之间的距离为=2或=,

∴点P到直线l的最小距离是.

三、解答题

7.解析　由椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长是离心率的2倍,

得2a=2e,即a2=c.①

设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立

整理得(a2+b2)x2+a2x+a2-a2b2=0,

所以x1+x2=-,

依题意得-=-1,即a2=2b2.②

又c2=a2-b2,③

所以由①②③得a2=,b2=,

所以椭圆C的方程为2x2+4y2=1.

(2)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),由|OM|2+|ON|2=,得+++=.④

因为M(x3,y3),N(x4,y4)在椭圆C上,

所以

⑤+⑥,得++2+2=1,⑦

⑦-④,得+=,⑧

所以把⑧代入④,得+=,

所以·====.

8.解析　(1)设N(x,y),P(x0,y0),则M(x0,0),=(0,-y0),=(x0-x,-y).

由=,

得∴

由于点P在圆O:x2+y2=6上,

∴+=6,

∴x2+(y)2=6,即+=1.

∴点N的轨迹C的方程为+=1.

(2)kAD+kAE是定值.设D(x1,y1),E(x2,y2),过点B的直线DE的方程为y=k(x-3),

由消去y,

得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,

∴Δ=(-12k2)2-4(2k2+1)(18k2-6)=24-24k2,令Δ>0,则-1<k<1.

x1+x2=,x1x2=,

∴kAD+kAE=+

=+

=

=

==-2,

∴kAD+kAE是定值,且kAD+kAE=-2.