第10讲 函数的概念及其表示-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
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一、函数的概念
- 函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
思考：值域与集合是什么关系？
说明：
①“是非空的实数集”.一方面强调了中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．
②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.
- 区间的概念
①设
定义 | 符号 | 名称 |
闭区间 | ||
开区间 | ||
半开半闭区间 | ||
②符号“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”.
定义 | |||||
符号 |
- 函数的表示方法
①解析法 ；②图象法 ；③列表法.
题型一 函数的概念
例1.在下列从集合到集合的对应关系中，能确定是的函数的是
（1），对应法则；
（2），对应法则；
（3），对应法则；
（4），对应法则；
（5），对应法则；
（6），对应法则；
（7），对应关系如图：
【答案】（4）（5）（7）
【解析】（1）在对应法则下，不能被3整除的在中没有对应的数；（2）（3）在对应法则下，在中有两个对应的数，不是唯一确定；（6）A中不是数集；（4）（5）（7）满足函数的特征.
例2. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是( )
【答案】B
例3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）是；（5）不是.
【解析】（1）的定义域为，定义域为R，不是同一函数；
（2）要使函数有意义，则，解得，要使有意义，则， 解得或，两个函数的定义域不同，不是同一函数；
（3）两个函数的定义域和对应法则完全相同，是同一函数；
（4）函数，定义域和对应法则均相同，是同一函数；
（5）的定义域为，定义域为R，不是同一函数.
例4.已知函数.
（1）分别求下列函数值：
① . ② . ③ .
④ . ⑤ . ⑥ .
⑦ . ⑧ . ⑨ .
（2）若，则 .
【答案】（1）①2；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；
（2）.
题型二 函数的定义域
例5.求下列函数的定义域.
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1），解得，所以定义域为；
（2），解得，所以定义域为；
（3），解得，所以定义域为；
（4），解得，所以定义域为.
例6.
(1) 已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2) 已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(3) 已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(4) 已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(5) 若函数的定义域为，求函数的定义域.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】）（1）的定义域为，由，得，
的定义域为；
（2）的定义域为，，，
的定义域为；
（3）的定义域为，，
的定义域为，由得，
的定义域为；
（4）的定义域为，，
的定义域为，由得，
的定义域为；
（5）的定义域为，
中有：，解得，
的定义域为.
题型三 函数解析式
例7.
(1) 已知函数为一次函数，满足，求的解析式；
(2) 已知函数为一次函数，且，求的解析式.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）依题意可设，
则，解得，
；
（2）依题意可设，
则，
，解得或，
或.
例8.
(1) 已知，求的解析式；
(2) 已知，求的解析式；
(3) 已知，求的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，则，
，
；
（2）设，则，
，
.
例9.
(1) 已知，求的解析式；
(2) 已知函数满足，求的解析式；
(3) 已知函数满足，求的解析式.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由
两式相加得，；
（2）①，②，
由①②得；
（3），，
由两式得.
题型四 函数值域
例10. 求下列函数的值域：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）.
【解析】（1），
则，所以值域为；
（2），，故值域为；
（3），
在上单调递增，，
故值域为；
（4），
在上单调递减，且，，故值域为；
（5），且，
，故值域为；
（6）设，则，
，
又在上单调递增，，故值域为；
（7）设，则，
，
又在上单调递增，，
故值域为；
（8）设，则，
，
又在单调递减，在单调递增，
，故值域为.
例11. 求下列函数的值域.
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）
解法一：，设，则，
，
当时，；
当时，，由对勾函数图象可知，
，，
即，
综上所述，值域为.
解法二：，
由得，即，
当时，，符合题意；
当时，方程有解需满足，解得且，
综上所述，值域为.
（2）设，则，
，
在上单调递增，，故值域为；
（3），
设，则，
，
在上单调递增，
，，
故值域为；
（4），，
，
，，，
故值域为.
题型五 分段函数
例12.
(1) 若函数，则 .
(2) 已知，若，则 .
(3) 已知，则不等式的解集是 .
【答案】（1）4；（2）；（3）.
【解析】（1），；
（2）若，则，解得（舍去）；
若，则，解得或（舍去），
综上，；
（3），则由得
或，解得或，
综上，解集为.
例13. 把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.
（1） （2）
（3） （4）
【答案】略
跟踪训练
- 下列各图像中，是函数图像的是（ ）
【答案】D
- 函数的定义域为，则函数的图象与直线的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D. 0个或1个均有可能
【答案】B
- 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，解得，故定义域为，选B.
- 已知，若，则的值是（ ）
A.1 B.1或 C.1或或 D.
【答案】D
【解析】若，则，解得（舍去）；
若，则，解得或（舍去）；
若，则，解得（舍去），
综上，，选D.
- 若函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域是，
则在中有，解得，故定义域为，选B.
- 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】的定义域是，，
的定义域为，由解得，
故定义域为，选A.
- 已知，则（ ）
A. B. C.1 D. 0
【答案】D
【解析】，，
，选D.
- 已知，若，则 .
【答案】
【解析】若，则，解得或（舍去）；
若，则，解得（舍去），
综上，.
- 已知，则 .
【答案】11
【解析】依题意.
- 函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，则不等式化为，
若，则，解得，此时；
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得（舍去），
综上，的取值范围是.
- 已知函数满足，则的解析式是 .
【答案】
【解析】设，则，
，.
- 已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】依题意，，恒成立，
当时，不等式化为恒成立，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，的取值范围为.
- 求下列函数的值域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
【解析】（1），，故值域为；
（2），故值域为；
（3），故值域为；
（4），定义域为，
解法一：，
当时，；
当时，，又，
，，
综上所述，值域为；
解法二：由得，即，
当即时，，符合题意；
当即时，方程有解需满足，解得，
综上所述，值域为；
（5）设，则，
，
故值域为；
（6），
，，
故值域为.
- 画出下列函数的图像：
（1）； （2）； （3）
【答案】略
