2021学年3.2 基本不等式同步训练题

基本不等式的应用

[A级　基础巩固]

1．若－4＜x＜1，则(　　)

A．有最小值1　　　　　 B．有最大值1

C．有最小值－1  D．有最大值－1

解析：选D　＝.

又∵－4＜x＜1，∴x－1＜0.∴－(x－1)＞0.

∴原式＝－≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．

2．(多选)若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.＞  B．＋≥1

C.≤2  D.≥1

解析：选BC　若x＞0，y＞0，由x＋y＝4，得＝，故A错误；＋＝(x＋y)＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，故B正确；因为x＞0，y＞0，x＋y＝4，且x＋y≥2，所以≤2，故C正确；因为≤2，所以xy≤4，所以≥，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以D错误．

3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.  B．2

C．2  D．4

解析：选C　由题意，得a＞0，b＞0.∵＝＋≥2＝，当且仅当＝时等号成立，∴ab≥2.

4．正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是(　　)

A．3＋2  B．2＋2

C．5  D．

解析：选B　＋＝＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，当且仅当＝时等号成立．

5．某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长)，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌墙所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：m)(　　)

A．32，16  B．30，15

C．40，20  D．36，18

解析：选A　要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设堆料场宽为x m，则长为 m，因此新墙总长L＝2x＋(x＞0)，L＝2x＋≥2＝64.故选A.

6．设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．

解析：＝＝＝2≥2×2＝4，当且仅当xy＝3，x＋2y＝5，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时等号成立．故所求的最小值为4.

答案：4

7．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．

解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．

答案：3　2

8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．

解析：不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)≥(1＋)2≥9，∴≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4.

答案：4

9．已知x，y，z为正数且满足x－2y＋3z＝0，求的最小值．

解：由x－2y＋3z＝0，得y＝.因为x，y，z为正数，所以＝＝·≥·＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．所以的最小值为3.

10．(2021·曲阜一中月考)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：

(1)仓库面积S的取值范围是多少？

(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？

解：(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.

由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.

∵x＞0，y＞0，∴4x＋9y≥2＝12(当且仅当4x＝y时，等号成立)．

∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.

∴0＜≤10，∴0＜S≤100.故S的取值范围是(0，100]．

(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100.解得x＝15，y＝.

∴当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.

[B级　综合运用]

11．已知正数a，b满足a＋b＝2ab，则2a＋6b的最小值为(　　)

A．6  B．4＋

C．10  D．4＋2

解析：选D　因为a＋b＝2ab，所以＋＝2，所以2a＋6b＝(a＋3b)＝1＋＋＋3≥4＋2，当且仅当a＝，b＝时取等号．故选D.

12.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞AD，矩形的周长为8 cm.

(1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；

(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．

解：(1)由题意可得AD＝(4－x)cm，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4.

则CE＝AE＝x－DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，

即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2，化简得DE＝4－(2＜x＜4)．

(2)S△ADE＝AD·DE＝(4－x)＝2≤2＝12－8，当且仅当x＝2时取等号，此时4－x＝4－2，即队徽的长和宽分别为2 cm，(4－2)cm时，△ADE的面积取得最大值．