北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式教学设计

《基本不等式（1）》教学设计

1. 理解基本不等式的定义、证明过程及其几何解释.

2. 理解算术平均值、几何平均值的定义.

3. 会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式.

4. 会用基本不等式证明不等式，并解决简单问题.

5. 能体会数形结合思想的应用，强化逻辑推理和运算推理素养的培养.

重点：掌握基本不等式的定义、证明方法和几何解释；用基本不等式证明不等式．

难点：会用基本不等式证明不等式，并解决简单问题．

一、新课导入

情境导入：某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量和，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算. 顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实重量到底是大了还是小了呢?你能帮助他解决这个问题吗？

分析：设天平的两臂长分别为，项链真实重量为，

根据力学原理有，

将上述两个等式的两边分别相乘得，所以，

转化为比较，的大小，将实际问题转化成了代数问题.

二、新知探究

思考：我们要寻求的是与两个代数式的大小关系，而在初中，我们学过大量的代数恒等式，如平方差公式、完全平方公式，我们能不能找到一些恒成立的代数不等式呢？

答：(1)|?|⩾0:绝对值非负;(2)⩾0:算术平方根非负;(3):平方非负．

称作重要不等式.

想一想：代数和几何联系是密切的，我们能否从几何角度解释重要不等式呢？

“”当且仅当时成立.

代数解释：

任何两实数的平方和不小于它们积的2倍．

探究：我们的目的是比较与，能否借助重要不等式得到呢？

答：重要不等式可以变形为，与结构相近，用替换

“=”当且仅当?=?时成立.

从而表明，情境中，项链的真实重量不会超过两次称重的平均值.顾客可以投诉金店.

基本不等式

如果．当且仅当时，等号成立.

这个不等式称为基本不等式.其中称为的算术平均值，称为的几何平均值.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.

变形：

问题1：前面，我们从几何角度解释了重要不等式，那么是否依然能从几何角度解释基本不等式呢？

答：如下图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作垂直于的垂线交弧于，连接，

，利用三角形相似，可得，所以. 当且仅当点与圆心结合，等号成立.故可以解释为：半弦不长于半径.

思考：实际上，同一个代数关系，可能可以给出多个几何解释．对于基本不等式，我们还能找出别的几何解释吗？

直角三角形中，斜边上的高不长于斜边中线；圆外一点向圆引切线，切线长不大于该点到圆心的距离．

问题2：一个数学本质，可能既有代数的解释，也有几何的解释．有时候，我们可以利用一些几何图形，推出一些有意思的不等式．请同学们构造图形，给出一些不等式结论．

答：从图可得，，，

，，，．，

平方平均值，叫作调和平均值.

    实际上，由图得到的不等式链可以有更一般的情形：

当且仅当时成立，等号成立．

所以，平方平均值⩾算术平均值⩾几何平均值⩾调和平均值

三、应用举例

例1若求的最小值

分析：比如不等式成立，但是不是最小值．一个实数作为最小值，须满足：

，使得；

，都有．

解：因为，所以

，

当且仅当   时，即时，等号成立．

因此所求的最小值为2．

利用基本不等式求最值要注意的有：

（1）基本不等式的适用条件是?⩾0，?⩾0;

（2）要求“和”的最值，必须保证“积”有定值;

（3）使用基本不等式求最值时，必须要保证“=”能被取到．

通俗的说，就是代数式是否满足或者转化后满足“一正二定三相等”，若满足，就可以用基本不等式求最值．

例2 已知，求证：.

分析 联系基本不等式及其变形形式，发现2?+2?+2?=(?+?)+(?+?)+(?+?)，分部分应用基本不等式即可．

证明 因为，所以由基本不等式，得

     ，当且仅当时，等号成立，

     ，当且仅当时，等号成立，

     ，当且仅当时，等号成立，

上面三式相加，得，即

，当且仅当时，等号成立.

四、课堂练习

1．下列结论正确得是（）.

A.若，且，则     B.当时，

C．当时，的最小值为2    D.当时，

2．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）．

A.    B.

C.       D.

3．已知，求证．

参考答案：

1．B

解析：对于选项A，当时， 显然不成立；对于选项B符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即则，均不满足；选项D，当异号时显然不成立.

2．

解析：本题考查不等式的性质、基本不等式，可以用排除法逐项判断．选项A，时不满足；选项B，，时不满足；选项C，，时不满足；选项D，，.

3.证明过程见解析.

解析：由题意得知，，，当且仅当，等式成立，，当且仅当等式成立，，当且仅当等式成立.将上述三个不等式相加得，所以，当且仅当时，等式成立.

五、课堂小结

不等式本身只能指出不等关系．利用基本不等式求最值，必须是等号能够取到的情况．

六、布置作业

教材第28页练习2、3、4题．