高中数学3.2 基本不等式第1课时导学案

这是一份高中数学3.2 基本不等式第1课时导学案，共24页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、了解基本不等式的证明过程及几何解释；


2、掌握重要不等式及基本不等式的形式及其成立的条件；（重点）


3、正确把握基本不等式的结构特征以及从不同的角度探索基本不等式的证明过程；（重点）


4、从不同的角度探索基本不等式的证明.（难点）


学科素养


在利用图形感知基本不等式的过程中，感受到数形结合等数学思想方法；


在利用赵爽弦图引出不等式的过程中，感受数学的文化价值


【知识清单】


重要不等式


一般地，对于任意实数，我们有，当且仅当 时，等号成立。（在引入重要不等式时，是作为直角三角形的边长引入的，此时隐含着的条件.）


基本不等式


当，时，有 ，当且仅当时，等号成立. 我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数.


基本不等式的理解


a


b


E


D


B


O


A


C


文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.


在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=，


BC=。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD，则





CD= ， 半径R= 。


如果我们把CD称为DE的半弦，你们能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 几何解释：在一个圆中，半径不小于半弦.


【基础过关】


1．若0

A.a

C.a

2、设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”成立的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


【经典例题】


【例1】已知a+2b=2(a>0,b>0),则ab的最大值为( )


A. QUOTE 12 12B.2C.3D. QUOTE 13 13


【例2】若0

【课堂达标】


1．，下列不等式始终成立的是 （ )


A．B．


C．D．


2．若，则的最大值是 （ ）


A．B．C．D．


3．若，则的最小值是 ( )


A．1B．2C．3D．4


4．已知，，，且，，则的最小值是（ ）


A．3B．4C．5D．6


5．设恒成立，则实数的最大值为（ ）


A．2B．4C．8D．16


6．已知实数，满足，则的最大值是（ ）


A．1B．C．D．


7．（多选题）设正实数满足，则（）


A．有最小值4B．有最小值


C．有最大值D．有最小值


8．（多选题）若实数，，，则下列选项的不等式中，正确的有（ ）


A．B．


C．D．








9．已知正实数a，b满足，求的最小值.











10．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．


【能力提升】


1．已知，则的最小值为（ ）


A．B．C．D．


2．若函数当且仅当时取得最小值，则实数的值为（ ）


A．B．C．D．


3．函数的最小值为（ ）


A．5B．3C．8D．6


4．已知，且，则下列结论恒成立的是（ ）


A．B．C．D．


5．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则（ ）


A．B．C．D．





6．（多选题）若非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）


A．B．C．D．


7．（多选题）已知、、、是实数，则下列一定正确的有（ ）


A．B．


C．若，则D．若，，则


8．若，则的最大值为________．


9．若，且，则的最大值是______


10．设a>0，b>0，给出下列不等式：


①a2＋1>a； ②； ③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.


其中恒成立的是________.(填序号)


11．已知、、，，求证








12．（1）已知，求的最小值；








（2）已知，求的最大值.




































































【参考答案】


【知识清单】


（1）；（2）


（3）；.


【基础过关】


1、解析:若取a=2,b=8,则ab=4,a+b2=5,


所以a

2、解析：因为a，b∈R时，都有a2＋b2≥2ab，


而eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2等价于ab>0，


所以“a2＋b2≥2ab”是“eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2”的必要不充分条件．答案：B


【经典例题】


例1、【解析】选A.因为a>0,b>0,所以a+2b≥2 QUOTE 2ab 2ab,


所以2 QUOTE 2ab 2ab≤2,所以ab≤ QUOTE 12 12,当且仅当a=1,b= QUOTE 12 12时,等号成立.


【解析】因为0

所以a+b>2 QUOTE ab ab,a2+b2>2ab.


所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.


而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).


又因为0

所以a+b最大.


【课堂达标】


1．D


【解析】


【分析】


均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD，A选项可取等号．


【详解】


A选项，，故A不正确；B、C选项的不等式，只有时才成立，所以不正确；D选项, 作差法，所以正确选项为D．


【点睛】


均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可．


2．A


【解析】


【分析】


构造和为定值，利用基本不等式．


【详解】


，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A


【点睛】


本体考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可．


3．C


【解析】


【分析】


配凑，再利用均值不等式。


【详解】


则，，当时取“=”，所以正确选项为C


【点睛】


“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式。


4．B


【解析】


【分析】


由，化简，，得到，再用基本不等式求解.


【详解】


由知，，，


，


当且仅当时取等号.


故的最小值为4


故选：B


【点睛】


本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.


5．B


【解析】


【分析】


将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得的最大值.


【详解】


由于，当且仅当时等号成立，而恒成立，故，也即的最大值为.


故选B.


【点睛】


本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题.


6．D


【解析】


【分析】


根据求解即可.


【详解】


解：因为，所以，得 .


故选：D.


【点睛】


本题考查利用求最值，是基础题.


7．ACD


【解析】


【分析】


选项A:把代入代数式中，再应用基本不等式可以知道本选项是正确的；


选项B:对等式直接运基本不等式，可以证明出本选项是错误的；


选项C:根据两个正数的算术平均数不大于这两个正数的平方平均数，可以证明出本选项是正确的的；


选项D:根据两个正数的算术平均数不大于这两个正数的平方平均数，可以证明出本选项是正确的的；


【详解】


选项A：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；


选项B：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是不正确的；


选项C: 因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；


选项D: 因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的，故本题选ACD.


【点睛】


本题考查了基本不等式的应用，考查了重要不等式.一般来说对于是正实数来说产，有以下不等式成立：（当且仅当时取等号）.


8．ACD


【解析】


【分析】


用基本不等式可判断出各选项的正误.


【详解】


由于，，，


由基本不等式得，


，，，


上述不等式当且仅当时，等号成立.


故选：ACD.


【点睛】


本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查推理能力，属于基础题.


9．


【解析】


【分析】


只需将化为，与相乘，展开后，利用基本不等式即可求解.


【详解】


，








当且仅当，即时取等号，


的最小值为.


【点睛】


本题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，通常需要将条件变形整理，与所求式子相乘，利用基本不等式来求最值即可，做题时要注意不等式取等号的条件，属于基础题型.


10．长为，宽为时，菜地的面积最大值为


【解析】


【分析】


设矩形菜地的长为，宽为，则，由此利用基本不等式，求得的最大值，，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.


【详解】


设矩形菜地的长为，宽为，由题意可知．


由均值不等式，得，即，当且仅当时，等号成立．


故当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为


【点睛】


本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.


【详解】


，且，


则，


当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.


故选：C.


【点睛】


本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及的妙用，考查计算能力，属于中等题.


2．C


【解析】


【分析】


利用基本不等式可得，根据等号成立的条件，即可求得的值.


【详解】


，等号成立当且仅当，


，解得：，


故选：C.


【点睛】


本题考查基本不等式求最值等号成立的条件，考查逻辑推理能力、运算求解能力.


3．C


【解析】


【分析】


对进行配凑可得，再利用基本不等式求解即可.


【详解】


因为，所以，


所以,


当且仅当，即时等号成立.


所以的最小值为.


故选：C


【点睛】


本题主要考查了利用基本不等式求和的最小值，关键是构造积为定值，属于基础题.


4．C


【解析】


【分析】


利用基本不等式的性质,逐一判断,即可求得答案.


【详解】


对于A,没有给出,因此不一定成立,故A错误;


对于B,没有给出,因此不一定成立,故B错误;


对于C,若,则．


,当且仅当时取等号;


同理时也成立,故C正确;


对于D,因为,则不一定成立,故D错误.


综上可知:只有C正确．


故选: C．


【点睛】


本题考查了不等式的基本性质,掌握基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.


5．B


【解析】


【分析】


先利用条件找到方程，然后利用基本不等式求解可得答案.


【详解】


解：由题意得，，则，


因为，


所以，


所以，当且仅当时取等号，


故选：B


【点睛】


此题考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题.


6．ABD


【解析】


【分析】


根据不等式的性质，或作差法，或举实例，逐项判断.


【详解】


选项A，当，此时不成立；


选项B，当，


此时不成立；


选项C，，


所以成立；


选项D，当，


此时不成立.


故选：ABD.


【点睛】


本题考查判断不等式是否成立问题，以及不等式的性质，注意用特例说明，属于基础题.


7．AD


【解析】


【分析】


通过作差比较A选项中两个数的大小，反证法分别比较B、C两个选项中数的大小，作商比较D选项中两个数的大小.


【详解】


因为，所以A正确；


当时，，故B错误；


当时，，但，故C错误；


若，，则，且，


所以，又，所以，故D正确.


故选：AD


【点睛】


本题考查不等关系和不等式，属于基础题.


8．


【解析】


【分析】


变换，利用均值不等式得到答案.


【详解】


，


当，即时等号成立.


故答案为：.


【点睛】


本题考查了均值不等式求最值，变换是解题的关键.


9．.


【解析】


【分析】


本题对先平方，再运用基本不等式，最后判断取得最大值为.


【详解】


解：∵





∴ ，


当且仅当时，取得最大值为.


故答案为：


【点睛】


本题考查了基本不等式，是偏易题.


10．①②③


【解析】


【分析】


配方可判断①；利用基本不等式可判断②③；举例当a＝3时，可判断④.


【详解】


解析由于a2＋1－a＝，故①恒成立；


由于a＋≥2，b＋≥2，


∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；


由于a＋b≥2，，


故(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立；


当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.


综上，恒成立的是①②③.


故答案为：①②③


【点睛】


本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.


11．证明见解析


【解析】


证明：


，


故，当且仅当时取等号


12．（1）；（2）.


【解析】


【分析】


（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）先转化已知条件，再利用基本不等式求解即可.


【详解】


（1），


，


当且仅当时取等号；


所以的最小值为；


（2），


，


当且仅当时取等号，


所以的最大值为.


【点睛】


本题主要考查了利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件.属于较易题.


13．（1）.（2）.（3）.（4）


【解析】


【分析】


（1）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.


（2）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.


（3）先将所求表达式转化为，再由基本不等式求得最小值.


（4）利用“”的代换的方法，化简所求表达式，再由基本不等式求得最小值.


【详解】


（1），故函数的最小值为，当且仅当，即时取得；


（2），故函数的最小值为，当且仅当即时取得；


（3）由题得，代入原式，得，故原式的最小值为，当且仅当，即时取得；


（4）由题得，则，当且仅当时取“”，故最小值为5.


【点睛】


本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.