突破3.2 函数的基本性质（课时训练）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破3.2 函数的基本性质 A组 基础巩固 1．（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 A：由反比例函数的图象即可判断；B：由一次函数的图象即可判断；C：开由二次函数的图象即可判断；D：利用单调性的定义进行判断. 【详解】 A：由反比例函数的图象可知在区间和上单调递减，故A错误； B：由一次函数的图象可知在区间上单调递减，故B正确； C: 开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，在单调递减，故C正确； D：设，令，，即，由函数单调性得概念可知在上单调递增，故D正确 故选：BCD. 2．（2021·全国）(多选)如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ） A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 【答案】ABD 【分析】 根据图象判断函数的单调区间，即可判断选项. 【详解】 由图可知，函数在区间，上单调递增，故AB正确；f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“ ”连接，故C错误；函数在区间没有单调性，故D正确. 故选：ABD 3．（2020·深圳市龙华高级中学高一期中）已知在上单调递减，则实数a的取值范围为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知，在各自的区间上均应是减函数，且当时，应有，求解即可． 【详解】 由已知，在上单减， ∴，① 在上单调递减， ∴，解得② 且当时，应有， 即，∴ ③， 由①②③得，的取值范围是，故选B． 【点睛】 本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小．特别注意的最小值大于等于的最大值，属于中档题. 4．（2020·四川省泸县第四中学高一月考）下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可. 【详解】 .显然该函数为奇函数；时， 为增函数，时， 为增函数，且该函数在R上为增函数，即该选项正确； .，为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意； .为一次函数，不是奇函数，不符合题意； .为反比例函数，为奇函数，在区间以及上都是减函数，不符合题意； 故选：. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，定义是解决该类题目的基本方法熟记基本函数的相关性质是解题基础，是基础题. 5．（2020·凌海市第三高级中学高二月考）已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案. 【详解】 函数为对称轴开口向上的二次函数， 在区间上是单调增函数， 区间在对称轴的右面，即， 实数的取值范围为. 故选B. 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键. 6．（2020·淮北市树人高级中学高二月考（文））如果在区间上为减函数，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 当=时，=，符合题意.当时，由题意可得，求得的范围.综合可得的取值范围. 【详解】 当时，，满足在区间上为减函数； 当时，由于的对称轴为，且函数在区间上为减函数， 则，解得. 综上可得，. 故选：B 【点睛】 要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间. 7．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A. 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 8．（2019·广西大学附属中学高一期中）设是定义在上的奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A. 考点：函数奇偶性的性质. 9．（2020·福建省罗源第二中学高一月考）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案． 【详解】 解：∵对任意的恒成立， ∴在上是减函数， 又， ∴当时，，当时，， 又是偶函数， ∴当时，，当时，， ∴的解为． 故选B． 【点睛】 本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题． 10．（2020·陕西西安一中高一月考）已知是定义在上的偶函数，在区间为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 结合函数的奇偶性与单调性得f（x）在[0，+∞）上为减函数，由f（3）＝0，可得f （1﹣2x）＞0⇒f （1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3，解得x的取值范围即可． 【详解】 根据题意，因为f（x）是定义在上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f（x）在[0，+∞）上为减函数， 由f（3）＝0，则不等式f （1﹣2x）＞0⇒f （1﹣2x）＞f（3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选B． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 11．（2020·广东高一期末）函数在是减函数，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【分析】 根据单调性确定二次函数对称轴与定义区间位置关系，解得结果. 【详解】 因为函数在上是减函数， 所以对称轴，即. 故答案为： 【点睛】 本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高一月考）函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______ . 【答案】 【分析】 根据函数单调性定义，即可求得实数的取值范围． 【详解】 因为函数是上的单调递减函数 所以满足 解不等式组可得 即 所以选A 【点睛】 本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题． 13．（2020·随州市第一中学高一期中）已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】 由，及可得． 【详解】 因为是增函数， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查函数的单调性，分段函数在定义域上单调，需满足所有段同单调，相邻端点处的函数值满足相应的不等关系． 14．（2020·江西鹰潭一中）函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为______________. 【答案】 【详解】 由已知为二次函数且对称轴为轴，∴，即．再根据函数在单调递增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集为． 15．（2021·全国高三专题练习）若函数为奇函数，则=________ 【答案】 【分析】 根据，即可整理化简求得结果. 【详解】 由函数f(x)为奇函可得，, ∴=， ∴, ∴,∴,即. 故答案为：. 【点睛】 本题考查根据函数的奇偶性求参数值，属基础题. 16．（2020·六安市裕安区新安中学）已知，若，则_________． 【答案】 【解析】 试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以． 考点：函数奇偶性应用． 17．（2020·北京景山学校远洋分校高一月考）已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为 【详解】 试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性； （2）由函数的单调性即可得函数最值. 试题解析： （1）解：在区间上是增函数. 证明如下： 任取，且， . ∵， ∴，即. ∴函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数， 故函数在区间上的最大值为， 最小值为. 点睛： 本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较； （4）下结论. 18．（2019·陕西高一期中）已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最大值. 【答案】（1）减区间，增区间；（2）. 【分析】 （1）分析二次函数图象的开口方向和对称轴可得出该函数的减区间和增区间； （2）分析二次函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最大值. 【详解】 （1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知函数在区间上单调递增， 当时，函数取得最大值. 【点睛】 本题考查二次函数单调区间和最值的求解，要结合二次函数图象的开口方向和对称轴来分析二次函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.  B组 能力提升 19．（2021·福建泉州市·高三期中）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】 根据已知可判断是周期为4的周期函数，即可根据周期求出. 【详解】 解：根据题意，是定义域为的奇函数，则且， 又由为偶函数，则，则有， 故有，函数是周期为4的周期函数， 故，， 故， 故选：D. 20．（2021·北京一七一中高三月考）定义在上的偶函数满足，若，，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意可得的周期为，结合偶函数可得，即可求解. 【详解】 因为，所以的周期为， 所以， 又因为是上的偶函数， 所以， 所以，所以， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 21．（2021·福建省南安市侨光中学）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________. 【答案】 【分析】 由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，由为奇函数，可得（1），结合（3），可求得，的值，从而得到，时，的解析式，再利用周期性和奇偶性推导出，进一步求出的值． 【详解】 为奇函数，（1），且， 偶函数，， ，即， ． 令，则， ，． 当，时，． （2）， （3）（1）， 又（3），，解得， （1），， 当，时，， ． 故答案为：． 【点睛】 关键点点睛：关键是利用条件推导出函数的奇偶性与周期性，再求值． 22．（2020·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝ 为奇函数． (1)求b的值； (2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0. 【答案】(1) b＝0；(2)见解析；(3) 【分析】 (1)根据，求得的值； (2)由(1)可得，再利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)由题意可得，再根据函数在区间上是减函数，可得，由此求得的范围． 【详解】 (1)∵函数为定义在上的奇函数， 经验证b＝0符合题意； (2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数． 证明:设， 则有， ，可得 ，，， , 即 函数在区间(1，＋∞)上是减函数． (3)由不等式 可得， 再根据函数在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4， 解得：，故不等式的解集为. 23．（2020·福建省平和第一中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，且． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）用定义证明在上为增函数； （Ⅲ）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．. 【分析】 （Ⅰ）可用特殊值求出，，，然后确定函数是奇函数即可； （Ⅱ）用单调性定义证明：设．证明； （Ⅲ）求出在上的最大值后可得的范围． 【详解】 （Ⅰ）因为奇函数的定义域为，所以． 故有，解得． 所以． 由，即， 解得，所以．此时是奇函数． 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，任取． 则， 因为，， 所以，故． 又因为，所以， 故，即， 所以函数在上为增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知在上为增函数， 所以函数在上为增函数， 故在的最大值为， 由题意可得，解得． 故的取值范围为． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查不等式恒成立问题．掌握奇偶性与单调性定义是解题关键．不等式恒成立常常转化为求函数的最值，而利用单调性求函数最值是基本方法． 24．（2021·全国高一专题练习）若是定义在上的增函数，且对一切，满足． （1）求的值； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）令求解即可； （2）根据题意构造，再根据函数的单调性求解即可 【详解】 （1）在中，令，则有，所以． （2），，． 是上的增函数，，解得， 所以不等式的解集为． 25．（2021·甘肃兰州市·西北师大附中高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，. （1）求证：函数的周期是4； （2）求的值； （3）当时，求的解析式. 【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3），. 【分析】 （1）由，利用函数周期性定义求解； （2）利用函数的周期性求解； （3）由，得到，从而得到，由求解. 【详解】 （1）因为， 故函数的周期； （2） ， （3）当时，， 所以， 所以， 所以，.