突破3.2 函数的基本性质（重难点突破）-【新教材精选】2022-2023学年高一数学重难点课时训 （人教A版2019必修第一册）

突破3.2 函数的基本性质 考情分析 考点梳理 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2、函数的最值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 3、函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 4、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 5、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为； ②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为； ④若，则函数的周期为； ⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ； ⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是； ⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是； ⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为； ⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为 6．奇偶函数图象的对称性 ①若是偶函数，则的图象关于直线对称； ②若是偶函数，则 的图象关于点中心对称； 三、题型突破 重难点1 判断或证明函数的单调性 1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； ②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； ③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。 2．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 例1．（1）、（2020·全国高一课时练习）下列函数中，在上为增函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对于A,函数的图象是抛物线，对称轴是x=2，当x<2时是减函数，x>2时是增函数，∴不满足题意； 对于B,函数，∴当 时，是增函数，x<1时，是减函数，∴满足题意； 对于C,函数，当x<−1，x>−1时，函数是减函数，∴不满足题意； 对于D,函数的图象是抛物线，对称轴是x=−1，当x>−1时是减函数，x<−1时是增函数，∴不满足题意；故选B. （2）．（2021·全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求出函数的对称轴，再由二次函数的图象和条件列出关于的不等式． 【详解】 解：函数的对称轴为：， 函数在区间上是增函数， ，解得， 故选：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象及单调性的应用，属于基础题． （3）．（2021·宁夏贺兰县景博中学高二期末（文））若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】 因为函数是定义在上的减函数，所以，解得. 故选：A. 【点睛】 本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题. 【变式训练1-1】．（2021·全国）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围 【详解】 解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 【变式训练1-2】．（2019·黑龙江鹤岗一中高三开学考试（文））若是的增函数,则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数的取值范围． 【详解】 由于函数是的增函数， 则函数在上是增函数，所以，，即； 且有，即，得， 因此，实数的取值范围是，故选A. 【点睛】 本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系． 例2．（1）、（2020·全国高一课时练习）函数在R上为增函数，且，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3. 故选C. （2）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数 （1）证明函数在区间上的单调性； （2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）由二次函数的性质判断在区间上的单调性，根据单调性可求出和的值，即可求解. 【详解】 （1）函数在区间上单调递增； 设任意的，且， 则 ， 因为，，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上的单调递增； （2）函数对称轴为，开口向上， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增； 所以，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 【变式训练2-1】．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）函数 ，则满足＜的取值范围是 A． B．［ ，） C．（，） D．［，） 【答案】D 【详解】 函数 ，＜， 故答案选D. 点睛：这是抽象函数解不等式问题，没有表达式，要解不等式，只能是赋值法；这个题目，利用函数单调性直接比较括号内自变量的大小关系，列出不等式： 注意定义域是，因此还要加上. 【变式训练2-2】．（2021·高平市第一中学校高一开学考试）已知函数，且＝3. （1）求a的值； （2）判断函数f(x)在[1，+∞)上的单调性，并证明． 【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析. 【分析】 (1)将代入函数式，计算即可得解； (2)利用(1)的结论写出函数f(x)的解析式并判断在[1，+∞)上的单调性，再用定义证明即得. 【详解】 (1)函数中，因=3，则，解得， 所以a的值是； (2)由(1)知：，f(x)在[1，+∞)上的单调递增， ，且，， 因，则，且，即有，， 所以f(x)在[1，+∞)上的单调递增. 重难点2 判断或证明函数的奇偶性 1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数； 2.判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图象法： （3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程. 例3．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用偶函数的定义逐项判断即可. 【详解】 A．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合； B．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合； C．定义域为，关于原点对称，，为偶函数，符合； D．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合； 故选：C. （2）．（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】 由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】 本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. (3)．（2020·北京市第四十四中学高一期中）若函数为偶函数，则a= A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C 【变式训练3-1】．（2021·全国高一课时练习）若函数为奇函数，则=（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】 根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得. 【详解】 ∵为奇函数，∴，得．故选：A. 【变式训练3-2】．（2020·江西宜春九中高一月考）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式． 【详解】 ∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数， 由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0， 即f（3）＝0， 作出f（x）的草图，如图所示： 由图象，得 解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0， ∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3）， 故选D． 【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键． 【变式训练3-3】．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考）已知偶函数 在区间上单调递增，则满足的取值范围是 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1） 【答案】B 【分析】 根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断, 【详解】 首先函数定义域是R，再者根据和偶函数 在区间上单调递增，可得，解得，故选B. 【点睛】 本题是基础题，考查偶函数的性质. 【变式训练3-4】．（2020·衡阳市第二十六中学高一期中）奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为函数式奇函数，在上单调递减， 根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数， 再根据可画出函数在上的图像， 根据对称性画出在上的图像． 根据图像得到的解集是：． 故选A． 重难点3 利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数 例4．（1）（2020·全国高三专题练习）已知，则满足的的取值范围为_______． 【答案】 【分析】 将f（x）写成分段函数形式，分析得f（x）为奇函数且在R上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案. 【详解】 根据题意，f（x）＝x|x|＝， 则f（x）为奇函数且在R上为增函数， 则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x， 解可得x≥，即x的取值范围为[，+∞）； 故答案为[，+∞）． 【点睛】 本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性． （2）．（2021·宁夏贺兰县景博中学高二期末（文））函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是奇函数，故 ；又 是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D. 【点睛】 解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为 ，再利用单调性继续转化为，从而求得正解. （3）．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由f(x)为奇函数可知， ＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1)； 当x<0时，f(x)>0＝f(－1)． 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以00，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明； (3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2； (4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域． 【答案】(1)0,(2)见解析(3)(4) 【分析】 （1）利用赋值法令x=y，进行求解即可． （2）利用抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明即可． （3）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可． （4）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（）=f（x）﹣f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域 【详解】 （1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=0，x＞0 （2）设0＜x1＜x2，则由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（）， ∵＞1，∴f（）＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数 （3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2， 原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴解得0＜x＜．故原不等式的解集为（0，） （4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函数． ∴f（x）min=f（1）=0，f（x）max=f（16）． ∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4）， ∴ f（16）=2f（4）=4，∴ f（x）在[1，16]上的值域为[0，4] 【点睛】 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题． 【变式训练9-2】．（2019·河北正中实验中学）设是定义在上的函数，满足，当时，． （）求的值，试证明是偶函数． （）证明在上单调递减． （）若，，求的取值范围． 【答案】(1) ；证明见解析. (2) 证明见解析. (3) . 【解析】 分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，，，，∵，则，即，从而可得结果；(3)求得， 可得，化为，从而可得结果. 详解：（）∵ 令得 ∴． 令，，，， 令，则． 即是定义在上的偶函数． （）∵， ∴， 设，，， ， ∵， 则， 即， 即在上单调递减． （）∵， ∴， ∴， ∵为偶函数，且在上单调递减， ∴， 综上，的取值范围为． 点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得（3）对于任意的，都有； （4）存在，使得结论为最大值为最小值奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数