2021学年第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式学案

这是一份2021学年第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式学案，共13页。学案主要包含了函数零点的概念及求法，函数的零点的存在问题，函数零点的个数问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
导语
我们已经学习了二次函数的零点概念，知道二次函数的图象与x轴的交点有几个，对应的二次方程的实数解就有几个．随着学习的不断深入，我们会遇到其他方程的求解．我们就会不禁思考，二次函数与二次方程的关系能否套用到一般函数与方程．例如ln x＋2x－6＝0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？
一、函数零点的概念及求法
问题1 类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)，你能说说什么是函数y＝f(x)的零点吗？
提示 与二次函数类似，我们称使f(x)＝0的实数x为函数y＝f(x)的零点．
问题2 类比二次函数的零点，对于一般函数y＝f(x)的零点，与对应方程的根、函数图象与x轴的交点有联系吗？
提示 有．函数y＝f(x)有零点，方程f(x)＝0有实数根，函数y＝f(x)的图象与x轴有交点，三者是等价的．
知识梳理
函数的零点
(1)概念：我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点的横坐标、对应方程的根的关系
注意点：
(1)与二次函数类似，零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；
(2)求零点可转化为求对应方程的解；
(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．
例1 (1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
解 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3(x＝1舍)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).
反思感悟 探究函数零点的两种求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝(lg x)2－lg x；
(2)f(x)＝x3－2x2－x＋2.
解 (1)令(lg x)2－lg x＝0，
则lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，
因此函数f(x)的零点是1,10.
(2)令x3－2x2－x＋2＝0，
得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)
＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1或x＝1或x＝2，
∴函数f(x)的零点是－1,1,2.
二、函数的零点的存在问题
问题3 探究函数y＝x2＋4x－5的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况，并说明函数图象在零点附近有什么变化规律？
提示 利用图象可知，零点－5∈(－6，－4)，零点1∈(0,2)，f(－6)·f(－4)<0，f(0)·f(2)<0，且函数图象在零点附近是连续不断的．再比如：函数f(x)＝2x－1的零点为eq \f(1,2)，eq \f(1,2)∈(0,1)，且有f(0)f(1)<0；函数f(x)＝lg2(x－1)的零点为2,2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))，且有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))f(3)<0，以上函数在零点附近的图象也都是连续的．
知识梳理
函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
注意点：
(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；
(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件．
例2 (1)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 C
解析 方法一 ∵f(0)＝－1<0，
f(1)＝e－1>0，
f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)在(0,1)内有零点．
方法二 ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，
∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．
在同一坐标系内画出y＝ex和y＝2－x的图象，如图，
由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
(2)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是( )
A.(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2,3)．
反思感悟 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练2 若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．0
答案 C
解析 由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝eq \f(1,x)，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝eq \f(1,x)的图象，如图所示，
由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(由lg 3<1，lg 4>lg\r(10)＝\f(1,2)可得))，
所以k＝－2或k＝1.
三、函数零点的个数问题
问题4 通过上面的学习，你能总结如何判断零点的个数吗？
提示 可以直接求解f(x)＝0来判断个数，也可以利用函数图象与x轴的交点个数判断，或者转化为两个函数图象交点的问题．
例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数．
解 方法一 函数对应的方程为
ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，所以f(x)在(1,2)上必有一个零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以零点只有一个．
反思感悟 判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4，01))和函数g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
答案 3
解析 作出g(x)与f(x)的图象如图，
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点．
1．知识清单：
(1)函数的零点定义．
(2)函数零点存在定理及其应用．
2．方法归纳：转化法、数形结合法．
3．常见误区：
(1)忽视函数零点存在定理的应用条件．
(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化．
1．函数f(x)＝lg2x的零点是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 令f(x)＝lg2x＝0，解得x＝1.
2．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
答案 B
解析 易知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
由f(x)＝2x－eq \f(1,x)，得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－2<0，
f(1)＝2－1＝1>0，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))·f(1)<0.
∴零点所在区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有一实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D
解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
答案 3
解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
1．(多选)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则f(a)·f(b)>0
D．若存在实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则f(a)·f(b)<0
答案 AC
解析 由定理可知，A正确；如图，满足f(a)f(b)>0，且存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，故B错误；因为对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，故y＝f(x)在[a，b]上的图象与x轴没有交点，故y＝f(x)在[a，b]上的图象在x轴上方或在x轴下方，故f(a)f(b)>0，C正确；如图，存在实数c∈(a，b)，f(c)＝0，而f(a)f(b)>0，故D错误．
2．函数f(x)＝lg3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
答案 B
解析 f(3)＝lg33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝lg34－8＋2×4＝lg34>0.
因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．
3．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
答案 A
解析 因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0
C.eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋lg2x＝0，得x＝eq \f(1,2)(舍)．
综上所述，函数f(x)的零点为0.
5．(多选)已知函数f(x)＝lg2(x＋1)＋3x＋m的零点在区间(0,1]内，则m可能的取值为( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
答案 AB
解析 因为f(x)＝lg2(x＋1)＋3x＋m在区间(0,1]上是增函数，且零点在(0,1]内，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0<0，,f1≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,lg22＋3＋m≥0，))
所以－4≤m<0.
6．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈(a，b)，且b－a＝1，a，b∈N*，则a与b的值分别为( )
A．1,2 B．2,3
C．3,4 D．4,5
答案 A
解析 因为函数f(x)＝3x＋x－5，
所以f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0.
所以f(1)·f(2)<0，
且函数f(x)在R上是增函数，
所以f(x)的零点x0在(1,2)内，
所以a＝1，b＝2.
7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
答案 3
解析 函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．
8．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数是________．
答案 0
解析 ∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝lg3(x＋1)．
解 (1)令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x4－x2
＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令f(x)＝4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，
所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令f(x)＝lg3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝lg3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－eq \f(1,2)(舍去)．
∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0.
(2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，
于是2a＝eq \f(2x＋1,4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x，
令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝t，则g(t)＝t＋t2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4).
∵t>0，
∴g(t)在(0，＋∞)上是增函数，其值域为(0，＋∞)，
∴2a>0，∴a>0，即a的取值范围是(0，＋∞)．
11．若函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零点，
所以方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m＝0有解，
即方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＝－m有解，
因为|x－1|≥0，
所以0因此－1≤m<0.
12．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，
由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；
若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，
若f(x)在(1,2)上有两个零点，
则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．
若f(x)在(1,2)上没有零点，
则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾．
故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
13．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(0,4) D．[0,4)
答案 C
解析 由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，
作出函数y＝|x2－4x|的图象，如图所示，
则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则014．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是______．
答案 a解析 画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a15．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，－2)) B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，＋∞))
答案 A
解析 由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)，
所以函数的最小值为－eq \f(9,4)－m.
当x＝0时，y＝4－m，
当x＝3时，y＝－2－m<4－m，
所以－eq \f(9,4)－m<0≤－2－m，
解得－eq \f(9,4)16．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
(3)若f(x)＝0有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围．
解 (1)函数有两个零点，
则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，
易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解得m由Δ＝0，可解得m＝eq \f(4,3)；
由Δ<0，可解得m>eq \f(4,3).
故当m当m＝eq \f(4,3)时，函数有一个零点；
当m>eq \f(4,3)时，函数无零点．
(2)由题意知0是对应方程的根，
故有1－m＝0，可解得m＝1.
(3)由题意可得f(2)>0，
即－7－m>0，则m<－7.
故实数m的取值范围为(－∞，－7)．x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x＋2
2
5
8
11
14