人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程精练

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21.3实际问题与一元二次方程 课后培优练级练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210， 故选：A． 2．一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选D． 3．把48张图片平均分给若干名学生，每人分得的图片数比学生人数少2．设学生有人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为有48张图片，学生有x人， 则每人分得的图片数为， 因为每人分得的图片数比学生人数少2， 所以， 变形得：， 故选 B． 4．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为，则下列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：； 故选D． 5．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（        ） A．8 B．10 C．7 D．9 【答案】B 【详解】设有x支队伍，根据题意，得， 解方程，得x1=10，x2=-9（舍去）， 故选B． 6．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（        ） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【答案】A 【详解】设商店的获利为元， 得， 当时，， 得， ， 解方程得元或元， 当元，， ∴元舍去， ∴元， 故选：A． 二、填空题 7．随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为___________． 【答案】40% 【详解】解：设平均每次下降百分率为x， 由题意可得：200×（1-x）2=72． 解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不合题意，舍去）． 答：某N95口罩平均每次降价的百分率是40%． 故答案为：40%． 8．如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是____________________．（化为一般形式） 【答案】 【详解】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得 ， 化简得． 故答案为：． 9．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数达到13.52万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为___________． 【答案】160% 【详解】解: 设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意得 2（1+x）2=13.52 解得x=1.6=160%，x=-3.6（舍去） 答：全市5G用户数年平均增长率为160%； 故答案为160%． 10．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗重园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗重园的面积为y平方米．当y=72时，则x=_____________． 【答案】12 【详解】解：由题意，得（30-2x）x=72 解得x1=12，x2=3 又30-2x≤18 解得x≥6 ∴x=12 故答案为：12． 三、解答题 11．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】每天要想获得504元的利润，每件应降价3元 【详解】每件商品应降价x元，由题意，得（40﹣30﹣x）（8x+48）＝504， 解得：， ∵有利于减少库存， ∴x＝3． 答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元． 12．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册． (1)求这两年藏书的年平均增长率； (2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗?请通过计算说明． 【答案】(1)20%；(2)能实现，见解析． 【解析】(1)解：设这两年藏书的年平均增长率为x， 根据题意得，5（1+x）2=7.2 解得x1=0.2，x 2=-2.2（舍去） 答：这两年藏书的年平均增长率为20%； (2)7.2×（1+20%）=8.64（万册） 因为8.64>8.6 所以按照（1）中藏书的年平均增长率，该校期望2022年底藏书量达到8.6万册目标能实现． 13．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米． (1)若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB； (2)能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由． 【答案】(1)AB的长为6米；(2)不能围成面积52平方米的花圃，理由见解析 【解析】(1)解:花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）米， ∴﹣3x2+24x＝36， 解得x1＝2，x2＝6， 当x＝2时，24﹣3x＝18＞15，不合题意，舍去； 当x＝6时，24﹣3x＝6＜15，符合题意， 故AB的长为6米； (2)不能，理由如下： ∴﹣3x2+24x＝52， 整理得：3x2﹣24x+52＝0， ∵△=242﹣4×3×52＜0， 方程无实数根， ∴不能围成面积52平方米的花圃． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元．若把增长率记作x，则方程可以列为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2=10． 故选：D． 2．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得， 故选：A． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　 　） A．2s B．3s C．4s D．5s 【答案】B 【详解】解：设动点P，Q运动ts后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， ×（8﹣t）×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为15cm2． 故选：B． 4．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均人会传染个人，若最初个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染．则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵每轮传染平均人会传染个人， ∴2人感染时，一轮可传染2x人， ∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人； ∵每轮传染平均人会传染个人， ∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人， ∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= 人； ∴， 故选A. 5．餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（ ） A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．(160+2x)( 100+2x) =160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2(160x+100x)=160×100 【答案】B 【详解】依题意得：桌布面积为：160×100×2， 桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x， 则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100． 故选B． 6．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(        ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【详解】试题解析：设这个QQ群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个QQ群共有10人． 故选B. 二、填空题 7．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低，第二个月比第一个月提高，为了使两个月后的销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低______． 【答案】 【详解】设该产品的成本价平均每月降低率为x， 根据题意，得， 整理得， 解得（舍去），． ∴该产品的成本价平均每月应降低． 故答案为：10%． 8．所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144m2，甬路的宽度为_____． 【答案】2米． 【详解】解：设甬路的宽为xm,根据题意得 整理得 解得 当x=44时不符合题意，故舍去， 所以x=2. 答：甬路的宽为2米． 9．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，则这种台灯的售价应定为________元． 【答案】50 【详解】设这种台灯应涨价x元, 依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） 40+10=50（元） 答：这种台灯售价定为50元． 故答案是：50元 10．设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是__________． 【答案】x2﹣6x＋4＝0 【详解】设雕像上部高xm，那么下部高（2－x）m，∵雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，∴有，化为一般式是x2－6x＋4＝0.故答案是x2－6x＋4＝0. 三、解答题 11．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？ 【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【详解】解：设每件商品涨价元，则销售单价为元，销售量为件． 根据题意，得． 解得，． 经检验，，都符合题意． 当时，，； 当时，，． 所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 12．某人将10000元存入银行，一年后取出5000元，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20%的利息税·第二年到期他取出全部存款共5588元，求银行原来的年利率． 【答案】5%. 【详解】设银行原来年利率x一年后本利：10000（1+x)元，取出5000后,存入金额为：5000+10000x元，依题意得： 5000+10000x+（5000+10000x）（x-3%）（1-20%）=5588 2000x2+3440x-177=0 （20x-1）(100x+177)=0 解得x=0.05 =5% ，x=-1.77(不符要求舍去) 答：原来年利率为5%． 13．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值． 【答案】（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50. 【详解】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.        由题意得知：        解得        答：该小区有250套80平方米住宅. （2）参与活动一：        50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一，        80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，        参与活动二：        50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一；        80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；        由题意得：                令.        化简得：.        解得：（舍去），               （舍去）        答：的值为50. 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 2．（2022·甘肃武威·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P的运动时间为ts，△APC的面积为，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长为（        ） A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm 【答案】A 【详解】解：设AB=xcm，BC=ycm， 由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm）， ∴AB+BC=14， 即x+y=14①， 当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2）， ∴， 即②， 由①②列方程组，解得或（根据图形，舍去） 所以， ∴（cm）， 故选：A 3．（2022·重庆南开中学三模）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪海尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3， 由题意得， 故选：C． 4．（2022·福建厦门·模拟预测）某商品价格经历了两次上调，其中第二次增长率是第一次增长率的一半．若第一次上调前价格为a元，第一次增长率为x，则经历两次上调后的价格为（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 5．（2022·河北保定·一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　 ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的， ， 解得x1=11， x2=13， 当x1=11时， ，当x2=13时， ，且， 尽快减少库存， 每瓶该饮料售价为11元． 故选：A． 6．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设剪掉的正方形的边长为xcm， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则盒子的容积是， 故选：C． 二、填空题 7．（2022·山东济南·三模）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为______m． 【答案】2 【详解】解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积， 依题意得：(22-x)(14-x)=240， 整理得：x2-36x+68=0， 解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 8．（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室三模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步． 【答案】6 【详解】解：设长为x步，则宽为(60-x) 步， ， 整理得，， 解得，，， ∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去； ∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意， ∴长比宽多：33-27=6 (步)， 故答案为：6． 9．（2022·山东济宁·一模）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了_______人． 【答案】12 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染， 依题意得：1+x+x（1+x）=169， 解得：x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均每个人传染了12人． 故答案为：12． 10．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米． 【答案】1 【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得： （10﹣x）（15﹣x）＝126， 解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去）， 则道路的宽应为1米； 故答案为：1． 三、解答题 11．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？ 【答案】4 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4米． 12．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰嫩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 (2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 (3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【解析】(1)解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ，解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． (2)解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． (3)解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 13．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨；(2)的值20；(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生纸的产量为500吨； (2)解：由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴的值20； (3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， ∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 类别 价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537