【备战2023高考】数学总复习——第03讲《指数函数与对数函数》练习（全国通用）

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第03讲 指数函数与对数函数

1．（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
解：.
故选：D

2、已知函数，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，
所以.
故选：C

3、已知，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
所以.
故选：C

4．已知函数，则函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
当时，，故排除A、D选项；当时，，则，排除B选项．
故选：C．

5．， ，,则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
,
当时成立；
当时，解得．所以
又,

∴a的取值范围是．
故答案为：

6．已知，则的值等于__．
【答案】320
【解析】
∵，
∴，则
∴

故答案为：320．

7．函数的大致图象为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
当时，，可排除B、C选项；又，排除A选项.
故选：D.

8． 已知函数，则________，函数的零点有________个．
【答案】     4     2
【解析】
由题意知；当时令则，当时令则所以函数的零点有2个.
故答案为：4；2

9． 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，因为，，故函数的零点所在的区间为
故选：C

10． 已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
（1）解：是偶函数，，即对任意恒成立，，．即，因为当，函数有零点，即方程有实数根．令，则函数与直线有交点，，又，，所以的取值范围是．
（2）解：因为，又函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，所以，令，得，①当，即时，此方程的解为，不满足题意，②当，即时，此时，又，，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当，即时，由方程只有一正根，则需，解得，综合①②③得，实数的取值范围为：．

11．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：


1、设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：，
；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．

2、已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，即或.因为，易得无解.故只有两个零点.
当时，或，解得或有两个零点.故无解. 因为，，故，解得
故选：D

3． 已知，不等式恒成立，实数取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
，，
，即，
令，
若，，等价于，
令，，，
若，，即，
①当，即时，
不等式在上恒成立；
②当，即或时，
要使不等式在上恒成立，
则有，解得，，
综上所述，实数取值范围是.
故选：A.

4．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，
令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.
当在，上各有一个实数解时，设，则解得；
当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；
当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为.

故选：D.

5、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为已知，则下列各数中与最接近的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为，而，
所以，
所以，
从而，
即，
所以，
即，
所以与最接近的是.
故选：D

6．已知函数，若方程恰有个不同的实根，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
作出函数的图象，如图所示，在时，有4个不同的实根，
令，则方程化为，原方程有8个不同的实根，则方程在上有两个不等的实根，
记，
由，解得．
故答案为：．


7．已知（且，且），则函数与的图像可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．

8、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．
【答案】
【解析】
∵，，
∴令，则
故函数的值域为，
故答案为：

（多选）9．已知函数，则（     ）
A．为偶函数 B．是增函数
C．不是周期函数 D．的最小值为
【答案】AD
【解析】
选项A，由得，函数定义域是，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是，，即是奇函数，易知是R上的增函数，函数值域为R，，所以存在，值得，从而，于是，，但，所以不是增函数，B错；
选项C，定义域是R，，因此是函数的一个周期，C错；
选项D，由上推理知是奇函数，时， ，
时，，易知函数为增函数，所以，综上函数最小值是1，D正确．
故选：AD．

10．已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．
(1)求的值；
(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．
【答案】(1)
(2)增区间为 ，减区间为，最大值为
【解析】
（1）因为有意义时的取值范围为，所以的解集为，所以和是方程的两根． 由韦达定理可得，解得．
（2）由（1）知，，令，因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时 ，取得最大值
11、已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．
(1)求及，的值；
(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析，
【解析】
（1）因为，所以，，即．因为，所以，．
（2）设为上任意两个实数，且，则，，，即，所以在上单调递增．所以，所以．


1．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
因为，，即，所以．
故选：C.
2．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
3．（2017·全国·高考真题（理））某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（       ）

A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】
对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确；
对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.
故选：A
4．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【解析】
由，当时，，
则.
故选：C.

5．（2013·浙江·高考真题（理））已知x，y为正实数，则（　　）
A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy
C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy
【答案】D
【解析】
因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），
所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
故选D．
6．（2010·浙江·高考真题（文））已知是函数的一个零点，若，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
7．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】
，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
8．（2022·天津·高考真题）已知函数，若至少有个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
9．（2022·天津·高考真题）化简____________
【答案】2
【解析】
原式
，
故答案为：2.
10．（2014·广东·高考真题（理））若等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】.
【解析】
由得，
所以
11．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】.
【解析】
当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.
   
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
12．（2015·山东·高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，
（1）求实数的值；
（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
（1）当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值16，即，
因此．
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值16，即，
因此．
（2）因为的定义域是，
即恒成立．
则方程的判别式，即，
解得，
又因为或，因此．
代入不等式得，即，
解得，
因此实数的取值范围是．
13．（2019·江苏·高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．
【答案】（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+（百米）.
【解析】
解法一：
（1）过A作，垂足为E.
由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.
因为PB⊥AB，
所以.
所以.
因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知，
从而，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，
此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，
直线PB的方程为.
所以P（−13，9），.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：.
在线段AD上取点M（3，），因为，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设为l上一点，且，由（1）知，，此时；
当∠OBP>90°时，在中，.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.
当QA=15时，设Q（a，9），由，
得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.