【备战2023高考】数学总复习——第01讲《数列的概念与简单表示法》讲义(全国通用)
展开第01讲 数列的概念与简单表示法
本讲为高考命题热点,分值12-17分,题型多变,选择题,填空题,解答题都会出现,
选择填空题常考等差等比数列的性质,大题题型多变,但对于文科来讲常考察基本量的计算与数列求和,对于理科考点相对难度较大,比如新定义,奇偶列等,考察逻辑推理能力与运算求解能力.
考点一 数列的定义与分类
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 | 类型 | 满足条件 | |
项数 | 有穷数列 | 项数有限 | |
无穷数列 | 项数无限 | ||
项与项 间的大 小关系 | 递增数列 | an+1>an | 其中n∈N* |
递减数列 | an+1<an | ||
常数列 | an+1=an | ||
摆动数列 | 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 |
考点二 数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
考点三 数列的通项公式与递推公式
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式
如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
考点四 常用结论
1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=
2.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.
高频考点一 由数列的递推关系求通项
角度1 累加法——形如an+1-an=f(n),求an
【例1】在数列中,,,则( ).
A.659 B.661 C.663 D.665
【答案】D
【分析】由累加法和等差数列的前项和可求出,代入化简即可求出.
【详解】因为,所以,,…,
,所以,故.故选:D.
角度2 累乘法——形如=f(n),求an
【例2】已知数列中,,,则满足的n的最大值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
【答案】B
【分析】根据数列的递推关系式,运用累乘法计算出数列的通项公式,再根据不等式求解n的最大值.
【详解】根据题意,
化简得,
运用累乘法计算得,
且,,符合该式,
时,
时,;时,
所以满足条件的n的最大值为5.故选:B.
角度3 构造法——形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1,B≠0),求an
【例3】已知数列满足,且,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由可得,即数列是以为首项,2为公比的等比数列,再根据的值求出可得答案.
【详解】由,可得,若,
则,与矛盾,
故,所以,
即数列是以为首项,2为公比的等比数列,
所以,
又
,所以.故选:A.
【方法技巧】
1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1,且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0),且=f(n),可用“累乘法”求an.
2.已知a1且an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0).把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解.
【跟踪训练】
1.已知为数列的前n项和,若,则的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】先由题设求出,再通过构造得,由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】令可得,又,解得,又,
则,,即是以2为首项,2为公比的等比数列,则,.故选:B.
2.已知数列满足,对任意的都有,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用累加法可求得,代入即可求得.
【详解】由得:,
,,,…,,
各式作和得:,
,.故选:C.
3.已知,则( )
A.504 B.1008 C.2016 D.4032
【答案】D
【分析】根据数列的递推式,变形为,采用累乘法,求得答案.
【详解】由可得:,
故 ,故选:D.
4.某校为推广篮球运动,成立了篮球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练,从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第n次触球者是甲的概率为,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】要想第n次触球者是甲,则第(n-1)次触球的人不能是甲,且第(n-1)次触球的人有的概率将球传给甲,有,设,可求得,从而有是以为首项,以为公比的等比数列,由等比数列的通项公式求得,代入可求得.
【详解】解:要想第n次触球者是甲,则第(n-1)次触球的人不能是甲,且第(n-1)次触球的人有的概率将球传给甲,
所以,即,
设,则,所以,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,所以,即,所以,故选:C.
5.数列满足,且,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】分析可知数列是等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列的通项公式,然后分析数列的单调性,可得结果.
【详解】因为,等式两边同时乘以可得,
所以,且,
所以,数列是等差数列,且首项和公差都为,则,所以,,
因为.当时,;
当时,,即数列从第二项开始单调递减,
因为,,故当时,;当时,.
所以,,则的最小值为.故选:B.
高频考点二 由an与Sn的关系求通项
【例4】(1)已知数列的前n项和满足且则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据递推公式,结合前n项和与通项的关系可得,再求解即可
【详解】由题意,故当时,,即.当时,恒成立,当时,,解得.
当时,,故,即, ,故,故当时,为常数列,故,故,即,又,故,故当时也成立,故.故,故
故选:C
(2)已知数列满足,且,则( )
A.1023 B.1535 C.1538 D.2047
【答案】B
【分析】根据的关系可得,进而可得从第二项起,成等比数列,公比为2,根据等比数列公式即可求解.
【详解】由得,进而可得:,当时,,故从第二项起,成等比数列,公比为2,故,
故选:B
【方法技巧】
1.由Sn求an的步骤
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
2.Sn与an关系问题的解题思路
根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化,
(1)由an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式求解;(2)转化为只含an,an-1(n≥2)的关系式.
【变式训练】
1.在等比数列中,已知前n项和,则a的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】B
【分析】利用成等比数列列方程,化简求得的值.
【详解】,
由于是等比数列,所以,即.故选:B
2.若数列{}的前n项和为=,=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据已知条件,利用与的关系求得数列的通项公式,利用等比数列前项和公式求解即可.
【详解】解:当时,,解得,
当时,,即,
∴是首项为1,公比为-2的等比数列,∴,
所以.故选:B.
高频考点三 数列的性质
【例5】 (1)(2022·成都诊断)设数列{an}满足:a1=2,an+1=(n∈N*).则数列{an}前2 021项的乘积a1a2a3a4…a2 021=________.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3(m≥2),则nSn的最小值为( )
A.-3 B.-5
C.-6 D.-9
【答案】(1)2 (2)D
【解析】(1)由a1=2得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…,
显然该数列中的数从a5开始循环,周期是4.
因此a1a2a3a4=1,且a2 021=a1=2.
故a1a2a3a4…a2 020a2 021=(a1a2a3a4)505·a2 021=2.
(2)由Sm-1=-2,Sm=0,
Sm+1=3(m≥2)可知am=2,am+1=3,
设等差数列{an}的公差为d,则d=1,
因为Sm=0,所以a1=-am=-2,
则an=n-3,Sn=,nSn=.
设f(x)=,x>0,f′(x)=x2-5x,x>0,
所以f(x)的极小值点为x=,
因为n∈N*,且f(3)=-9,f(4)=-8,
所以f(n)min=-9.即nSn的最小值为-9.
【方法技巧】
1.在数学命题中,以数列为载体,常考查周期性、单调性.
2.(1)研究数列的周期性,常由条件求出数列的前几项,确定周期性,进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an+1的大小,常用作差或作商法进行判断.
【变式训练】
1.已知数列是严格增数列,满足,,且.则n的最大值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】C
【分析】欲使得n尽可能大,则 的各项应尽可能小,据此即可求出n的最大值.
【详解】∵ ,并且是严格增数列, ,
∵ ,
即 ,解得 ,
, , , ,
,即n的最大值为12;故选:C.
2.在等差数列中,,,则数列的通项公式为______.记数列的前项和为,若得对恒成立,则正整数的最小值为______.
【答案】 5
【分析】利用等差数列性质计算出公差,求出通项公式;设,再利用放缩法得到,从而求出的最大值,列出不等式,求出正整数的最小值.
【详解】由题设,得等差数列的公差,
∴.
可化为,
令,
则,
∴,
∴当时,取得最大值.
由,得,∴正整数的最小值为5.故答案为:,5
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