拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（精讲）-高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：圆锥曲线中的定点问题

重点题型二：圆锥曲线中的定值问题

重点题型三：圆锥曲线中的定直线问题

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。

常考题型：

①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题；

④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题

重点题型一：圆锥曲线中的定点问题

典型例题

例题1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知在抛物线：上．

(1)求抛物线的方程；

(2)，是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点．

 例题2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于C，D两点．

(1)求直线的斜率k的取值范围；

(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．

例题3．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹过定点.

例题4．（2022·江苏·金陵中学二模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上．当时．不垂直于轴的直线与双曲线同一支交于，两点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线过点，在轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，求出点的的坐标；若不存在，说明理由．

例题5．（2022·江西·模拟预测（理））已知抛物线，动直线经过点（2，5）交于，两点，为坐标原点，当垂直于轴时，的面积为10．

(1)求的方程；

(2)上是否存在定点，使得在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

同类题型归类练

1．（2022·江苏泰州·一模）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.

2．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.

3．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为A，O为坐标原点，且椭圆C的离心率为，P，Q为椭圆上两点，当QO＝QA时，的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)过点P任作倾斜角互补的两条直线，，分别与椭圆C交于M，N两点，是否存在点P，使得AP⊥MN恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由．

4．（2022·重庆八中模拟预测）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．

5．（2022·全国·模拟预测）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．

(1)若，，成等差数列，求实数k的值；

(2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上．

6．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校三模（文））已知抛物线，过的直线与交于两点.当垂直于轴时，的面积为2

（1）求抛物线的方程；

（2）若在轴上存在定点满足，试求的坐标.

重点题型二：圆锥曲线中的定值问题

典型例题

例题1．（2022·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.

例题2．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．

(1)求和的值；

(2)证明：①为定值；

②直线斜率为定值，并求出该定值．

例题3．（2022·上海松江·二模）已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且，直线交椭圆于不同的两点和．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程；

(3)若直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．

例题4．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，

(1)求圆心的轨迹方程

(2)若过点且斜率的直线与交与两点，线段的垂直平分线交轴与点，证明的值是定值.

例题5．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知抛物线，点在抛物线上.

(1)求抛物线的准线方程；

(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.

同类题型归类练

1．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

2．（2022·河南·濮阳市油田第二高级中学模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率，且圆过椭圆C的上、下顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l的斜率为，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为，，证明：．

3．（2022·全国·模拟预测）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．

4．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．

(1)若，求证：；

(2)若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．

5．（2022·安徽·模拟预测（理））点为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)动点，为抛物线在第一象限内两点，且直线与直线的倾斜角互补，求证：是定值.

重点题型三：圆锥曲线中的定直线问题

典型例题

例题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.

(1)求点的轨迹的方程.

(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.

例题2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．

(1)求的方程；

(2)若直线与交于，两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．

例题3．（2022··一模）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．

同类题型归类练

1．（2022·河北沧州·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

2．（2022·安徽淮北·一模（理））已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若是线段的中点，求直线的方程；

(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.

3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线，，是C上两个不同的点．

(1)求证：直线与C相切；

(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.

（1）求C的方程.

（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.