人教版八年级下册19.2.2 一次函数教案

第十讲  一次函数的图像和性质

一、知识梳理：

考点1 一次函数的定义

一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。

当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

考点2 一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

考点3.正比例函数和一次函数图像及性质（总结）

考点4.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

　（3）解方程得出未知系数的值；

　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

考点5 直线（）与（）的位置关系

（1）两直线平行且

（2）两直线相交

二、课堂精讲：

（一）一次函数的图像

例1-1已知：和是一次函数y＝kx＋b的两组对应值．

（1）求这个一次函数；

（2）画出这个函数的图象，并求出它与x轴的交点、与y轴的交点；

（3）求直线y＝kx＋b与两坐标轴围成的面积．

例1-2已知一次函数。

（1）为何值时，y随x的增大而减小？

（2）为何值时，此直线与y轴交点在x轴下方？

（3）为何值时，此直线不经过第三象限？

（4）若，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。

【随堂演练一】【A类】

1.在正比例函数y=-3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在第_______象限．

2.如果一次函数y=(m-1)x+(n- 2)的图象不经过第一象限, 则m 的取值范围是_______,n的取值范围是_________.

3.如果函数y=kx+b(k>0)过A(x1，y1)和点B(x2，y2)且x1＞x2则y1与y2的大小关系是_______

4.对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是（　　）

A．函数值随自变量的增大而减小   B．函数的图象不经过第三象限

C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象

D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）

5.已知函数的图象如图，则的图象可能是(     )

A              B              C             D

6.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=-x-k的图象大致是（　　）

（二）待定系数法确定函数解析式及直线的平移

例2-1如下图，根据函数y＝kx＋b的图像求其解析式。

例2-2已知y＋3与x－2成正比例，若x＝2时y＝3，x＝1时y＝﹣5，求y与x的函数关系式。

例2-3一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，-2），求这个一次函数的解析式。

例2-4如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且，求点C的坐标．

例2-5（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是　     　，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是　    　；

（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是　       　；

（3）如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式．

【随堂演练二】【A类】

1.若一次函数y=kx—3经过点(3，0)，则k=_____,该图象还经过点( 0，  __）和（____，－2）.

2.若三点(1，3),(2，p),(0,6)在同一直线上，则p的值是________．

3.一次函数y=kx+b,若k+b=1,则它的图象必经过点（     ）

A.（-1，-1）    B.（-1，1）      C.（1，-1）    D.（1，1）

4.已知直线y＝mx－1上有一点B（1，n），它到原点的距离是，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　)

5.将直线y=-x-5向左平移5个单位，得到直线（    ）

A.y＝－x＋10      B.y＝x－10     C.y＝－x－10     D.y＝－x

6.将直线y=3x-2平移后,得到直线y=3x+6,则原直线 (   )

   A.沿y轴向上平移了8个单位    B.沿y轴向下平移了8个单位

C.沿x轴向左平移了8个单位    D.沿x轴向右平移了8个单位

7.已知点A（a＋2,1－a）在函数y＝2x－1的图像上，求a的值。

8.直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

（三）分段函数

例3.某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．

（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．

（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

【随堂演练三】【B类】

1. 某市为节约用水。制定了分段收费的政策，下图是一个月水费y （元）和用水量x（吨）的函数关系的图象。

（1）请写出这个函数关系的解析式及自变量x的取值范围。

（2）小明家与小敏家长期共用一只水表，五月份共用水30吨，应该付水费多少元？

（3）从六月份开始，两家各用一只水表，在两家总用水量不变（共用水30吨，两家用水量都超过了10吨）的情况下，六月份共付的水费比五月份多些还是少些？请说明理由。

（四）函数应用（方案问题）

 例4.某市的C县和D县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t.该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠送给C县和D县．已知A、B两县运货到C、D两县的运费（元/吨）如下表所示。（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方法.

【随堂演练四】【B类】

1.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑。经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需8万元。

（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？

（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的资金不超过2700000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的3倍。该校有哪几种购买方案？

（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？

2.现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．

（1）设A地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表：

（2）设总运费为W元，请写出W与的函数关系式．

（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？

三．小结：

四、课后巩固练习

【A类】

一、填空：

1.已知点P在直线y=上，且点P到y轴的距离等于3个单位长度，则点P的坐标为_____。

2.若正比例函数y＝(1－2m)x＋b的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是           

3.若正比列函数y=kx与y=2x的图像关于x轴对称，则的k值等于______.

4.一次函数，当 时，对应的函数值为，则k+b的值是      。

5．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为　   　．

二、我会选择。（选择正确的答案的序号填在括号内。）

1.直线y=kx-1一定经过点（    ）

   A.（1，0）  B.（1，k）     C.（0，k）  D.（0，﹣1）

2.一些函数y＝（1－m）x＋1，当y随x的增大而减小，那么该函数与x轴交于（   ）

     A.正半轴        B.负半轴       C.原点          D.无法确定

3.直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为（     ）

A.4       B.-4        C.±4       D.±2

4.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图,则旅客免费携带行李不超过(     )

A.40千克      B.35千克       C. 30千克      D.无法确定

5.若正比例函数的图象经过点和点,当 时,,则的取值范围是(     )

A. ＜0      B. ＞0       C. ＜      D. ＞

6.已知直线y=中，若ab＞0,bc＜0,那么这条直线不经过（    ）

A.第一象限        B.第二象限     C.第三象限      D.第四象限

7.如图所示,若kb<0,且b-k>0,则函数y=kx+b的大致图象是(    )

三．解答题

1．在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．

（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；

（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．

2.某电视台在黄金时段2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.6万元，30秒广告每播1次收费1万元．若要求每种广告播放不少于2次，解答下列问题：

（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？

（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？

3.某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：

（1）设加工甲种配件的人数为，加工乙种配件的人数为，求与之间的函数关系式．

（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．

（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．

4.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：

2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．设该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．

（1）上表中，a＝________；b＝________；（2）请直接写y与x之间的函数关系式；

（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？

5.某市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件.生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元.

（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；

（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？