北师大版高中数学必修第一册2.3 函数的单调性和最值-第2课时课件+练习

同步练习

§3  函数的单调性和最值

课时2   函数的最值

1.函数f（x）在区间［-2，5］上的图象如图所示，则此函数在区间［-2，5］上的最小值、最大值分别是（　）

A.-2，f（2）   B.2，f（2） 

C.-2，f（5）   D.2，f（5）

2.已知< -<3，则函数f（x）＝ax2+bx+c（a>0）在［-2，3］上有（　）

A.最大值f（-2），最小值    B.最大值，最小值f（-2）

C.最大值f（3），最小值    D.最大值，最小值f（3）

3.函数f（x）＝的最小值是（　）

A.-1     B.0     C.1     D.2

4.已知函数y＝x2-2x+3在区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　）

A.［1，+∞）   B.［0，2］   C.（-∞，2］   D.［1，2］

5.已知f（x）＝5-2|x|，g（x）＝x2- 2x，F（x）＝则F（x）（　）

A.有最大值3，最小值5-    B.有最大值5+，无最小值

C.有最大值3，无最小值     D.既无最大值，又无最小值

6.函数f（x）＝-2x在区间（-2，-1］上的最小值为（　）

A.1     B.     C.-     D.-1

7.已知函数f（x）＝，x∈［-8，-4），则下列说法正确的是（　）

A.f（x）有最大值，无最小值    B.f（x）有最大值，最小值

C.f（x）有最大值，无最小值    D.f（x）有最大值2，最小值

8.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x） + f（y），当x<0时，f（x）>0，则函数f（x）在［m，n］上有（　）

A.最小值f（m）       B.最大值f（n）

C.最大值       D.最小值f（n）

9.已知函数f（x）＝≥a在区间［3，5］上恒成立，则实数a的最大值是（　）

A.3     B.     C.      D.

10.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min{x+2，8-x}，则f（x）的最大值是　　　　.

11.已知函数f（x）满足对任意x>0，有f（x）-＝-3x，则f （x）的解析式是　　　，f（x）在区间［1，a］上的最大值f（x）max ＝　　　　.

12.在①∀x∈［-2，2］，②∃x∈［1，3］这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.

已知函数f（x）＝x2+ax+4.

（1）当a＝-2时，求f（x）在［-2，2］上的值域；

（2）若　　　　，f（x）≥0，求实数a的取值范围.

13.已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的解集为［-2，3］，且f（x）在区间［-1，1］上的最小值是4.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在［-2，t］上的最大值H（t）的解析式；

（3）设g（x）＝x+5-f（x），若对任意x∈ ，-g（x-1）≤4［m2g（x）+ g（m）］恒成立，求实数m的取值范围.

§3  函数的单调性和最值

课时2   函数的最值

参考答案

1.C　   2.A　   3.B　

4.D　解析：由y＝x2-2x+3＝（x-1）2+2知，当x＝1时，y的最小值为2；

当y＝3时，x2-2x+3＝3，解得x＝0或x＝2.

如图，由y＝x2-2x+3的图象知，

当m∈［1，2］时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

5.C　解析：由f（x）＝g（x）得5-2|x|＝x2-2x，

当x≥0时，5-2x＝x2--2x，所以x2＝5，解得x＝或x＝-（舍去）.

当x<0时，5+2x＝x2-2x，即x2-4x-5＝0，解得x＝-1或x＝5（舍去）.

故当x≤-1时，F（x）＝f（x）＝5+2x；

当-1<x<时，F（x）＝g（x）＝x2-2x；

当x≥时，F（x）＝f（x）＝5-2x.

作出F（x）的图象如图所示，由图象可知，

当x＝-1时，F（x）取得最大值F（-1）＝f（-1）＝5-2＝3，无最小值.

6.A　解析：因为y＝，y＝-2x在区间（-2，-1］上都单调递减，

所以f（x）＝-2x在区间（-2，-1］上单调递减，因此f（x）min＝f（-1）＝-1+2＝1.

7.A　解析：由题意得f（x）＝＝＝2+ ，

故f（x）是以点（1，2）为对称中心，在对称中心的左下和右上分别单调递减

的分式函数，

如图，由图象可知f（x）＝在［-8，-4）上单调递减，

所以f（x）在［-8，-4）上有最大值f（-8）＝＝＝，无最小值.

8.D　解析：任取x1，x2∈R，且x1<x2，令t＝x1-x2，则t<0，

f（x2）-f（x1）＝f（x2）-f（t+x2）＝f（x2）-f（t）-f（x2）＝-f（t）.

因为当x<0时，f（x）>0，所以f（t）>0，

所以f（x2）-f（x1）＝-f（t）<0，即f（x2）<f（x1）.

所以函数f（x）在R上是减函数，所以f（x）在［m，n］上有最小值f（n）.

9.D　解析：因为f（x）＝＝＝2+，所以函数f（x）在［3，5］上单调递减，

所以函数f（x）的最小值为f（5）＝，所以a≤，即a的最大值是.

10.5　解析：（方法一）当x+2≤8-x，即x≤3时， f（x）＝min{x+2，8-x}＝x+2.

由于函数f（x）＝x+2在（-∞，3］上单调递增，故f（x）max＝f（3）＝5.

当x+2>8-x，即x>3时，f（x）＝min{x+2，8-x}＝8-x.

由于函数f（x）＝8-x在（3，+∞）上单调递减，故f（x）max<f（3）＝5.

综上所述，f（x）的最大值是5.

（方法二）作函数y＝x+2与函数y＝8-x的图象如图所示，保留其较低的部分，易知在点A处取得最大值.解方程组得所以f（x）的最大值为5.

11.f（x）＝x+　

解析：由题意，得可得f（x）＝x+.

∵ f（x）＝x+在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴ 当1<a≤时，f（x）max＝f（1）＝3；

当<a≤2时，f（x）max＝f（1）＝3；

当a>2时，f（x）max＝f（a）＝a+.

综上，f（x）max＝

12.解：（1）当a＝-2时，f（x）＝x2-2x+4＝（x-1）2+3，

f（x）在（-2，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，

∴ f（x）min＝f（1）＝3，f（x）max＝max{f（-2），f（2）}＝max{12，4}＝12，

∴ f（x）的值域为［3，12］.

（2）选择条件①：若a≥4，则f（x）在（-2，2）上单调递增，∴ f（x）min＝f（-2）＝8-2a≥0.

又∵ a≥4，∴ a＝4.

若-4<a<4，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴ f（x）min＝＝4-≥0-4<a<4.

若a≤-4，则f（x）在（-2，2）上单调递减，∴ f（x）min＝f（2）＝8+2a≥0.

又∵ a≤-4，∴ a＝-4.

综上所述，a∈[-4，4].

选择条件②：∵ ∃x∈［1，3］，f（x）≥0，∴ f（x）max≥0，即max{f（1），f（3）}≥0.

∴ f（1）≥0或f（3）≥0，即a≥-5或a≥-.∴ a≥-5，即a的取值范围为[-5，+∞）.

13.解：（1）因为f（x）≥0的解集为［-2，3］，

所以可设f（x）＝a（x+2）（x-3）＝a（x2-x-6），且a<0.

函数f（x）图象的对称轴为直线x＝，开口向下，

则f（x）在区间［-1，1］上的最小值f（x）min＝f（-1）＝-4a＝4，解得a＝-1，所以f（x）＝-x2+x+6.

（2）由（1）知函数f（x）图象的对称轴为直线x＝，开口向下，

所以当-2<t≤时，H（t）＝f（t）＝-t2+t+6；

当t>时，H（t）＝＝.

所以H（t）＝

（3）由题意得，g（x）＝x+5+x2-x-6＝x2-1.

因为-g（x-1）≤4［m2g（x）+g（m）］对任意x∈ 恒成立，

即-1-［（x-1）2-1］≤4［m2（x2-1）+m2-1］对x∈恒成立，

则x2≤x2-2x-3，即-4m2≤--+1对x∈恒成立，

令d＝∈，则y＝＝-3d 2-2d+1，d∈，

该二次函数图象开口向下，对称轴为直线d＝ -，

所以当d＝-时，ymin＝-，故-4m2≤-，

所以（3m2+1）· （4m2-3）≥0，解得m≤-或m≥.

所以m的取值范围是∪.