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《2.3函数的单调性和最值》第1课时优秀教案北师大新课标
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这是一份《2.3函数的单调性和最值》第1课时优秀教案北师大新课标，共8页。
第二章 函数 2.3函数的单调性和最值 第2课时 教学目标 1．知识目标 (1)利用函数的单调性定义证明函数的单调性． (2)复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明． (3)熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题． 2．核心素养目标 (1)通过函数单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法． (2)提高学生的数学运算和直观想象能力． 教学重难点 教学重点：利用定义证明函数的单调性． 教学难点：利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题． 课前准备 PPT课件． 教学过程 一、导入新课 问题1：增函数和减函数的定义是什么？ 师生活动：教师提问，学生思考并回答，教师补充． 预设答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意的x1，x2∈A，当x1f(x2)，就称函数y=f(x)在区间A上是减函数．
追问：如果有两个函数y=f(x)和y=g(x)，在同一个区间I上都是单增（单减）函数，那么函数y=f(x)+g(x)的具有怎样的单调性？能不能判断函数y=f(x)−g(x)的单调性呢？
预设答案：函数y=f(x)+g(x)也是单增（单减）函数，函数y=f(x)−g(x)的单调性不确定．
设计意图：教师引导学生复习回忆上节课知识，引出本节课的课题．
★资源名称：【知识点解析】函数的基本性质．
★使用说明：本资源为《函数单调性的加减性质》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数、函数的单调性的加减性质,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
二、新知探究
1．定函数在区间上的单调性
问题2：画出函数f(x)=−3x+2的图像，通过图像判断函数在上的单调性．
师生活动：学生独立思考画图，求证，回答．
预设答案：
设计意图：通过画函数fx=−3x+2的图像，培养学生细心观察图象并进行分析最后严谨论证的良好思维习惯．
问题3：如何证明fx=−3x+2在R上单调递减，请给出证明．
师生活动：教师引导学生分析，根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是．根据实数大小关系的基本事实，只要考察与的大小关系．学生尝试写出证明步骤，教师点评总结．
预设答案：解：画出函数fx=−3x+2的图象，可以看出函数在R上是减函数；
下面用定义证明这一单调性；
任取x1，x2∈R，且x10，即，
所以函数fx=−3x+2在R上是减函数．
设计意图：使学生从形与数两方面加深理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法，提高学生的推理论证能力．
问题4：你能归纳一下用单调性定义证明一个函数在区间上的单调性的基本步骤吗？
师生活动：请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤．
预设答案：
（ = 1 \* roman i）取值：任取x1，x2，且x10，函数fx=x3−ax是区间[1,+∞)上的单调函数，求实数a的取值范围？
师生活动：教师引导学生分析参数对函数单调性的影响，学生完成证明过程．
预设答案：
(1)设x1，x2∈[0,+∞)，且x1x1+x2，x1+x2x12+1+x22+1<1，
因为a≥1，所以x1+x2x12+1+x22+1−a<0，
所以f(x1)−fx2>0，即f(x1)3，
根据题意x12+x22+x1x2−a的符号恒正或恒负，所以a≤3．
故实数a的取值范围是(0，3]．
设计意图：让学生感受解决问题的一般方法：从特殊到一般，从简单到复杂；培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识，从而培养学生逻辑推理的数学核心素养．
三、巩固练习
例1判断函数f(x)=x的单调性，并给出证明．
师生活动：学生代表板书证明过程，教师点评．
预设的答案：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数，下面给出证明；
设x1，x2∈[0,+∞)，且x10，∴fx1)−f(x2<0，即fx1)0，
故函数fx=x+1x在区间(0，1]上是减函数．
同理可证，函数fx=x+1x在区间[1,+∞)上是增函数．
设计意图：强化记题步骤与格式．
例3
（1）已知函数在区间(−∞,3]上是减函数，求实数的取值范围；
（2）已知的单调递减区间是(−∞,3]，求实数的取值范围．
师生活动：学生代表板书证明过程，教师点评．
预设答案：的对称轴为，
；
．
设计意图：强化记题步骤与格式．
教师总结：
= 1 \* GB3 ①函数y=x+1x在区间(0，1]上是减函数，在区间[1,+∞)上是增函数；
在区间(0,+∞)上，由函数的单调性或由均值不等式x+1x≥2，可得当x=1时，函数y=x+1x取得最小值2；
同理也可以得到x∈(−∞,0)时函数的单调性；
画出该函数的图象，该函数又叫双曲函数或对勾函数．
②形如fx=ax+bx(a>0，b>0)的函数，在区间(0,+∞)上也具有类似的性质；
根据均值不等式，可得当x=ba时，函数取得最小值2ab；
函数在区间(0,ba)上是减函数，在区间[ba,+∞)上是增函数．
= 3 \* GB3 ③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性．
例如：求函数fx=1-2xx-1在区间[2，3]上的最值．
fx=1-2xx-1=21-x-1x-1=−2−1x-1，当x∈[2，3]时，随着x增大，−1x−1增大，所以函数fx增大，即函数单调增．
所以fxmin=f2=−3，fxmax=f3=−．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④区分在区间D上递减和的单调递减区间是D．
【课堂练习】
1．已知函数f(x)=，证明函数在(−2，+∞)上单调递增．
师生活动：学生黑板演练过程，教师指导点拨，规范做题步骤．
预设的答案：∀x1，x2∈(−2，+∞)，且x1>x2>−2，f(x)=，
则= =，
因为x1>x2>−2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以．
故函数f(x)在(−2，+∞)上单调递增．
设计意图：规范函数单调性的证明步骤．
2．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
师生活动：小组合作讨论，教师巡视点拨．
预设的答案：因为对任意的，总有，
所以函数是上的单调增函数，
从而由，可得，解得．
故答案为．
设计意图：巩固学生对函数单调性的理解．
四、归纳小结
问题6：本节课我们学习了哪些内容？结合上一节课的学习内容，请总结一下判断函数单调性有哪些方法？做题过程中要注意什么问题？
师生活动：教师阐述单调性的意义与作用，师生一起总结判断函数单调性的方法．
预设的答案：
1、判断函数单调性的方法：
（1）从图象上直观判断；（2）根据单调性定义判定．
2、利用定义证明单调性一般步骤：
（ = 1 \* roman i）取值：任取x1，x2，且x10）；
（ = 4 \* ROMAN IV）结论：若fx1−fx2<0，则在区间D内为增函数；若fx1−fx2>0，则在区间D内为减函数．
3、判断动函数的单调性时，要注意参数的范围．
设计意图：反思回顾，整理知识，提升能力．
作业布置：教材P60页练习1、2、3，P62页A组第3、4、5题，B组第2、4题．
五、目标检测设计
1．如果函数fx=x2+bx+c，对任意实数x都有f2+x=f(2−x)，试比较f−3、f2、f3的大小．
设计意图：加强图像法求函数的单调性．
2．函数fx=2x+1，x≤0ax+a−1，x>0在R上单调递增，求实数a的取值范围．
设计意图：会判断分段函数的单调性．
3．已知定义在区间(0,+∞)上的函数fx，满足．
( = 1 \* roman i)对任意x，y∈(0,+∞)，都有fxy=fx+f(y)．
( = 2 \* roman ii)当00．
= 1 \* GB3 ①判断并证明fx在区间(0,+∞)上的单调性；
= 2 \* GB3 ②解关于a的不等式f1−2a−f4−a2>0．
设计意图：领会抽象函数的单调性的证明方法．
4．已知函数，若任意、且，都有，求实数的取值范围是________
设计意图：考查由函数单调性求参数范围．
5．已知函数在上为增函数，求实数k的取值范围．
设计意图：考查由函数单调性求参数范围．
参考答案：
1．解：根据题意，对任意实数x都有f2+x=f(2−x)，
则二次函数图象的对称轴为x=2，抛物线开口向上，
所以离对称轴距离越远的自变量对应的函数值越大，
所以f−3>f3>f2．
2．解：函数在R上单调递增，则在x>0时单调递增，
且在分界点x=0处右侧函数值不小于左侧函数值，
即a>0且a−1≥1，解得a≥2，
故实数a的取值范围为a≥2．
3．解： = 1 \* GB3 ①设x1，x2∈(0,+∞)，且x10，即fx1−fx2>0，
故函数在区间(0，+∞)上单减．
= 2 \* GB3 ②不等式f1−2a−f4−a2>0，即f1−2a>f4−a2
由函数的定义域和单调递减，得1−2a>04−a2>01−2a<4−a2，解得−1
第二章 函数 2.3函数的单调性和最值 第2课时 教学目标 1．知识目标 (1)利用函数的单调性定义证明函数的单调性． (2)复杂函数（双曲函数、分式函数、复合函数等）单调性的分析和证明． (3)熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题． 2．核心素养目标 (1)通过函数单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法． (2)提高学生的数学运算和直观想象能力． 教学重难点 教学重点：利用定义证明函数的单调性． 教学难点：利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题． 课前准备 PPT课件． 教学过程 一、导入新课 问题1：增函数和减函数的定义是什么？ 师生活动：教师提问，学生思考并回答，教师补充． 预设答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意的x1，x2∈A，当x1
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