《2.3.1 函数的单调性和最值(1)》精品教案

这是一份《2.3.1 函数的单调性和最值(1)》精品教案，共6页。

第三章 函数的单调性和最值 2.3.1 函数的单调性和最值（1） 教学目标 1．理解增函数、减函数、最值等概念． 2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力． 3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯． 教学重难点 重点：函数单调性的概念． 难点：对函数单调性概念中关键词的理解． 教学过程 新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么? 2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点? 3．函数的定义域怎样确定?如何表示? 4．函数研究的主要内容是什么? 5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征? （1）y=2x+1 （2）y=−x2+1 （3）y=1x 1．函数概念：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y=fx，x∈A．函数的三要素：定义域、对应法则、值域． 2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系； 图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势； 列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值． 3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示． 4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质． 5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小． 设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． 二、新知探究 问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势． 答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变． 问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的． 答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小． 函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性． 追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢? 答案：对于任意的x1、x2∈[-6，-5]．当x1f(x2)，那么就称函数y=fx是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=fx在区间I上单调递减． 如果函数y=fx在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=fx在区间I上具有单调性．此时I为函数y=fx的单调区间． 追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？ 答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有x1、x2，只要满足x1 f(x2)成立，才能确定函数的单调性． 追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？ 答案：在函数y=fx定义域内的一个区间I上，对于任意的x1、x2∈I且x1≠x2， 若f(x1)－f(x2)x1−x2>0或f(x1)－f(x2)x1−x2>0，则称函数y=fx在区间I上是增函数或函数y=fx在区间I上单调递增． 若f(x1)－f(x2)x1−x2＜0或f(x1)－f(x2)x1−x2＜0，则称函数y=fx在区间I上是减函数或函数y=fx在区间I上单调递减． 问题４：观察问题２中函数的图象，函数值fx在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？ 答案：根据函数图象，函数值在f3和f2这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值． 函数的最值： 若存在实数M，对所有的x∈D，都有fx≤M，且存在x0∈D，使得fx0=M，则称M为函数y=f(x)的最大值． 同样的，可以定义函数y=fx的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值． 总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素； （2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有fx≤Mfx≥M成立，也就是说，函数y=fx 的图象不能位于直线y=M的上（下）方． 三、应用举例 例1．设fx是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由． （1）若存在x1、x2∈R，且x10，对于任意的x1∈R，都有f(x1)< f(x1+x2)成立，则函数fx在R上单调递增； （4）对任意的x1、x2∈R，且x1 f(x2)．所以存在x1、x2∈R，且x10时，x1 f(x2)，不能带等号． 设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识． 例2．设f(x)=1xx<0画出fx+3x<−3的图象，并通过图象直观判断它的单调性． 解：依题意知f(x)=1x+3x<−3其图象可由f(x)=1xx<0的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间−∞，−3上单调递减． 探究：对于f(x)=1x+3，−∞，−3和−3，+∞都是它的单调区间，并且函数f(x)=1x在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数? 解：不能，因为函数f(x)=1x+3的定义域不连续，当我们在区间−3，+∞上取一个数比如1，在区间−∞，−3上取一个数比如−4，我们知道−4<1，但f(−4)=1−1=−11．画出该函数的图象． 由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时，y=x−1取得最小值，最小值为0． 探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？ 　　答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式fx≤M． 四、课堂练习 1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值： （1）y=−5x，x∈2，7 （2）f(x)=3x2−6x+1，x∈3，4； （3）y=x2−2x，x∈−1，3． 2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8． （1）求f（50），并说明它的实际意义； （2）当速度x为多少时，汽车最省油？ 参考答案： 1．．解析：（1）y=−5x在区间2，7单调递减．最小值是f(7)=−35，最大值是f(2)=10． （2）函数f(x)=3x2−6x+1的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间3，4单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值． （3）由题意，函数y=x2−2x，在区间−1，0和1，2上单调递减；在0，1和2，3单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f(−1)=3． 2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km． (2)由题意，函数f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油． 五、课堂小结 1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1 f(x2)，那么就称函数y=fx是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=fx在区间I上单调递减． 2．函数的单调区间：如果函数y=fx在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=fx在区间I上具有单调性．此时I为函数y=fx的单调区间． 3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有fx≤M，且存在x0≤D，使得fx0=M，则称M为函数y=f(x)的最大值． 同样的，可以定义函数y=fx的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值． 六、布置作业 教材第60页练习题第2~4题．