高考数学艺考生文化课快速提分秘籍八（教师版）

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1．设A,B是非空集合,定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|y=},B={y|y=2x2},则A×B等于(　　)

(A)(2,+∞)         (B)∪∪(2,+∞)

【答案】A

【解析】因为A={x|y=}=,B={y|y=2x2}=.又A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},故A×B=(2,+∞).

2．直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为(　　)

A．－2  B．1  C．－  D．－1

【答案】D

【解析】由y＝－x＋ln x得y′＝－＋.又因为y′＝－＋＝，解得x＝1.把x＝1代入曲线方程y＝－x＋ln x得y＝－，所以切点坐标为，代入直线方程y＝x＋b得b＝－1.

3．对于任意a∈,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是(　　)

(A)(1,3)          (B)(-∞,1)∪(3,+∞)

(C)(1,2)          (D)(3,+∞)

【答案】B

【解析】f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,

令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,

由题意知即

解得x>3或x<1,故选B.

4．若函数f(x)=log3(x2-2ax+5)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是(　　)

(A)

【答案】C

【解析】令g(x)=x2-2ax+5,则g(x)=(x-a)2+5-a2,由题意知,g(x)在区间(-∞,1]上单调递减且g(x)>0,

∴∴1≤a<3,故选C.

5．若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,则不等式f(-1)<f(lgx)的解集是(　　)

(A)(0,10)        (B)(,10)

(C)(,+∞)      (D)(0,)∪(10,+∞)

【答案】D

【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|).

因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

由f(-1)<f(lgx),

故|lgx|>1,即lgx>1或lgx<-1,

解得x>10或0<x<.

6．已知函数f(x)=单调递减,那么实数a的取值范围是(　　)

(A)(0,1)        (B)(0,)

(C)[,)        (D)[,1)

【答案】C

【解析】由题意知需满足:

≤a<.

7．已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(　　)

(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)

(B)(-1,2)

(C)(-2,1)

(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)

【答案】C

【解析】f(x)=

由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.

8．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则 等于（　 　）

A．                B．                 C．或            D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，所以，得到，因此：.

考点：向量的数量积.

9．已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a+b的值等于　　　.

【答案】-7

【解析】A={x|x<-1或x>3},

∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},

∴B={x|-1≤x≤4},

∴a=-(-1+4)=-3,b=(-1)×4=-4,

∴a+b=-7.

10．若命题：，，则为             __.

【答案】

【解析】

试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知“，” 的否定为“”.

考点：全称命题与特称命题.

11．已知函数 ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为          .

【答案】或

【解析】

试题分析：观察的图象可知，当时，函数；

对任意的，不等式恒成立，即所以，

解得或，

故答案为或．

考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质，一元二次不等式的解法.

12．已知函数 ，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为                 .

【答案】或

【解析】

试题分析：对任意的，都有成立，即.观察的图象可知，当时，函数；

因为，

所以

所以，，解得或，

故答案为或．

考点：分段函数，对数函数、二次函数的性质.

13．若曲线y＝x－在点(m，m－)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m＝________．

【答案】64

【解析】由题意知m>0，因为y＝x－，所以y′＝－x－，则y′|x＝m＝－m－.故切线方程为y－m－＝－m－(x－m)，即y＝－m－x＋m－.令x＝0，则y＝m－，令y＝0，则x＝3m.因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，所以·3m·m－＝18，解得m＝64.

14．已知函数f(x)＝3x＋sin x－2cos x的图像在点A(x0，f(x0))处的切线斜率为3，则tan x0的值是________．

【答案】－

【解析】f′(x)＝3＋cos x＋2sin x，根据已知3＋cos x0＋2sin x0＝3，由此可得tan x0＝－.

15．设函数f(x)=为奇函数,则实数a=　　　　.

【答案】-1

【解析】显然f(x)的定义域为R,由题意,得f(0)==0,∴a=-1.

16．已知命题方程在上有解；命题不等式恒成立，若命题“”是假命题，求的取值范围．

【答案】的取值范围是.

【解析】

试题分析：先考虑命题为真时的取值范围，对于真时，易知，于是得到或，求解可得的取值范围；对于真时，可知，求解得到的取值范围；然后根据复合命题的真值表，由命题“或”是假命题可知都为假，根据为真时的取值范围得到为假时的取值范围，取交集即可.

试题解析：若正确，易知

的解为或    2分

若方程在上有解，只需满足或    4分

即           6分

若正确，即不等式恒成立，则有即

得           9分

若“或”是假命题，则都是假命题

有           12分

所以的取值范围是           13分.

考点：1.二次不等式；2.逻辑联结词；3.命题真假的判断.

17．在中,分别是角的对边，且.

（1）求的大小;（2）若，,求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由可变形得到，

，即，根据即得所求.

（2）分析已知条件，注意应用余弦定理得到，求得.

解得本题，巧妙地利用“整体观”，简化了解题过程.

试题解析：（1）由得：

                      2分

，                           4分

，又

                                  6分

（2）由余弦定理得：

，                         8分

又，，              10分

                  12分

考点：同角公式，两角和的三角函数，余弦定理的应用，三角形面积公式.

18．已知函数（）的最小正周期为．

（1）求函数的单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，求的最小值．

【答案】（1）  （2）

【解析】

试题分析：

（1）要求单调区间，首先要对进行化简得到最间形式，依次利用正弦二倍角，降幂公式，和辅助角公式就可以得到，进而利用复合函数的单调性内外结合求得函数的单调区间.

（2）利用“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，令，求出所有的零点，在根据上至少含有个零点，得到b的取值范围，进而得到b的最小值.

试题解析：

（1）由题意得

                 2分

由周期为，得.得          4分

由正弦函数的单调增区间得，得

所以函数的单调增区间是        6分

（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，

得到的图象，所以          8分

令，得：或       10分

所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上有个零点，

则不小于第个零点的横坐标即可，即的最小值为    12分

考点：零点 单调性 辅助角公式 正余弦倍角公式

19．已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．

【答案】（1）|a＋b|＝2cosx（2）λ＝

【解析】(1)a·b＝cosx·cos－sinx·sin＝cos 2x.

∵a＋b＝，

∴|a＋b|2＝2＋2

＝2＋2＝2＋2cos 2x＝4cos2x.

∵x∈，∴cos x≥0.因此|a＋b|＝2cos x.

(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，

∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2，cos x∈．

①当0＜λ≤1时，当cos x＝λ时，

f(x)有最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝.

②当λ＞1时，当cos x＝1时，f(x)有最小值1－4λ＝－，

λ＝ (舍去)，综上可得λ＝

20．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＋2anan－1＝0(n∈N*，n>1)．

(1)求证：数列是等差数列并求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝anan＋1，求证：b1＋b2＋…＋bn< .

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)已知an－an－1＋2anan－1＝0，两边同除以anan－1得－＝2.

则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

于是＝2n－1，an＝ (n∈N*)．

(2)由(1)知bn＝，则

b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<

21．已知函数f(x)＝的图象过原点，且关于点(－1,2)成中心对称．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f(an)，试证明数列为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．

【答案】（1）f(x)＝（2）an＝

【解析】(1)∵f(0)＝0，∴c＝0.

∵f(x)＝的图象关于点(－1,2)成中心对称，

∴f(x)＋f(－2－x)＝4，解得b＝2.

∴f(x)＝.

(2)∵an＋1＝f(an)＝，

∴当n≥2时，＝·＝·＝·＝2.

又＝2≠0，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴＝2n，∴an＝.

22．数列的前n项和记为,,点在直线上,n∈N*．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设,是数列的前n项和,求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式，只需证明等于一个与无关的常数，由已知点在直线上，可得，可利用进行转化，即，由此可得，即，可证得数列是等比数列，从而可求出数列的通项公式；（2）设,是数列的前n项和,求的值，首先求出数列的通项公式，故数列的通项公式为，可用拆项相消法求和，即，从而得的值．

试题解析：（1）由题意得，,（1分）两式相减,得即，（3分），则,当时是首项为1，公比为3的等比数列．（5分）

（6分）

（2）由（1）得知，，（8分）,（10分）

．（12分）

考点：等比数列的定义，数列求和．