高考数学艺考生文化课快速提分秘籍九（教师版）

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1．对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是(　　)

(A)(-∞,-1)∪(-,0)       (B){-1,-}

(C)(-1,-)                (D)(-∞,-1)∪

【解析】由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,

∴f(x)=

函数f(x)的图象如图所示,

由图象知,当c<-1或-<c<0时,

函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.

2．已知函数（、、为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（   ）

A.     B.       C.      D.

【答案】D

【解析】

试题分析：因为函数的导数为.又由于当时取极大值，当时取极小值.所以即可得，因为的范围表示以圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最大，过点B最小，通过计算可得的取值范围为.故选D.

考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想.

3．若函数f(x)=log3(x2-2ax+5)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是(　　)

(A)

【答案】C

【解析】令g(x)=x2-2ax+5,则g(x)=(x-a)2+5-a2,由题意知,g(x)在区间(-∞,1]上单调递减且g(x)>0,

∴∴1≤a<3,故选C.

4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为(　　)．

A．30°        B．60°         C．120°       D．150°

【答案】D

【解析】因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos 60°＝3.所以|c|＝.

又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos 60°＝－，设向量c与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于(　　)．

A．－      B.

C．－1          D．1

【答案】D

【解析】＝＋＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋＝1＋－·＝－||||cos 60°＝－×1×2×＝1.

6．在等差数列{an}中，a1＝－2 014，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 014的值等于(　　)．

A．－2 011      B．－2 012       C．－2 014      D．－2 013

【答案】C

【解析】根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2 014，公差d＝1，故＝－2 014＋(2 014－1)×1＝－1，所以S2014＝－2014.

7．若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　.

【答案】(-∞,0)

【解析】【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求a的取值范围.

解:由题意知该函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f'(x)=2ax+存在零点的问题.

方法一(图象法):将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.

当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).

方法二(分离变量法):可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,显然可得a=-∈(-∞,0).

8．点是曲线上任意一点， 则点到直线的距离的最小值是          .

【答案】

【解析】

试题分析：因为点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是在点的切线与该直线平行的时候，由（负值舍去），所以点的坐标为，此时点到直线的距离为.

考点：1.导数的几何意义；2.点到直线的距离公式.

9．已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则的最小值为________．

【答案】

【解析】由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由＝4a1，得aman＝16，即2m＋n－2＝16，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当，即n＝2m＝4时取得最小值

10．命题: 关于的不等式，对一切恒成立; 命题: 函数在上是增函数.若或为真， 且为假，求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】

试题分析：先根据不等式恒成立问题以及二次函数的图像与性质求出为真时的的取值范围，再根据指数函数的图像与性质求出为真时的的取值范围.根据已知条件“或为真,且为假”可知，与一真一假，那么分别求出“真假”和“假真”情况下的的取值范围，两种情况下的的取值范围取并集即可.

试题解析：由于为真，故有解得  2分

再由为真，可得解得            4分

因为或为真，且为假

一真一假                      6分

当真假时，

当假真时，           10分

的取值范围为              12分.

考点：1.二次不等式；2.指数函数的图像与性质；3.逻辑联结词.

11．设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合（其中，且）.

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）;（2）实数的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）先求出集合和集合,求出交集即可；（2）由，可求出取值范围.

试题解析：（1）由或，

当时，由，，7分

（2）当时，若

或，解得或，故的取值范围是．14分 

考点：集合之间的关系、集合之间的运算.

12．已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.

【答案】（１）；（２）或

【解析】

试题分析：（1）当时，，可通过求函数的导数，从面得到切线的斜率，然后由点斜式写出直线的方程；

（2）可先求出，则由在区间上是减函数可知在区间上恒成立，可通过解不等式组获解.

试题解析：解：（１）

（２），然后对进行分类讨论的或

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用.

13．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sin B，－)，n＝，且m∥n

(1)求角B的大小；

(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)m∥n⇒2sin B·＋cos 2B＝0

⇒sin 2B＋cos 2B＝0⇒2sin＝0(B为锐角)⇒2B＝⇒B＝.

(2)cos B＝⇒ac＝a2＋c2－4≥2ac－4⇒ac≤4.

S△ABC＝a·c·sin B≤×4×＝.

14．已知函数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）设的内角的对应边分别为，且若向量与向量共线，求的值.

【答案】（1） ；（2）

【解析】

试题分析：（1）因为函数所以通过二倍角公式及三角函数的化一公式，将函数化简，再通过正弦函数的单调递增区间公式，将化简得到变量代入相应的x的位置即可求出函数的单调递增区间，从而调整k的值即可得到结论.

（2）由（1）可得函数的解析式，再由即可求得角C的值.在根据向量共线即可求得一个等式，再根据正弦定理以及余弦定理，即可求得相应的结论.

试题解析：(I)==

令，

解得即

,f(x)的递增区间为

 （2）由,得

而,所以,所以得

因为向量与向量共线，所以，

由正弦定理得:　　　　 ①

由余弦定理得:,即a2+b2－ab=9　②

由①②解得

考点：1.二倍角公式.2.化一公式.3.三角函数的单调性.4.解三角形.

15．在平面直角坐标系中，已知点．

（1）若，且，求角的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）,（2）.

【解析】

试题分析：（1）由向量模的坐标表示，得两边平方后就直接转化为同角三角函数关系，利用得到，再结合的取值范围，解出，（2）由向量数量积的坐标表示，得，同样利用同角三角函数关系：解出，另外对所求代数式进行切化弦化简得，两者结合可得结果.

试题解析：（1）由题意

∵，∴整理得，    4分

∵，∴．                                                6分

（2）∵，∴，

整理得，                                               8分

∴，∴．                   10分

∴===．                    12分

考点：向量数量积，向量的模，同角三角函数关系.

16．已知数列{an}是等差数列,a2=6,a5=12,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)求证:数列{bn}是等比数列.

(3)记cn=,{cn}的前n项和为Tn,若Tn<对一切n∈N*都成立,求最小正整数m.

【答案】(1) an=2n+2   (2)见解析   (3) 2012

【解析】(1)设{an}的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d.

∵a2=6,a5=12,∴

解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.

(2)当n=1时,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.

当n≥2时,∵Sn=1-bn,Sn-1=1-bn-1,

∴Sn-Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).

∴bn=bn-1.

∴{bn}是以为首项,为公比的等比数列.

(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.

∴cn====-,

∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,

由已知得≥1,∴m≥2012,

∴最小正整数m=2012.