高考数学艺考生文化课快速提分秘籍十二（教师版）

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1．已知集合，，且，则实数的值是      ．

【答案】1

【解析】

试题分析：有限集之间包含关系，可用验证法.因为，所以，解此类问题一要注意挖掘隐含条件，避开不必要的讨论，二要注意全面，要验证结论的正确性，不能以偏概全.

考点：集合的子集

2．已知实数，满足约束条件则的最大值为      ．

【答案】

【解析】

试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求的最小值，即坐标原点到直线的距离的平方，为.

考点：线性规划求最值

3．设为等差数列的前项和，若，则正整数=    ．

【答案】5

【解析】

试题分析：因为，所以，因此公差，由，所以.

考点：等差数列前项和与等差数列通项关系

4．已知为虚数单位，计算=       ．

【答案】

【解析】

试题分析：由复数的运算主要考查知识点但要是掌握一些结论，如就可以提高解题的速度.

考点：复数的运算.

5．运行右图所示程序框图，若输入值x，则输出值y的取值范围是      ．

【答案】

【解析】

试题分析：由程序框图可得到一个分段函数，因此本题实质为根据定义域x，求值域.当时，当时，所以值域为

考点：流程图，函数值域.

6．已知，，则=      ．

【答案】

【解析】

试题分析：由，得从而所以解决三角函数给值求值问题，关键从角的关系上进行分析.

考点：三角函数给值求值.

7．函数的值域为      ．

【答案】

【解析】

试题分析：由得.所以当时，，单调减，当时，，单调增，所以值域为

考点：导数的应用.

8．已知，则不等式的解集是      ．

【答案】

【解析】

试题分析：因为当时，单调增；当时，单调增，所以在R上单调增.又，所以本题若用分类讨论解题则会出现计算繁难.

考点：利用函数性质解不等式.

9．若（m0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是     

【答案】

【解析】

试题分析：当时，当时，或.因为不等式对一切x≥4恒成立，所以不能满足，因此且，所以.本题恒成立问题，从解不等式出发，利用解集形式得出不等关系.

考点：不等式恒成立.

10．已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为           ．

【答案】

【解析】 

试题分析：

由题意可知，函数，令，解得，又，所以，所以函数在上的单调递增区间为.

考点：三角函数的图象与性质.

11．已知集合，，则=　　　　　　　　．

【答案】

【解析】

试题分析：由可得，则;又由可得，则，所以.

考点：集合的运算

12．若复数()是纯虚数，则=　　　　　　　　．

【答案】2

【解析】

试题分析：根据题意可得：，解得，则，故.

考点：复数的运算

13．由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是　　　　　　　　．

【答案】

【解析】

试题分析：根据题意可得：是真命题，则，即，故．

考点：1.命题的真假;2.三个二次的关系

14．已知，，与的夹角为，，则与的夹角为     ．

【答案】

【解析】

试题分析：要求与的夹角一般可先求两向量的数量积，而，因此，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故，夹角为．

考点：向量的夹角．

15．函数在区间上是减函数,则的最大值为     ．

【答案】

【解析】

试题分析：这类问题首先是通过导数研究函数的单调性，，显然有两不等实根，从题意上看，即，∴，由此求的最大值，可归结为线性规划问题，也可用不等式知识解决，两式直接相加，即，（时等号成立）．

考点：函数的单调性．

16．如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：

（1）PA∥平面MDB；

（2）PD⊥BC．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直.如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直.

试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM.    2分

因为M为PC中点,O为AC中点，

所以MO//PA.                                       4分

因为MO平面MDB，PA平面MDB,

所以PA//平面MDB.                                  7分

（2）因为平面PCD平面ABCD,

平面PCD平面ABCD =CD,

BC 平面ABCD ,BCCD,

所以BC平面PCD.             12分

因为PD平面PCD,

所以BCPD                   14分

考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.

17．设数列{an}满足an1=2ann24n1．

（1）若a13，求证：存在（a，b，c为常数），使数列{anf(n)}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

（2）若an是一个等差数列{bn}的前n项和，求首项a1的值与数列{bn}的通项公式．

【答案】（1），（2）

【解析】

试题分析：（1）解一般数列问题，主要从项的关系进行分析.本题项的关系是：型，解决方法为：构造等比数列，再利用等式对应关系得出的解析式，（2）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.令，则利用等式对应关系得出，再利用等差数列前n项和公式得

试题解析：解（1）

设         2分

也即   4分

   6分

所以存在使数列是公比为2的等比数列   8分

则   10分

（2）即

即       12分

     14分

是等差数列,        16分

考点：构造法求数列通项，等差数列前n项和公式，由和项求等差数列通项.

18．在△，已知

(1)求角值；

(2)求的最大值.

【答案】⑴;⑵ ．

【解析】

试题分析：⑴根据题意观察所给代数式特点可见此式中全为角的正弦，结合正弦定理可化角为边转化为，可将此式变形为，根据特征可联想到余弦定理，从而可求出的值，即可得出;⑵由⑴中所求的值，在中可得的值，这样可得的关系，则，运用两角差的余弦公式展开可化简得的形式，再根据公式化简，最后结合函数的图象，结合的范围，可求出的范围，即可得到的最大值．

试题解析：⑴因为，

由正弦定理，得，                2分

所以，所以，            4分

因为，所以．                      6分

⑵ 由，得，所以

，              10分

因为，所以，                 12分

当，即时，的最大值为．         14分

考点：1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角函数的图象

19．如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.

(1)求证：

(2)若为棱的中点，求证：平面.

【答案】⑴详见解析;⑵详见解析

【解析】

试题分析：⑴要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，根据题中四边形中的条件，不难求得，又由题中已知条件，结合面面垂直的性质定理就可证得，进而得证; ⑵要证明，根据线面平行的判定定理，可转化为证明线线平行，结合题中条件可证，在四形中，由并在三角形中结合余弦定理可求出和，即可证得，问题得证．

试题解析：⑴在四边形中，因为，，所以，     2分

又平面平面，且平面平面，

平面，所以平面，               4分

又因为平面，所以．               7分

⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，   9分

又因为在四边形中，，，

所以，，所以，所以，    12分

因为平面，平面，所以平面． 14分

考点：1.线线，线面平行;2.线面，面面垂直;3.余弦定理的运用

20．设向量，函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求使不等式成立的的取值集合．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）本题用向量给出条件，因此首先我们把求出来，利用向量的数量积运算，可得，然后我们三角函数化为的形式，再利用正弦函数的性质解题，在变形过程中，注意使．在都大于0的情况下，的单调增区间只要解不等式即得．（2）不等式是一个三角不等式，因，同样只要利用余弦函数的性质即可．

试题解析：(1)

.      5′

由，得，

∴的单调递增区间为.      8′

(2) 由，得.

由，得，则，

即. ∴使不等式成立的的取值集合为.  14′

考点：（1）向量的数量积与三角函数的单调性；（2）复合函数的导数与余弦函数的性质．