【单元检测】北师大版数学八年级上册--第一章 《勾股定理》单元测试卷 （含答案）

第一章 《勾股定理》单元测试卷

一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    )

A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m

2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ）

A． B． C．D．

3．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意可列方程（    ）

A． B．

C． D．

4．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（    ）

A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形

C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形

5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

6．已知△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则△ABC的面积为（    ）

A．168 B．84 C．84或36 D．168或72

7．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图②的方式放置在最大等边三角形内．若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出图②中（    ）

A．最大等边三角形与直角三角形面积的和 B．最大等边三角形的面积

C．较小两个等边三角形重叠部分的面积 D．直角三角形的面积

8．如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（ ）

A． B． C． D．32

9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为

A． B．3 C．1 D．

10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图， 以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 的方式放 置在最大正方形内．若图 中阴影部分的面积为 ，且 ，则 的长为（ ）

     图1                              图2

A． B． C． D．

11．如图，直角三角形纸片中，，，D为斜边中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（）

A． B． C． D．

12．如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。

13．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．

14．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸．

15．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为__尺．

16．如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．

17．如图，Rt中，，，，是的中点，是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点落在点处，如果，那么点和点间的距离等于______．

18．如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？

三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）

19．如图是一个可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到床面之上了（这里的A、B、C、D各点都是活动的）．活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可用如图的变换反映出来，如果已知四边形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多长时，才能实现上述的折叠变化？

20．如图，在中，，平分，交 于点 D，过点 D 作 于点 E．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

21．利用4个全等的直角三角形拼出了如图所示的图形.根据图形解决下列问题：

（1）四边形，四边形均为________；

（2）大正方形的面积可以表示为_______，还可以表示为________；

（3）根据（2）中大正方形面积的两种表示方法，你能得到勾股定理吗?请你说明理由.

22．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；

乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．

（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；

（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

23．如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时梯足B到墙脚C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：AC＝＝2.4(米)．

设点B将向外移动x米，即BB1＝x米，

则B1C＝(x＋0.7)米，A1C＝AC－AA1＝2.4－0.4＝2(米)，

而A1B1＝2.5米，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12得方程__________________，

解方程得x1＝________，x2＝________．

∴点B将向外移动________米．

(2)解完“思考题”后，小明提出了如下两个问题：

（问题一）在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？

（问题二）在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？

24．阅读理解题：

（几何模型）

条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题；在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A'P+PB＝A'B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．

（模型应用）

如图2所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．

（拓展延伸）

如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足　   （唯一选项正确）

A．∠APC＝∠EPD         B．PA＝PE

C．∠APE＝90°            D．∠APC＝∠DEP

答案

一、选择题

C．C．A．A．C．C．C．A．A.B．D．B．

二、填空题

13．90．

14．101

15．12．

16．．

17．2.5或10．

18．6或7或12或14.

三、解答题

19．由图1知

①

由图2知，AB+AD=CD+BC，即6+AD=15+BC②．

联立①②组成方程组得：

解得AD=39，BC=30．

故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化．

20．（1）证明：，

，

平分，，

，

在和中，

，

（HL），

；

（2）解：，，，

，

由（1）知，，，

，

在中，，

由勾股定理得：，

即，

解得：，

．

21．（1）正方形；

（2）大正方形的面积等于边长的平方为：；大正方形的面积等于四个三角形面积加小正方形面积为：；

（3）能.理由如下：

由（2），得，

即，

所以.

22．解：（1）△ABC是直角三角形；

理由如下：

∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；

（2）甲方案所修的水渠较短；

理由如下：

∵△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，

∴CH＝（m），

∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），

∴AC+BC＜CH+AH+BH，

∴甲方案所修的水渠较短．

23．解：设点B将向外移动x米，即，

则，

而，在中，由，

得方程__(x+0.7)2+22=2.5²__，

解方程得 =_0.8_，=-2.2 (舍去)，

∴点B将向外移动__0.8__米．

(2)①不会是0.9米.

若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4-0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，

1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，即A1C2+B1C2≠A1B12，

所以该题的答案不会是0.9米.

②有可能.

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有

(x+0.7)2+(2.4-x)2=2.52，解得x=1.7或x=0(舍去).

所以当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，

即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

24．模型应用：作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置，作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，则四边形CA′ED为矩形，

∴DE＝A′C＝AC＝1，A′E＝CD＝3，

∴BE＝BD+DE＝4，

由勾股定理得，A′B＝＝＝5，

则PA+PB＝A′B＝5，

∴最省的铺设水管的费用W＝200×5＝1000（元）；

拓展延伸：延长ED至E′，连接AE′交BC于点P，则点P即为所求，连接EP，

∵点E与点E′关于BC对称，

∴∠E′PD=∠EPD，

∵∠E′PD=∠APC，

∴∠APC=∠EPD，A正确；

∵唯一选项正确，∴其余选项均错误；

故选：A．