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人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角综合训练题
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这是一份人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角综合训练题，共36页。试卷主要包含了单选题，与平行线有关的内角和问题，三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用，直角三角形两锐角互余的应用等内容，欢迎下载使用。
专题11.8 三角形的内角（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的内角和及证明
1．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EFAB
B．过AB上一点D作DEBC，DFAC
C．延长AC到F，过C作CEAB
D．作CD⊥AB于点D
2．定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
证法1：如图
∵，，（量角器测量）
∵（计算所得）
∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角定义）．
∴（等量代换）
即．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
3．如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化
类型二、与平行线有关的内角和问题
4．如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）
A．120° B．128° C．110° D．100°
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，，，，且点在上，点在上，AC∥EF，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（ ）
A．46° B．54° C．66° D．80°
类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）．
A．102° B．132° C．100° D．112°
8．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（ ）
A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）°
9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
类型四、三角形折叠中的角度问题
10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
11．如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（ ）
A．108° B．104° C．96° D．92°
12．如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为（ ）
A．22° B．21° C．20° D．19°
类型五、三角形内角和定理的应用
13．如图摆放的是一副学生用的直角三角板，，，AB与DE相交于点G，当时，∠AGE的度数是（ ）．
A．60° B．65° C．75° D．85°
14．小强把一个含有30°的直角三角板放在如图所示两条平行线m，n上，测得∠β＝115°，则∠α的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
15．在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的( ) ．
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
16．如图，直线l1∥l2，直线交于点A，交于点B，过点A的直线，交于点C．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，直线a//b，Rt△ABC 如图放置，若∠1=28°，∠2=80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
18．如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（ ）
A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°
二、填空题
类型一、三角形的内角和及证明
19．在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，则∠B=_____________.
20．∠A是∠B的2倍，∠C等于∠A加∠B，则△ABC是_____三角形.
21．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝45°，∠DBC＝105°，则∠C=____．
类型二、与平行线有关的内角和问题
22．如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．
23．如图所示，在中，，点D在边上，．若，则_____度．
24．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，∠ACB＝85°，则C处在B处的_____ 度方向．
类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
25．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．
26．如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝_____°．
27．已知△ABC，∠A=80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G=______°．
类型四、三角形折叠中的角度问题
28．如图，把三角形纸片沿折叠，使点落在四边形外部，那么，，之间的数量关系是________．
29．一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，若∠C＝86°，那么∠AEB＝__°．
30．如图，等边三角形中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为__．
类型五、三角形内角和定理的应用
31．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝_____．
32．如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAF＝_____度．
33．当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为____．
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
34．如图，中，，若，则__________．
35．如图，在中，，，，，则__．
36．如图，已知∠ABC与∠DCB互补，AC⊥BD，如果∠A=40°，那么∠D的度数是______．
三、解答题
37．在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角的顶点“凑”到BC边上的一点P，如图（1）？如果把三个角的顶点“凑”到三角形内一点呢[如图（2）]？“凑”到三角形外一点呢[如图（3）]？你还能想出其他证法吗？
38．已知：在三角形ABC和三角形DEF中，ABDE．
（1）如图1，若三角形DEF的顶点F在三角形ABC的边AB上，且DFAC．求证：∠A＝∠D；
（2）如图2，若三角形DEF的顶点F在三角形ABC的内部，∠A＝∠D，则DF与AC有怎样的位置关系？请说明理由．
39．如图所示，已知BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，DE过O点且与BC平行．
(1)若∠ABC＝52°，∠ACB＝60°，求∠BOC的大小；
(2)若∠A＝60°，求∠BOC的大小；
(3)直接写出∠A与∠BOC的关系是∠BOC＝ ．（用∠A表示出来）
40．如图，在中，D、E分别是边AB、AC上一点，将沿DE折叠，使点A落在边BC上．若，求四个角和的度数？
41．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
42．如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数．
参考答案
1．D
【分析】
本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B不符合题意．
C．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C不符合题意．
D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明，将三角形三个内角转换为平角是解本题的关键．
2．D
【分析】
利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，
解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．
3．D
【分析】
根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断．
解：延长BC至D，过点C作CEAB，
∴∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，
∵∠BCD＝180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
这个证明方法体现了转化的数学思想，
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质、平角定义、三角形的内角和定理的证明，根据证明过程找到转化思想是解答的关键．
4．D
【分析】
根据三角形内角和定理即可求出，再根据平行线的性质即得出．
解：∵在中，，
∴．
∵AB∥CD，
∴．
故选D．
【点拨】本题考查三角形内角和定理和平行线的性质．掌握三角形的三个内角的和为，两直线平行同位角相等是解题关键．
5．C
【分析】
根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AC∥EF，
∴∠DBE=∠C=45°，
∴∠FBD=135°，
∵∠E=60°，∠EDF=90°，
∴∠F=30°，
∴∠FDC=∠F+∠FBD=30°+135°=165°，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．B
【分析】
先根据∠ADE=40°，DE∥AB求出∠BAD的度数，再由AD平分∠BAC得出∠BAC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，
∴∠BAD=40°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=80°．
∵∠B=46°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-80°=54°．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
7．D
【分析】
根据∠1+∠PCB=∠ACB=68°及∠1=∠2，可由等量代换可知2+∠PCB=68°，然后利用三角形的内角和定理可得出所求角的度数．
解：∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°-68°=112°，
故答案选D．
【点拨】利用等量代换的思想及三角形的内角和定理是解答本题的关键．
8．D
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，
∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用．
9．B
【分析】
由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，
∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．
∵DB平分∠ABO，
∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD
=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO
=90°-（∠OAB+∠ABO）
=45°．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
10．C
【分析】
根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．
解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝20°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
11．D
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵，
∴∠ADE＝∠B＝44°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，
∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
12．C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ACB=100°，再根据折叠的性质得，∠ACN=∠A=30°，再根据折叠的性质得，∠ACN=∠A=30°，∠FCE=∠B=50°，进而得∠NCF=20°．
解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN=∠A=30°，∠FCE=∠B=50°，
∴∠NCF=20°．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理和折叠的性质是解题关键．
13．C
【分析】
过点G作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
解：
过点G作，
，
，
，
在和中，，，
，
，，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
14．B
【分析】
根据，得出，根据直角三角形的性质得出，根据三角形内角和得出，根据对顶角相等，得出，最后根据平行线的性质得出．
解：，
∴，
为直角三角形，，
∴，
，
，
，
，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
15．C
【分析】
过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可．
解：过点C作CH∥BE，CG∥AF，
由题意点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBE=20°，
∵CH∥BE，
∴∠HCB=∠CBE=20°，
∵∠ACB=70°，
∴∠ACH=70°-20°=50°，
∴点A在点C的南偏西50°方向．
故选：C．
【点拨】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质求解是解答此题的关键．
16．A
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABC=∠1=56°，再由，可得∠ACB=90°-∠ABC=34°，然后根据对顶角相等是解题的关键．
解：∵l1∥l2，∠1=56°，
∴∠ABC=∠1=56°，
∵，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°-∠ABC=34°，
∴∠2=∠ACB=34°．
故选：A
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
17．C
【分析】
根据平行线的性质，得出∠1+∠3=∠2，即可求出∠3度数，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
解：如图，
∵ab,
∴∠1+∠3=∠2，
∵∠3=∠2-∠1=80°-28°=52°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠3 =90°，
∴∠B=90°-52°=38°，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，直角三角形性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
18．C
【分析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算．
19．65°
【分析】
首先根据三角形的内角和求出,再结合已知条件求出；
解：
又
故答案是：.
【点拨】本题主要考查三角形的内角和为，熟记这一特点是解决本题的关键.
20．直角
【分析】
设∠B=x，则∠A=2x，则∠C=3x，根据三角形内角和定理即可得到答案.
解：设∠B=x，则∠A=2x，
∴∠C=x+2x=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴,
解得：，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为直角.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
21．30°
【分析】
先根据外角定理求出∠A，再利用三角形的内角和求出∠C.
解：∵∠DBC是△ABF的一个外角，
∴∠A=∠DBC-∠F=60°，
∵CE⊥AF，
∴∠C=90°-∠A=30°.
【点拨】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的外角定理与内角和.
22．34°##34度
【分析】
先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．
解：∵直线，∠1＝56°，
∴∠ABM＝∠1＝56°，
∵AM⊥b，垂足为点M，
∴∠AMB＝90°，
∴∠2＝180°−∠AMB−∠ABM＝180°−56°−90°＝34°，
故答案为：34°．
【点拨】本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三角形内角和是180°是解决问题的关键．
23．58
【分析】
由，可求出．根据两直线平行，内错角相等即可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出．
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：58．
【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识．掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．
24．80
【分析】
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角．
解：处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，
，
，
，
处在处的北偏东，
故答案为80．
【点拨】本题考查了方向角，解题的关键是熟练利用平行线的性质与三角形的内角和定理．
25．30°##30度
【分析】
由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质可求解．
解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
26．110
【分析】
根据CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，求出∠ADC即可．
解：∵CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，
∴∠ACE＝∠BCA，
∠CAP＝∠BAC，
∵∠BAC+∠BCA＝140°，
∴∠CAP+∠ACE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握了角平分线的性质是解题的关键．
27．115
【分析】
由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB=260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB=130°，即可得∠GBC+∠GCB=65°，再利用三角形内角和定理可求解．
解：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260°，
∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB，
∴∠FBC=∠DBC，∠FCB=∠ECB，
∴∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠ECB）=130°，
∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，
∴∠GBC=∠FBC，∠GCB=∠FCB，
∴∠GBC+∠GCB=（∠FBC+∠FCB）=65°，
∴∠G=180°-（∠GBC-∠GCB）=180°-65°=115°．
故答案为：115．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB=130°是解题的关键．
28．
【分析】
利用折叠的性质用和表示出与，在中利用三角形内角和定理求解．
解：由折叠的性质可知，，，
，，
在中，，
，
整理得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是找到折叠中相等的角．
29．43
【分析】
由翻折可得，结合可证，利用平行线的性质求得，进而求．
解：由翻折可知，∠B＝∠AB′E，∠AEB＝∠AEB′，
∵∠B＝∠D，
∴∠AB′E＝∠D，
∴B′E∥CD．
，
．
故答案为：43．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
30．95°##95度
【分析】
根据翻折的性质求出∠B′的度数，根据三角形内角和定理求出∠AFD的度数，得到答案．
解：由题意得，∠B′=∠B=60°，
∵∠ADF=95°，∠A=60°，
根据三角形内角和定理，∠AFD=25°，
则∠B′FG=25°，
∴∠FGB′=95°，
∴∠EGC=95°，
故答案为：95°．
【点拨】本题考查的是图形的翻折变换的性质，熟练运用三角形内角和定理和翻折变换的性质是解题的关键．
31．45°##45°
【分析】
延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．
解：延长CH交AB于点F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
32．20
【分析】
根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答．
解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝68°×＝34°，
在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，
于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．
故答案为：20．
【点拨】本题主要考查了角平分线、三角形高的定义和三角形的内角和定理．
33．135°##135度
【分析】
根据 “半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
解：∵α=15°，
∴β=2α=30°，
∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．
故答案为：135°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键．
34．60°##60度
【分析】
根据平行线的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠A ．
解：∵CE∥AB，∠BCE=30° ，
∴∠B=∠BCE=30°，
∵Rt△ACB中， ∠ACB=90°,
∴∠A=60°，
故答案为60°．
【点拨】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形和平行线的性质是解题关键 ．
35．65
【分析】
由于，根据三角形的内角和为即可求出、的度数，利用余角的性质和平角的定义即可求出的度数．
解：，，
，
，，
，
，
．
故答案为：65．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，余角的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．
36．50°
【分析】
由平行线的判定与性质可求得∠ACD=40°，结合垂线的定义可求解．
解：∵∠ABC与∠DCB互补，
∴AB∥CD，
∵∠A=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∵AC⊥BD，
∴∠ACD+∠D=90°，
∴∠D=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，垂线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
37．见分析
【分析】
如图1，把三个内角“凑”到BC边上的一点P，通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；如图2，可以把角“凑”到三角形的内部，即通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；如图3，可以把角“凑”到三角形的外部，即通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；还可以过△ABC某一顶点作对边的平行线进行证明．
解：（1）可以，如图1，过BC上任一点P，作PQAC，交AB于Q，作PRAB交AC于R，
则∠A＝∠BQP＝∠QPR，∠B＝∠RPC，∠C＝∠BPQ，
由∠BPQ＋∠QPR＋∠CPR＝180°，可得∠A＋∠B＋∠C＝180°；
（2）可以，如图2，过△ABC内任一点P作QRBC，作MNAB，作STAC，
则∠A＝∠QSP＝∠SPN，∠B＝∠SQP＝∠NPR，∠C＝∠NRP＝∠QPS，
由∠SPQ＋∠SPN＋∠NPR＝180°，可得∠A＋∠B＋∠C＝180°；
（3）可以，如图3，过三角形外一点P分别作三角形三边的平行线，
则∠A＝∠PTD＝∠SPN，∠B＝∠TDP＝∠NPR，∠C＝∠AED＝∠QPS，
由∠SPQ＋∠SPN＋∠NPR＝180°，可得∠A＋∠B＋∠C＝180°；
（4）如图4，过△ABC的顶点C作CEAB，延长BC至D，
则∠1＝∠B，∠2＝∠A，
由∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，可得∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．
【点拨】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和的证明以及平角定义的运用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
38．（1）见分析；（2）平行，理由见分析
【分析】
（1）由ABDE，得到∠D＝∠BFD，由DFAC，得到∠A＝∠BFD，进而推断出∠A＝∠D．
（2）如图2，延长AC交DE于点M．由ABDE，得∠A＝∠AME．又因为∠A＝∠D，所以∠AMD＝∠D．那么，ACDF．
解：（1）如图1，
∵ABDE，
∴∠D＝∠BFD．
∵DFAC，
∴∠A＝∠BFD．
∴∠A＝∠D．
（2）DFAC，理由如下：
如图2，延长AC交DE于点M．
∵ABDE，
∴∠A＝∠AME．
又∵∠A＝∠D，
∴∠AME＝∠D．
∴AMDF，即ACDF．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，熟练掌握三角形内角和定理以及平行线的性质与判定是解决本题的关键．
39．(1)124°(2)120°(3)90°+
【分析】
（1）根据角平分线定义求出∠OBC=，∠OCB=，然后利用三角形内角和公式求解即可；
（2）根据∠A=60°，结合三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，然后根据角平分线得出∠OBC=，∠OCB=，再利用三角形内角和得出∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-即可；
（3）先根据平分线定义得出∠OBC=，∠OCB=，然后根据三角形内角和公式得出∠BOC=180°-，再利用∠A表示即可．
(1)解：∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-26°-30°=124°；
(2)解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°--=180°-，=180°-60°=120°；
(3)解：∠BOC=90°+．
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°--=180°-=180°-=90°+．
故答案为：90°+．
【点拨】本题考查三角形内角和公式，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和公式，角平分线定义是解题关键．
40．235°
【分析】
依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
解：∵∠A=55°，
∴△ABC中，∠B+∠C=125°，
又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-125°=235°．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
41．
【分析】
根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
42．75°
【分析】
根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝70°，
∴∠DAC＝＝35°，
∵CE是△ADC边AD上的高，
∴
∴∠ACE＝90°﹣∠CAE＝55°，
∵∠ECD＝20°
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECD＝75°．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的定义．
专题11.8 三角形的内角（基础篇）（专项练习）
一、单选题
类型一、三角形的内角和及证明
1．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EFAB
B．过AB上一点D作DEBC，DFAC
C．延长AC到F，过C作CEAB
D．作CD⊥AB于点D
2．定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
证法1：如图
∵，，（量角器测量）
∵（计算所得）
∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角定义）．
∴（等量代换）
即．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
3．如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化
类型二、与平行线有关的内角和问题
4．如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）
A．120° B．128° C．110° D．100°
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，，，，且点在上，点在上，AC∥EF，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（ ）
A．46° B．54° C．66° D．80°
类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）．
A．102° B．132° C．100° D．112°
8．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，BD与CE交于点O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC（ ）
A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）°
9．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
类型四、三角形折叠中的角度问题
10．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
11．如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（ ）
A．108° B．104° C．96° D．92°
12．如图，在中，，，将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合，则的度数为（ ）
A．22° B．21° C．20° D．19°
类型五、三角形内角和定理的应用
13．如图摆放的是一副学生用的直角三角板，，，AB与DE相交于点G，当时，∠AGE的度数是（ ）．
A．60° B．65° C．75° D．85°
14．小强把一个含有30°的直角三角板放在如图所示两条平行线m，n上，测得∠β＝115°，则∠α的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
15．在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的( ) ．
A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上
C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
16．如图，直线l1∥l2，直线交于点A，交于点B，过点A的直线，交于点C．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，直线a//b，Rt△ABC 如图放置，若∠1=28°，∠2=80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
18．如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（ ）
A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°
二、填空题
类型一、三角形的内角和及证明
19．在△ABC中，∠B=∠C，∠A+∠B=115°，则∠B=_____________.
20．∠A是∠B的2倍，∠C等于∠A加∠B，则△ABC是_____三角形.
21．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝45°，∠DBC＝105°，则∠C=____．
类型二、与平行线有关的内角和问题
22．如图所示，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．
23．如图所示，在中，，点D在边上，．若，则_____度．
24．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，∠ACB＝85°，则C处在B处的_____ 度方向．
类型三、与角平分线有关的三角形内角和问题
25．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．
26．如图，点D是△ABC两条角平分线AP、CE的交点，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝_____°．
27．已知△ABC，∠A=80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分外角∠BCF，则∠G=______°．
类型四、三角形折叠中的角度问题
28．如图，把三角形纸片沿折叠，使点落在四边形外部，那么，，之间的数量关系是________．
29．一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，若∠C＝86°，那么∠AEB＝__°．
30．如图，等边三角形中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为__．
类型五、三角形内角和定理的应用
31．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝_____．
32．如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAF＝_____度．
33．当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为____．
类型六、直角三角形两锐角互余的应用
34．如图，中，，若，则__________．
35．如图，在中，，，，，则__．
36．如图，已知∠ABC与∠DCB互补，AC⊥BD，如果∠A=40°，那么∠D的度数是______．
三、解答题
37．在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角的顶点“凑”到BC边上的一点P，如图（1）？如果把三个角的顶点“凑”到三角形内一点呢[如图（2）]？“凑”到三角形外一点呢[如图（3）]？你还能想出其他证法吗？
38．已知：在三角形ABC和三角形DEF中，ABDE．
（1）如图1，若三角形DEF的顶点F在三角形ABC的边AB上，且DFAC．求证：∠A＝∠D；
（2）如图2，若三角形DEF的顶点F在三角形ABC的内部，∠A＝∠D，则DF与AC有怎样的位置关系？请说明理由．
39．如图所示，已知BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，DE过O点且与BC平行．
(1)若∠ABC＝52°，∠ACB＝60°，求∠BOC的大小；
(2)若∠A＝60°，求∠BOC的大小；
(3)直接写出∠A与∠BOC的关系是∠BOC＝ ．（用∠A表示出来）
40．如图，在中，D、E分别是边AB、AC上一点，将沿DE折叠，使点A落在边BC上．若，求四个角和的度数？
41．如图，在中，，垂足为点，，，求的度数．
42．如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数．
参考答案
1．D
【分析】
本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B不符合题意．
C．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C不符合题意．
D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明，将三角形三个内角转换为平角是解本题的关键．
2．D
【分析】
利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，
解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．
3．D
【分析】
根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断．
解：延长BC至D，过点C作CEAB，
∴∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，
∵∠BCD＝180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
这个证明方法体现了转化的数学思想，
故选：D．
【点拨】本题考查平行线的性质、平角定义、三角形的内角和定理的证明，根据证明过程找到转化思想是解答的关键．
4．D
【分析】
根据三角形内角和定理即可求出，再根据平行线的性质即得出．
解：∵在中，，
∴．
∵AB∥CD，
∴．
故选D．
【点拨】本题考查三角形内角和定理和平行线的性质．掌握三角形的三个内角的和为，两直线平行同位角相等是解题关键．
5．C
【分析】
根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AC∥EF，
∴∠DBE=∠C=45°，
∴∠FBD=135°，
∵∠E=60°，∠EDF=90°，
∴∠F=30°，
∴∠FDC=∠F+∠FBD=30°+135°=165°，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．B
【分析】
先根据∠ADE=40°，DE∥AB求出∠BAD的度数，再由AD平分∠BAC得出∠BAC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，
∴∠BAD=40°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=80°．
∵∠B=46°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-80°=54°．
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
7．D
【分析】
根据∠1+∠PCB=∠ACB=68°及∠1=∠2，可由等量代换可知2+∠PCB=68°，然后利用三角形的内角和定理可得出所求角的度数．
解：∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°-68°=112°，
故答案选D．
【点拨】利用等量代换的思想及三角形的内角和定理是解答本题的关键．
8．D
【分析】
根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°，
∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°．
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，要注意整体思想的利用．
9．B
【分析】
由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，
∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．
∵DB平分∠ABO，
∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD
=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO
=90°-（∠OAB+∠ABO）
=45°．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
10．C
【分析】
根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．
解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝20°，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．
11．D
【分析】
根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵，
∴∠ADE＝∠B＝44°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，
∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
12．C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠ACB=100°，再根据折叠的性质得，∠ACN=∠A=30°，再根据折叠的性质得，∠ACN=∠A=30°，∠FCE=∠B=50°，进而得∠NCF=20°．
解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN=∠A=30°，∠FCE=∠B=50°，
∴∠NCF=20°．
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理和折叠的性质是解题关键．
13．C
【分析】
过点G作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
解：
过点G作，
，
，
，
在和中，，，
，
，，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
14．B
【分析】
根据，得出，根据直角三角形的性质得出，根据三角形内角和得出，根据对顶角相等，得出，最后根据平行线的性质得出．
解：，
∴，
为直角三角形，，
∴，
，
，
，
，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
15．C
【分析】
过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可．
解：过点C作CH∥BE，CG∥AF，
由题意点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBE=20°，
∵CH∥BE，
∴∠HCB=∠CBE=20°，
∵∠ACB=70°，
∴∠ACH=70°-20°=50°，
∴点A在点C的南偏西50°方向．
故选：C．
【点拨】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质求解是解答此题的关键．
16．A
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABC=∠1=56°，再由，可得∠ACB=90°-∠ABC=34°，然后根据对顶角相等是解题的关键．
解：∵l1∥l2，∠1=56°，
∴∠ABC=∠1=56°，
∵，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°-∠ABC=34°，
∴∠2=∠ACB=34°．
故选：A
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
17．C
【分析】
根据平行线的性质，得出∠1+∠3=∠2，即可求出∠3度数，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
解：如图，
∵ab,
∴∠1+∠3=∠2，
∵∠3=∠2-∠1=80°-28°=52°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠3 =90°，
∴∠B=90°-52°=38°，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，直角三角形性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
18．C
【分析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算．
19．65°
【分析】
首先根据三角形的内角和求出,再结合已知条件求出；
解：
又
故答案是：.
【点拨】本题主要考查三角形的内角和为，熟记这一特点是解决本题的关键.
20．直角
【分析】
设∠B=x，则∠A=2x，则∠C=3x，根据三角形内角和定理即可得到答案.
解：设∠B=x，则∠A=2x，
∴∠C=x+2x=3x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴,
解得：，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为直角.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
21．30°
【分析】
先根据外角定理求出∠A，再利用三角形的内角和求出∠C.
解：∵∠DBC是△ABF的一个外角，
∴∠A=∠DBC-∠F=60°，
∵CE⊥AF，
∴∠C=90°-∠A=30°.
【点拨】此题主要考查三角形的角度计算，解题的关键是熟知三角形的外角定理与内角和.
22．34°##34度
【分析】
先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．
解：∵直线，∠1＝56°，
∴∠ABM＝∠1＝56°，
∵AM⊥b，垂足为点M，
∴∠AMB＝90°，
∴∠2＝180°−∠AMB−∠ABM＝180°−56°−90°＝34°，
故答案为：34°．
【点拨】本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三角形内角和是180°是解决问题的关键．
23．58
【分析】
由，可求出．根据两直线平行，内错角相等即可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出．
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：58．
【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识．掌握两直线平行，内错角相等是解题关键．
24．80
【分析】
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角．
解：处在处的南偏西方向，处在处的南偏东方向，
，
，
，
处在处的北偏东，
故答案为80．
【点拨】本题考查了方向角，解题的关键是熟练利用平行线的性质与三角形的内角和定理．
25．30°##30度
【分析】
由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质可求解．
解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
26．110
【分析】
根据CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根据三角形内角和定理，求出∠ADC即可．
解：∵CE，AP分别平分∠ACB和∠BAC，
∴∠ACE＝∠BCA，
∠CAP＝∠BAC，
∵∠BAC+∠BCA＝140°，
∴∠CAP+∠ACE＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110．
【点拨】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握了角平分线的性质是解题的关键．
27．115
【分析】
由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB=260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB=130°，即可得∠GBC+∠GCB=65°，再利用三角形内角和定理可求解．
解：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+180°=80°+180°=260°，
∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB，
∴∠FBC=∠DBC，∠FCB=∠ECB，
∴∠FBC+∠FCB=（∠DBC+∠ECB）=130°，
∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，
∴∠GBC=∠FBC，∠GCB=∠FCB，
∴∠GBC+∠GCB=（∠FBC+∠FCB）=65°，
∴∠G=180°-（∠GBC-∠GCB）=180°-65°=115°．
故答案为：115．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB=130°是解题的关键．
28．
【分析】
利用折叠的性质用和表示出与，在中利用三角形内角和定理求解．
解：由折叠的性质可知，，，
，，
在中，，
，
整理得．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是找到折叠中相等的角．
29．43
【分析】
由翻折可得，结合可证，利用平行线的性质求得，进而求．
解：由翻折可知，∠B＝∠AB′E，∠AEB＝∠AEB′，
∵∠B＝∠D，
∴∠AB′E＝∠D，
∴B′E∥CD．
，
．
故答案为：43．
【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
30．95°##95度
【分析】
根据翻折的性质求出∠B′的度数，根据三角形内角和定理求出∠AFD的度数，得到答案．
解：由题意得，∠B′=∠B=60°，
∵∠ADF=95°，∠A=60°，
根据三角形内角和定理，∠AFD=25°，
则∠B′FG=25°，
∴∠FGB′=95°，
∴∠EGC=95°，
故答案为：95°．
【点拨】本题考查的是图形的翻折变换的性质，熟练运用三角形内角和定理和翻折变换的性质是解题的关键．
31．45°##45°
【分析】
延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．
解：延长CH交AB于点F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为：45°．
【点拨】本题考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
32．20
【分析】
根据角平分线的定义和高的定义结合三角形的内角和定理来解答．
解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝68°×＝34°，
在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，
于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．
故答案为：20．
【点拨】本题主要考查了角平分线、三角形高的定义和三角形的内角和定理．
33．135°##135度
【分析】
根据 “半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
解：∵α=15°，
∴β=2α=30°，
∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．
故答案为：135°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键．
34．60°##60度
【分析】
根据平行线的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠A ．
解：∵CE∥AB，∠BCE=30° ，
∴∠B=∠BCE=30°，
∵Rt△ACB中， ∠ACB=90°,
∴∠A=60°，
故答案为60°．
【点拨】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形和平行线的性质是解题关键 ．
35．65
【分析】
由于，根据三角形的内角和为即可求出、的度数，利用余角的性质和平角的定义即可求出的度数．
解：，，
，
，，
，
，
．
故答案为：65．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，余角的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．
36．50°
【分析】
由平行线的判定与性质可求得∠ACD=40°，结合垂线的定义可求解．
解：∵∠ABC与∠DCB互补，
∴AB∥CD，
∵∠A=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∵AC⊥BD，
∴∠ACD+∠D=90°，
∴∠D=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，垂线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
37．见分析
【分析】
如图1，把三个内角“凑”到BC边上的一点P，通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；如图2，可以把角“凑”到三角形的内部，即通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；如图3，可以把角“凑”到三角形的外部，即通过作平行线作出与三角形的角相等的角进行证明；还可以过△ABC某一顶点作对边的平行线进行证明．
解：（1）可以，如图1，过BC上任一点P，作PQAC，交AB于Q，作PRAB交AC于R，
则∠A＝∠BQP＝∠QPR，∠B＝∠RPC，∠C＝∠BPQ，
由∠BPQ＋∠QPR＋∠CPR＝180°，可得∠A＋∠B＋∠C＝180°；
（2）可以，如图2，过△ABC内任一点P作QRBC，作MNAB，作STAC，
则∠A＝∠QSP＝∠SPN，∠B＝∠SQP＝∠NPR，∠C＝∠NRP＝∠QPS，
由∠SPQ＋∠SPN＋∠NPR＝180°，可得∠A＋∠B＋∠C＝180°；
（3）可以，如图3，过三角形外一点P分别作三角形三边的平行线，
则∠A＝∠PTD＝∠SPN，∠B＝∠TDP＝∠NPR，∠C＝∠AED＝∠QPS，
由∠SPQ＋∠SPN＋∠NPR＝180°，可得∠A＋∠B＋∠C＝180°；
（4）如图4，过△ABC的顶点C作CEAB，延长BC至D，
则∠1＝∠B，∠2＝∠A，
由∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，可得∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．
【点拨】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和的证明以及平角定义的运用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
38．（1）见分析；（2）平行，理由见分析
【分析】
（1）由ABDE，得到∠D＝∠BFD，由DFAC，得到∠A＝∠BFD，进而推断出∠A＝∠D．
（2）如图2，延长AC交DE于点M．由ABDE，得∠A＝∠AME．又因为∠A＝∠D，所以∠AMD＝∠D．那么，ACDF．
解：（1）如图1，
∵ABDE，
∴∠D＝∠BFD．
∵DFAC，
∴∠A＝∠BFD．
∴∠A＝∠D．
（2）DFAC，理由如下：
如图2，延长AC交DE于点M．
∵ABDE，
∴∠A＝∠AME．
又∵∠A＝∠D，
∴∠AME＝∠D．
∴AMDF，即ACDF．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，熟练掌握三角形内角和定理以及平行线的性质与判定是解决本题的关键．
39．(1)124°(2)120°(3)90°+
【分析】
（1）根据角平分线定义求出∠OBC=，∠OCB=，然后利用三角形内角和公式求解即可；
（2）根据∠A=60°，结合三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，然后根据角平分线得出∠OBC=，∠OCB=，再利用三角形内角和得出∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-即可；
（3）先根据平分线定义得出∠OBC=，∠OCB=，然后根据三角形内角和公式得出∠BOC=180°-，再利用∠A表示即可．
(1)解：∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-26°-30°=124°；
(2)解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°--=180°-，=180°-60°=120°；
(3)解：∠BOC=90°+．
∵BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠OBC=，∠OCB=，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°--=180°-=180°-=90°+．
故答案为：90°+．
【点拨】本题考查三角形内角和公式，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和公式，角平分线定义是解题关键．
40．235°
【分析】
依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度数．
解：∵∠A=55°，
∴△ABC中，∠B+∠C=125°，
又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-125°=235°．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
41．
【分析】
根据垂直的定义和三角形内角和定理计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键．
42．75°
【分析】
根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝70°，
∴∠DAC＝＝35°，
∵CE是△ADC边AD上的高，
∴
∴∠ACE＝90°﹣∠CAE＝55°，
∵∠ECD＝20°
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECD＝75°．
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的定义．
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