人教版数学九年级上册 第二十四章 圆 学案

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圆  【课标要求】： 1．理解圆的定义和圆的有关概念；  2.理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用它们之间的关系解决有关问题；  3.掌握垂径定理及其应用  【复习目标】：  1．知道圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念；认识圆的对称性；了解圆锥的侧面展开图是扇形。  2．能用垂径定理，圆心角、弧、弦之间关系定理，圆周角定理及推论，等进行简单的运算和推理；会通过作图的方法理解确定圆的条件。  3．会用折叠、旋转、圆的对称性及分类讨论的思想方法探索图形的有关性质，能将有关弦长、半径的实际计算问题转化成解直角三角形问题解决。 圆的对称性  【知识梳理】： 一. 知识结构图： 弧、弦、圆心角的关系 圆的基本性质 同弧上的圆周角与圆心角的关系 三角形内切圆 三角形的外接圆 点与圆的位置关系 与圆有关的位置关系 切线 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆 等分圆 正多边形和圆 弧长 扇形的面积 有关圆的计算 圆锥的侧面积与全面积 二．圆的基本概念 (1)圆的定义 ： ①在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆； ②到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆； (2)弦：连结圆上___________的线段叫做弦． (3)直径：___________的弦叫做直径． O (4)弧：圆上任意两点间的部分叫做___________． (5)优弧：___________叫做优弧． (6)劣弧：___________叫做劣弧． (7)等弧：在同圆或等圆中，___________的弧叫做等弧． (8) 弦心距： 叫弦心距。 三、圆的基本性质 （1）圆的对称性: ①圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. ②圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性. （2）同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系: (1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧 相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等. 如下图 ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB=CD （3）圆周角： ①定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角. ②性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（如图1） （2）在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.（如图2） （3）性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角). （4）性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.（如图3） （图1） （图2） （图3） ∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB ∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900 4、例题讲解 作圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线 1. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海） 2.如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断△ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌) 5、垂径定理及推论 (1)垂径定理 垂直于弦的直径___________，并且___________． (2)推论 平分弦(不是直径)的直线___________，并且__________．弦的垂直平分线_______________________________________________. 平分弦所对的一条弧的直径，__________________________________. 如图，∵CD是圆O的直径,CD⊥AB ∴AP=BP， ， 6、例题讲解 3、如图,已知⊙O的半径OA长为5, 弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为 _______. 4、如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。 5、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 四、三角形的外接圆与内切圆: 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点. 不在同一直线上的三点确定一个圆. 熟练掌握以下的结论： 记住：在具体计算时往往用到的是面积法和方程思想 例题讲解： 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4 求⊙O的半径r. 2、已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆⊙O的半径r.