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对数的运算教案
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这是一份对数的运算教案，共8页。
对数的运算 教学设计 教学目标 1．理解对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用； 2．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 3．能够利用对数的运算性质、换底公式解决问题，提升数学运算核心素养． 教学重难点 教学重点：对数的运算性质，换底公式． 教学难点：对数运算性质的得出，对数换底公式的推导． 课前准备 PPT课件，计算器． 教学过程 （一）新知探究 1．对数的运算性质 问题1：因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 师生活动：学生分组讨论交流，教师引导学生从对数与指数间的关系思考． 预设的答案：通过上节课的学习，我们知道了对数是通过指数幂的形式定义出来的，因此对数运算是由指数幂运算衍生出来的．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算．对于对数运算，我们也可以通过指数幂运算推导对数运算的性质． 设计意图：明确研究的内容，新旧知识产生联系，激发学生的探究欲望． 追问1：请回忆指数幂的运算性质． 师生活动：个别提问回答． 预设的答案：对于任意实数r，s，均有下面的指数幂运算性质． （1）； （2）； （3）． 设计意图：回忆指数幂的运算性质，为推导对数的运算性质提供理论上的支持． 追问2：根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1），你能将指数式转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？ 师生活动：先由学生尝试解决，然后进行展示，教师予以补充完善． 预设的答案： 设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得． 这样，就得到了对数的一个运算性质：．其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0． 设计意图：从指数幂运算的角度出发进行推导，便于学生理解． 追问3：仿照上述的推导过程，由你能推出对数的其他运算性质吗？ 师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并修改． 预设的答案：设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得． 于是：． 设计意图：通过类比的方式让学生自行推导，加深理解对数的运算性质． 追问4：运用指数幂的运算性质及对数的概念，推导对数的运算性质：． 师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并修改． 预设的答案：设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得，所以． 于是：． 设计意图：与前面两个性质的推导不同，这个性质要求学生直接从结论出发，根据对数的运算进行推导．让学生体会对数运算性质的推导有多种方法，但本质上都是充分运用指数幂的运算性质及对数的概念． 问题2：总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？ 师生活动：学生进行总结并讨论交流，教师予以完善． 预设的答案：对数有如下的运算性质． 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）； （2）； （3）． 从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法．从运算角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算．运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度也越高．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算． 教师讲解：现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用似乎有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”．因此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就． 设计意图：通过总结对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用． 2．对数运算性质的初步应用 例3 求下列各式的值： （1）； （2）． 追问：根据题目中运算对象的特点，应该选择对数的哪条运算性质作为求解依据？ 师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：（1）应该选择第3条性质；（2）应该选择第1条性质，之后根据化简的情况再进行选择． 解：（1）； （2）． 设计意图：让学生直接运用对数的运算性质进行具体数值的计算，从中体会对数运算把乘方转化为乘法，把乘法转化为加法的作用． 例4 用ln x，ln y，ln z表示． 追问：类比例3中具体数值的计算，本题可以依据对数的哪些运算性质？ 师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：通过观察，本题需要综合运用对数的3条运算性质进行求解． 解：． 设计意图：通过对有字母的对数的运算，综合运用对数的运算性质进行求解，熟悉对数的运算性质． 3．对数的换底公式 问题3：从历史上看，发明对数完全是计算的需要，但在计算过程中，我们无法穷尽所有对数的运算，毕竟对数的运算数量级高、复杂度高．当时人们为了运算的方便，经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．请思考：为了方便地求出其他底数的对数，能否将其他底数的对数转换为以10或e为底的对数？ 师生活动：学生进行思考． 设计意图：在引入对数的定义，研究了对数的运算性质之后，自然会想到如何简化运算，引导学生进行探索． 追问1：首先从一个具体的问题开始研究．利用计算工具可以求出ln2，ln3的近似值，那么根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值求出log23的值吗？我们应该对ln2，ln3和log23做怎样的处理？ 师生活动：学生尝试对log23进行代数变形，教师引导学生：变形的关键是灵活运用对数与指数的关系以及对数的定义． 预设的答案：设log23=x，则2x=3，于是ln2x=ln3． 根据性质（3）得xln2=ln3，即． 利用计算工具可以求出，所以． 设计意图：从具体、特殊的问题开始研究，往往能启发思路、发现规律．从对数的定义思考问题，加强“从定义、基本原理出发思考问题”的引导． 追问2：在上述具体问题及其解决过程的启发下，根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)吗？ 师生活动：学生仿照上述过程进行推导，个别提问回答，教师予以补充完善． 预设的答案：设，则，于是． 根据性质（3）得，即 （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）． 我们把上式叫做对数换底公式． 利用对数的换底公式，可以把任意底数的对数的值转化为以10或e为底的对数，这样就可以利用对数表或计算工具计算任意底数的对数的值． 设计意图：从特殊到一般的过程是数学中思考和解决问题时常用的方法．经历这一过程，提高学生思考和解决问题的能力． 追问3：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．利用计算工具，根据换底公式，求解的值． 师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：由换底公式，可得． 利用计算工具，可得． 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍． 设计意图：现学现用，加强对换底公式的理解． 4．综合应用，巩固新知 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 lg E=4.8+1.5M． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 师生活动：学生独立完成后，个别提问回答．教师可以引导学生：本题求解的对象是地震释放能量的倍数，即E的比值，给的条件是地震里氏震级M，需要用题中给的对数关系式将二者建立联系． 预设的答案： 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2． 由lg E=4.8+1.5M，可得 lg E1=4.8+1.5×9.0， lg E2=4.8+1.5×8.0． 于是，． 利用计算工具可得，． 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍． 设计意图：通过本题，可以让学生体会地震的里氏震级虽然相差很小，但是地震释放的能量波差别巨大，进一步感受对数运算的意义． 追问：想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 师生活动：学生讨论交流，教师予以补充完善． 预设的答案：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小．这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2．所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢． 设计意图：初步感知不同运算导致的增长差异，为后面的课程“不同函数的增长差异”作铺垫． （二）归纳小结，布置作业 问题4：回顾本节课，我们是如何得到对数的运算性质的？这对我们有什么启示？谈谈对数的换底公式为什么非常重要？ 师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充完善． 预设的答案：（1）我们是根据对数的定义，以及对数与指数间的关系，通过指数幂运算推导出对数的运算性质．这对我们的启示是，数学知识、数学运算不是相互孤立的，它们之间有着密切的联系．所以我们在今后的学习中，也应当注重在现有知识的基础上，进行新知识的拓展，并且注意新旧知识之间的联系． （2）到目前为止，我们学习了加法、减法、乘法、除法、乘方、开方、指数幂、对数等运算．以我们目前所掌握的知识来看，对数运算与其他运算的一个很大的不同点是：其他运算基本上都可以仅靠纸笔来计算；而对数运算，除了特殊的一些情况（例如log24，log31等），都必须借助指数幂来计算，即便如此，计算的过程也是相当的繁琐复杂．因此，人们制作了常用对数表和自然对数表．但我们无法穷尽所有底数的对数表，所以对于其他底数的对数，可以通过换底公式，转化为常用对数或自然对数，从而实现其他底数的对数的运算．所以，对数的换底公式，将对数的计算大大简化． 设计意图：引导学生对所学知识进行梳理，培养学生联系新旧知识的能力，建立数学知识体系．体会对数的换底公式的重要性． 问题5：阅读教科书128页“阅读与思考—对数的发明”，体会对数对简化运算，以及降低运算等级的作用． 师生活动：学生课后自行完成． 设计意图：让学生进一步了解对数的伟大之处，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养． 作业布置：教科书习题． （三）目标检测设计 1．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 设计意图：考查学生运用对数的运算性质对具体数值的对数式的计算． 2．用lg x，lg y，lg z表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 设计意图：考查学生运用对数的运算性质对带有字母的对数式的计算． 3．化简下列各式： （1）； （2）． 设计意图：考查学生运用对数的换底公式对具体数值的对数式的计算． 参考答案： 1．（1）7． （2）1． （3）0． （4）-1． 2．（1）． （2）． （3）． （4）． 3．（1）1． （2）．
对数的运算 教学设计 教学目标 1．理解对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用； 2．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数； 3．能够利用对数的运算性质、换底公式解决问题，提升数学运算核心素养． 教学重难点 教学重点：对数的运算性质，换底公式． 教学难点：对数运算性质的得出，对数换底公式的推导． 课前准备 PPT课件，计算器． 教学过程 （一）新知探究 1．对数的运算性质 问题1：因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号．在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？ 师生活动：学生分组讨论交流，教师引导学生从对数与指数间的关系思考． 预设的答案：通过上节课的学习，我们知道了对数是通过指数幂的形式定义出来的，因此对数运算是由指数幂运算衍生出来的．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算．对于对数运算，我们也可以通过指数幂运算推导对数运算的性质． 设计意图：明确研究的内容，新旧知识产生联系，激发学生的探究欲望． 追问1：请回忆指数幂的运算性质． 师生活动：个别提问回答． 预设的答案：对于任意实数r，s，均有下面的指数幂运算性质． （1）； （2）； （3）． 设计意图：回忆指数幂的运算性质，为推导对数的运算性质提供理论上的支持． 追问2：根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1），你能将指数式转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？ 师生活动：先由学生尝试解决，然后进行展示，教师予以补充完善． 预设的答案： 设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得． 这样，就得到了对数的一个运算性质：．其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0． 设计意图：从指数幂运算的角度出发进行推导，便于学生理解． 追问3：仿照上述的推导过程，由你能推出对数的其他运算性质吗？ 师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并修改． 预设的答案：设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得． 于是：． 设计意图：通过类比的方式让学生自行推导，加深理解对数的运算性质． 追问4：运用指数幂的运算性质及对数的概念，推导对数的运算性质：． 师生活动：学生独立完成后展示交流，教师予以纠错并修改． 预设的答案：设，因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得，所以． 于是：． 设计意图：与前面两个性质的推导不同，这个性质要求学生直接从结论出发，根据对数的运算进行推导．让学生体会对数运算性质的推导有多种方法，但本质上都是充分运用指数幂的运算性质及对数的概念． 问题2：总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？ 师生活动：学生进行总结并讨论交流，教师予以完善． 预设的答案：对数有如下的运算性质． 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）； （2）； （3）． 从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法．从运算角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算．运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度也越高．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算． 教师讲解：现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用似乎有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”．因此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就． 设计意图：通过总结对数的运算性质，体会对数对简化运算的作用． 2．对数运算性质的初步应用 例3 求下列各式的值： （1）； （2）． 追问：根据题目中运算对象的特点，应该选择对数的哪条运算性质作为求解依据？ 师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：（1）应该选择第3条性质；（2）应该选择第1条性质，之后根据化简的情况再进行选择． 解：（1）； （2）． 设计意图：让学生直接运用对数的运算性质进行具体数值的计算，从中体会对数运算把乘方转化为乘法，把乘法转化为加法的作用． 例4 用ln x，ln y，ln z表示． 追问：类比例3中具体数值的计算，本题可以依据对数的哪些运算性质？ 师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：通过观察，本题需要综合运用对数的3条运算性质进行求解． 解：． 设计意图：通过对有字母的对数的运算，综合运用对数的运算性质进行求解，熟悉对数的运算性质． 3．对数的换底公式 问题3：从历史上看，发明对数完全是计算的需要，但在计算过程中，我们无法穷尽所有对数的运算，毕竟对数的运算数量级高、复杂度高．当时人们为了运算的方便，经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数．现在利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数．请思考：为了方便地求出其他底数的对数，能否将其他底数的对数转换为以10或e为底的对数？ 师生活动：学生进行思考． 设计意图：在引入对数的定义，研究了对数的运算性质之后，自然会想到如何简化运算，引导学生进行探索． 追问1：首先从一个具体的问题开始研究．利用计算工具可以求出ln2，ln3的近似值，那么根据对数的定义，你能利用ln2，ln3的值求出log23的值吗？我们应该对ln2，ln3和log23做怎样的处理？ 师生活动：学生尝试对log23进行代数变形，教师引导学生：变形的关键是灵活运用对数与指数的关系以及对数的定义． 预设的答案：设log23=x，则2x=3，于是ln2x=ln3． 根据性质（3）得xln2=ln3，即． 利用计算工具可以求出，所以． 设计意图：从具体、特殊的问题开始研究，往往能启发思路、发现规律．从对数的定义思考问题，加强“从定义、基本原理出发思考问题”的引导． 追问2：在上述具体问题及其解决过程的启发下，根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)吗？ 师生活动：学生仿照上述过程进行推导，个别提问回答，教师予以补充完善． 预设的答案：设，则，于是． 根据性质（3）得，即 （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）． 我们把上式叫做对数换底公式． 利用对数的换底公式，可以把任意底数的对数的值转化为以10或e为底的对数，这样就可以利用对数表或计算工具计算任意底数的对数的值． 设计意图：从特殊到一般的过程是数学中思考和解决问题时常用的方法．经历这一过程，提高学生思考和解决问题的能力． 追问3：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值．利用计算工具，根据换底公式，求解的值． 师生活动：学生独立完成后展示交流． 预设的答案：由换底公式，可得． 利用计算工具，可得． 由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍． 设计意图：现学现用，加强对换底公式的理解． 4．综合应用，巩固新知 例5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 lg E=4.8+1.5M． 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 师生活动：学生独立完成后，个别提问回答．教师可以引导学生：本题求解的对象是地震释放能量的倍数，即E的比值，给的条件是地震里氏震级M，需要用题中给的对数关系式将二者建立联系． 预设的答案： 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2． 由lg E=4.8+1.5M，可得 lg E1=4.8+1.5×9.0， lg E2=4.8+1.5×8.0． 于是，． 利用计算工具可得，． 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍． 设计意图：通过本题，可以让学生体会地震的里氏震级虽然相差很小，但是地震释放的能量波差别巨大，进一步感受对数运算的意义． 追问：想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？ 师生活动：学生讨论交流，教师予以补充完善． 预设的答案：地震中能量是很大的数值，进行对数运算后，其数值就变得非常小．这其实相当于把指数幂运算中幂的结果反映在指数上，也就是说，在以10为底的指数幂运算中，指数每增加1，其幂的值就是原来的10倍；每增加2，其幂的值就是原来的100倍；反之，在以10为底的对数运算中，真数是原来的10倍，对数值就增加1；真数是原来的100倍，对数值就增加2．所以，在指数幂运算中，“指数增长”的变化非常快；在对数运算中，“对数增长”的变化就比较慢． 设计意图：初步感知不同运算导致的增长差异，为后面的课程“不同函数的增长差异”作铺垫． （二）归纳小结，布置作业 问题4：回顾本节课，我们是如何得到对数的运算性质的？这对我们有什么启示？谈谈对数的换底公式为什么非常重要？ 师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充完善． 预设的答案：（1）我们是根据对数的定义，以及对数与指数间的关系，通过指数幂运算推导出对数的运算性质．这对我们的启示是，数学知识、数学运算不是相互孤立的，它们之间有着密切的联系．所以我们在今后的学习中，也应当注重在现有知识的基础上，进行新知识的拓展，并且注意新旧知识之间的联系． （2）到目前为止，我们学习了加法、减法、乘法、除法、乘方、开方、指数幂、对数等运算．以我们目前所掌握的知识来看，对数运算与其他运算的一个很大的不同点是：其他运算基本上都可以仅靠纸笔来计算；而对数运算，除了特殊的一些情况（例如log24，log31等），都必须借助指数幂来计算，即便如此，计算的过程也是相当的繁琐复杂．因此，人们制作了常用对数表和自然对数表．但我们无法穷尽所有底数的对数表，所以对于其他底数的对数，可以通过换底公式，转化为常用对数或自然对数，从而实现其他底数的对数的运算．所以，对数的换底公式，将对数的计算大大简化． 设计意图：引导学生对所学知识进行梳理，培养学生联系新旧知识的能力，建立数学知识体系．体会对数的换底公式的重要性． 问题5：阅读教科书128页“阅读与思考—对数的发明”，体会对数对简化运算，以及降低运算等级的作用． 师生活动：学生课后自行完成． 设计意图：让学生进一步了解对数的伟大之处，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养． 作业布置：教科书习题． （三）目标检测设计 1．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 设计意图：考查学生运用对数的运算性质对具体数值的对数式的计算． 2．用lg x，lg y，lg z表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 设计意图：考查学生运用对数的运算性质对带有字母的对数式的计算． 3．化简下列各式： （1）； （2）． 设计意图：考查学生运用对数的换底公式对具体数值的对数式的计算． 参考答案： 1．（1）7． （2）1． （3）0． （4）-1． 2．（1）． （2）． （3）． （4）． 3．（1）1． （2）．
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