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【期末复习】人教版 2023-2024学年 初中数学 八年级上册期末专题复习 专题08 分式方程 精选试题训练卷（含解析）
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这是一份【期末复习】人教版 2023-2024学年 初中数学 八年级上册期末专题复习 专题08 分式方程 精选试题训练卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在①；②；③；④；⑤中，分式方程有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋•青浦区校级期末）下列分式方程中，解为的是
A．B．C．D．
3．（2022秋•江津区期末）若整数满足关于的分式方程的解为非负整数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为
A．5B．8C．9D．12
4．（2022秋•北碚区校级期末）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为
A．11B．14C．16D．9
5．（2022秋•兴城市期末）分式方程的解为
A．B．1C．2D．方程无解
6．（2021春•嘉定区期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是
A．B．C．D．
7．（2023春•顺德区期末）关于的分式方程的增根为
A．1B．C．D．不存在
8．（2023春•上蔡县期中）爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是
A．11岁B．12岁C．13岁D．14岁
9．（2022秋•滕州市校级期末）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩和，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩盈利了，而冰墩墩却亏损了，则这次超市是
A．不赚不赔B．赚了C．赔了D．无法判断
10．（2021春•开州区期末）若数使关于的不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为
A．2B．5C．7D．10
二、填空题
11．（2022秋•五常市期末）若关于的方程无解，则的值为 ．
12．（2022秋•增城区期末）分式方程的解为 ．
13．（2022秋•桓台县期末）若关于的分式方程有负数解，则的取值范围为 ．
14．（2023春•薛城区期末）若关于的方程有增根，则的值为 ．
15．（2023春•黄浦区期末）已知关于的方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是 ．
16．（2023春•沙坪坝区校级期末）若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为 ．
17．（2022秋•青浦区期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ．
18．（2023春•洋县期末）为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 元．
19．（2022秋•日照期末）若关于的方程无解，则的值是 ．
20．（2023春•驿城区期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
三、解答题
21．（2020秋•个旧市期末）解分式方程：．
22．（2022秋•海淀区校级期末）已知关于的分式方程．
（1）若这个方程的解是负数，求取值范围；
（2）若这个方程无解，则 （直接写出答案）
23．（2023春•东阳市期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值．
24．（2021秋•益阳期末）已知关于的方程有增根，则为多少？
25．（2022春•兰溪市期末）（1）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．”
（2）知识应用：
①小明说，方程无解，试通过解方程说明理由．
②为何值时，方程有增根．
26．（2022秋•汉寿县期末）某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进、两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？
27．（2022秋•开福区校级期末）2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进型汽车的数量比2400万元购进型汽车的数量少20辆．
（1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进型和型汽车共150辆，最多可以购买多少辆型汽车？
28．（2023春•平舆县期末）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．
29．（2022秋•香洲区期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度．
30．（2023春•达川区校级期末）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进、两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【解答】解：③；④是分式方程，共2个，
故选：．
2．【答案】
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【解答】解：当时，
．中，左边，右边，不符合题意；
．中，，分母等于0，分式无意义，不符合题意；
．中，左边右边，符合题意；
．中，分母，不符合题意．
故选：．
3．【答案】
【分析】解分式方程，根据解是非负整数解，且不是增根，化简一元一次不等式组，根据解集为得到的取值范围，得到的最终范围，这个范围内能使是整数的确定出来求和即可．
【解答】解：分式方程两边都乘以得：，
解得，
分式方程有非负整数解，且，
且，
解得：且，
解不等式组得到：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
符合条件的整数的值为：，1，5，
和为5．
故选：．
4．【答案】
【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题．
【解答】解：解不等式，得．
解不等式，得．
关于的不等式组无解，
．
．
，
．
．
．
．
关于的分式方程有正整数解，
且或或或．
或（当，此时是增根，故舍去）或或．
综上：或7．
满足条件的整数和为．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据分式的性质，解分式方程，检验根是否符合题意，由此即可求解．
【解答】解：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
把代入最简公分母：，
不是方程的解，
原分式方程无解，
故选：．
6．【答案】
【分析】设，则，原方程可变为，再去分母可得答案．
【解答】解：设，则，
因此方程可变为，
，
两边都乘以得，
，
．
故选：．
7．【答案】
【分析】解分式方程后按照解分式方程的增根的定义即可求得答案．
【解答】解：，
两边同乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
将代入中可得，
则是原分式方程的增根，
故选：．
8．【分析】设现在孙子的年龄是，则爷爷现在的年龄是．12年后爷爷的年龄是，孙子的年龄是，根据题目中的相等关系列出方程求解．
【解答】解：设现在孙子的年龄是岁，根据题意得
，
解得，
即现在孙子的年龄是12岁．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据利润率利润成本，从而可求出相应的成本，即可求解．
【解答】解：设冰墩墩的成本为元，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
设冰墩墩的成本为元，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元，
故这次超市赔了．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据不等式的性质，由得，．由于关于的不等式组恰有3个整数解，所以整数解可能是3、2、1，推断出，即．由，得．又因为关于的分式方程的解为整数，得是整数且．，故．
【解答】解：解得．
．
解得．
．
数使关于的不等式组恰有3个整数解，
．
．
，
．
．
关于的分式方程的解为整数，
是整数且．
若为整数，则可能取值为5．
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】0或4．
【分析】求解方程可得，再由方程无解可得，即可求的值．
【解答】解：，
，
，
，
方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
或，
此时，
②整式不成立时，
，
，
故答案为：0或4．
12．【答案】．
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘以约去分母得：
，
解这个整式方程得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
13．【答案】且．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为负数确定出的范围即可．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程解为负数，
，且且，
解得：且．
故答案为：且．
14．
【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
方程有增根，
，
，
把代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
15．【分析】先根据得到，再代入原方程进行换元即可．
【解答】解：由，可得
原方程化为
故答案为：
16．【答案】．
【分析】先解关于的不等式组及该不等式组的解集为，得，故．再解关于的分式方程，得．由关于的分式方程的解为负数，得且，进而解决此题．
【解答】解：，
去分母，得．
移项、合并同类项，得．
，
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
数使关于的不等式组的解集为，
．
．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
关于的分式方程的解为负数，
且．
且．
且．
为整数，
或或或0或1或3．
，
故答案为：．
17．【答案】或．
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【解答】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
，
，
故答案为：或．
18．【答案】85．
【分析】设第二天每棵树苗售价为元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：设第二天每棵树苗售价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
19．【答案】或．
【分析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
【解答】解：，
方程两边同乘：，得：，
整理得：，
①整式方程无解：，解得：；
②分式方程有增根：或，解得：或；
当时：整式方程无解；
当时：，解得：；
综上，当或时，分式方程无解；
故答案为：或．
20．【答案】．
【分析】先解分式方程可得，再根据且，从而可得答案．
【解答】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．【分析】先把方程两边都乘以得到整式方程，解得，然后进行检验确定分式方程的解．
【解答】解：去分母得，
解得，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
22．【答案】（1）且；
（2）3或0或6．
【分析】（1）先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
（2）根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以得：，
解得：
由题意得：，，
解得：且；
（2）由（1）得：，
由题意得：或，
解得：或或，
故答案为：3或10或．
23．【答案】（1）是，理由见解答过程．
（2）或3．
【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；
（2）根据题意用表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及为正整数即可求出的值．
【解答】解：（1）一元一次方程与分式方程不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程，
解得：，
解分式方程，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程无解，
一元一次方程与分式方程不是“相似方程”；
（2）由题意，两个方程由相同的整数解，
，
，
①当时，方程无解，
②当，即时，，即，
，均为整数，
，2，，，
又取正整数，
或3．
24．【分析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得的值．
【解答】解：关于的方程有增根，
，则，
原方程可化为，
将增根代入得．
25．【答案】①理由见解析过程；
②时方程有增根．
【分析】①方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，解方程并检验方程的根即可；
②方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．
【解答】解：①去分母，得，
解得，
经检验：是方程的增根，
所以原方程无解；
②去分母，得，
化简，得，
因为方程有增根，所以，
解得，，
所以时，方程有增根．
26．
【分析】（1）设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，由题意：购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，根据购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个品牌的篮球需50元，购买一个品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个品牌篮球．
27．【答案】（1）型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元；
（2）最多可以购买60辆型汽车．
【分析】（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意：用3000万元购进型汽车的数量比2400万元购进型汽车的数量少20辆．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，由题意：该公司决定用不多于3600万元购进型和型汽车共150辆，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
则，
答：型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元；
（2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买60辆型汽车．
28．【分析】设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元，然后根据购买的笔记本和笔袋的数量相同列方程求解即可．
【解答】解：设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
所以，，
答：笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元．
29．
【分析】直接根据题意表示出变化前后的速度，进而利用所用时间得出等式求出答案．
【解答】解：设前一小时的行驶速度为，根据题意可得：
，
解得：，
检验得：是原方程的根，
答：前一小时的行驶速度为．
30．【答案】（1）购买一个品牌的足球需要50元，购买一个品牌的足球需要80元；
（2）该中学此次最多可购买20个品牌足球．
【分析】（1）设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，由题意：购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，由题意：品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个品牌的足球需要50元，购买一个品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
答：该中学此次最多可购买20个品牌足球．
1．在①；②；③；④；⑤中，分式方程有
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋•青浦区校级期末）下列分式方程中，解为的是
A．B．C．D．
3．（2022秋•江津区期末）若整数满足关于的分式方程的解为非负整数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为
A．5B．8C．9D．12
4．（2022秋•北碚区校级期末）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为
A．11B．14C．16D．9
5．（2022秋•兴城市期末）分式方程的解为
A．B．1C．2D．方程无解
6．（2021春•嘉定区期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是
A．B．C．D．
7．（2023春•顺德区期末）关于的分式方程的增根为
A．1B．C．D．不存在
8．（2023春•上蔡县期中）爷爷现在的年龄是孙子的5倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的3倍，现在孙子的年龄是
A．11岁B．12岁C．13岁D．14岁
9．（2022秋•滕州市校级期末）某物美超市同时卖出了两个进价不同的冰墩墩和，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现冰墩墩盈利了，而冰墩墩却亏损了，则这次超市是
A．不赚不赔B．赚了C．赔了D．无法判断
10．（2021春•开州区期末）若数使关于的不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为
A．2B．5C．7D．10
二、填空题
11．（2022秋•五常市期末）若关于的方程无解，则的值为 ．
12．（2022秋•增城区期末）分式方程的解为 ．
13．（2022秋•桓台县期末）若关于的分式方程有负数解，则的取值范围为 ．
14．（2023春•薛城区期末）若关于的方程有增根，则的值为 ．
15．（2023春•黄浦区期末）已知关于的方程，如果设，那么原方程化为关于的方程是 ．
16．（2023春•沙坪坝区校级期末）若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为 ．
17．（2022秋•青浦区期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ．
18．（2023春•洋县期末）为深入践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我国绿色发展成就显著，在今年的植树造林活动期间，某苗圃公司第一天卖出一批小叶榄仁树苗共收款8000元，第二天又卖出同样的树苗收款17000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元，第二天每棵树苗售价是 元．
19．（2022秋•日照期末）若关于的方程无解，则的值是 ．
20．（2023春•驿城区期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ．
三、解答题
21．（2020秋•个旧市期末）解分式方程：．
22．（2022秋•海淀区校级期末）已知关于的分式方程．
（1）若这个方程的解是负数，求取值范围；
（2）若这个方程无解，则 （直接写出答案）
23．（2023春•东阳市期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于，的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数的值．
24．（2021秋•益阳期末）已知关于的方程有增根，则为多少？
25．（2022春•兰溪市期末）（1）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．”
（2）知识应用：
①小明说，方程无解，试通过解方程说明理由．
②为何值时，方程有增根．
26．（2022秋•汉寿县期末）某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进、两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？
27．（2022秋•开福区校级期末）2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进型汽车的数量比2400万元购进型汽车的数量少20辆．
（1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进型和型汽车共150辆，最多可以购买多少辆型汽车？
28．（2023春•平舆县期末）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价格．
29．（2022秋•香洲区期末）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度．
30．（2023春•达川区校级期末）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进、两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个品牌足球？
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【解答】解：③；④是分式方程，共2个，
故选：．
2．【答案】
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【解答】解：当时，
．中，左边，右边，不符合题意；
．中，，分母等于0，分式无意义，不符合题意；
．中，左边右边，符合题意；
．中，分母，不符合题意．
故选：．
3．【答案】
【分析】解分式方程，根据解是非负整数解，且不是增根，化简一元一次不等式组，根据解集为得到的取值范围，得到的最终范围，这个范围内能使是整数的确定出来求和即可．
【解答】解：分式方程两边都乘以得：，
解得，
分式方程有非负整数解，且，
且，
解得：且，
解不等式组得到：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
符合条件的整数的值为：，1，5，
和为5．
故选：．
4．【答案】
【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定的取值，进而解决此题．
【解答】解：解不等式，得．
解不等式，得．
关于的不等式组无解，
．
．
，
．
．
．
．
关于的分式方程有正整数解，
且或或或．
或（当，此时是增根，故舍去）或或．
综上：或7．
满足条件的整数和为．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据分式的性质，解分式方程，检验根是否符合题意，由此即可求解．
【解答】解：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
把代入最简公分母：，
不是方程的解，
原分式方程无解，
故选：．
6．【答案】
【分析】设，则，原方程可变为，再去分母可得答案．
【解答】解：设，则，
因此方程可变为，
，
两边都乘以得，
，
．
故选：．
7．【答案】
【分析】解分式方程后按照解分式方程的增根的定义即可求得答案．
【解答】解：，
两边同乘，去分母得：，
整理得：，
解得：，
将代入中可得，
则是原分式方程的增根，
故选：．
8．【分析】设现在孙子的年龄是，则爷爷现在的年龄是．12年后爷爷的年龄是，孙子的年龄是，根据题目中的相等关系列出方程求解．
【解答】解：设现在孙子的年龄是岁，根据题意得
，
解得，
即现在孙子的年龄是12岁．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据利润率利润成本，从而可求出相应的成本，即可求解．
【解答】解：设冰墩墩的成本为元，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
设冰墩墩的成本为元，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元，
故这次超市赔了．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据不等式的性质，由得，．由于关于的不等式组恰有3个整数解，所以整数解可能是3、2、1，推断出，即．由，得．又因为关于的分式方程的解为整数，得是整数且．，故．
【解答】解：解得．
．
解得．
．
数使关于的不等式组恰有3个整数解，
．
．
，
．
．
关于的分式方程的解为整数，
是整数且．
若为整数，则可能取值为5．
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】0或4．
【分析】求解方程可得，再由方程无解可得，即可求的值．
【解答】解：，
，
，
，
方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
或，
此时，
②整式不成立时，
，
，
故答案为：0或4．
12．【答案】．
【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘以约去分母得：
，
解这个整式方程得，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
13．【答案】且．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为负数确定出的范围即可．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程解为负数，
，且且，
解得：且．
故答案为：且．
14．
【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：，
，
方程有增根，
，
，
把代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
15．【分析】先根据得到，再代入原方程进行换元即可．
【解答】解：由，可得
原方程化为
故答案为：
16．【答案】．
【分析】先解关于的不等式组及该不等式组的解集为，得，故．再解关于的分式方程，得．由关于的分式方程的解为负数，得且，进而解决此题．
【解答】解：，
去分母，得．
移项、合并同类项，得．
，
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
数使关于的不等式组的解集为，
．
．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
关于的分式方程的解为负数，
且．
且．
且．
为整数，
或或或0或1或3．
，
故答案为：．
17．【答案】或．
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【解答】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
，
，
故答案为：或．
18．【答案】85．
【分析】设第二天每棵树苗售价为元，根据第二天所卖数量是第一天的2倍，列分式方程，求解即可．
【解答】解：设第二天每棵树苗售价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
故答案为：85．
19．【答案】或．
【分析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
【解答】解：，
方程两边同乘：，得：，
整理得：，
①整式方程无解：，解得：；
②分式方程有增根：或，解得：或；
当时：整式方程无解；
当时：，解得：；
综上，当或时，分式方程无解；
故答案为：或．
20．【答案】．
【分析】先解分式方程可得，再根据且，从而可得答案．
【解答】解：，
，
，
关于的分式方程的解为正数，
，
解得：，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．【分析】先把方程两边都乘以得到整式方程，解得，然后进行检验确定分式方程的解．
【解答】解：去分母得，
解得，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
22．【答案】（1）且；
（2）3或0或6．
【分析】（1）先把方程化为整式方程，再根据题意求解；
（2）根据：“分式方程无解，则整式方程无解，或是增根”求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以得：，
解得：
由题意得：，，
解得：且；
（2）由（1）得：，
由题意得：或，
解得：或或，
故答案为：3或10或．
23．【答案】（1）是，理由见解答过程．
（2）或3．
【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；
（2）根据题意用表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及为正整数即可求出的值．
【解答】解：（1）一元一次方程与分式方程不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程，
解得：，
解分式方程，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程无解，
一元一次方程与分式方程不是“相似方程”；
（2）由题意，两个方程由相同的整数解，
，
，
①当时，方程无解，
②当，即时，，即，
，均为整数，
，2，，，
又取正整数，
或3．
24．【分析】有增根是原方程化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是3，然后代入化成整式方程的方程中，求得的值．
【解答】解：关于的方程有增根，
，则，
原方程可化为，
将增根代入得．
25．【答案】①理由见解析过程；
②时方程有增根．
【分析】①方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，解方程并检验方程的根即可；
②方程两边同时乘以最简公分母，把方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．
【解答】解：①去分母，得，
解得，
经检验：是方程的增根，
所以原方程无解；
②去分母，得，
化简，得，
因为方程有增根，所以，
解得，，
所以时，方程有增根．
26．
【分析】（1）设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，由题意：购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，根据购买、两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个品牌的篮球需50元，购买一个品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个品牌篮球．
27．【答案】（1）型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元；
（2）最多可以购买60辆型汽车．
【分析】（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意：用3000万元购进型汽车的数量比2400万元购进型汽车的数量少20辆．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，由题意：该公司决定用不多于3600万元购进型和型汽车共150辆，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
则，
答：型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元；
（2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买60辆型汽车．
28．【分析】设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元，然后根据购买的笔记本和笔袋的数量相同列方程求解即可．
【解答】解：设每个笔记本的价格为元，则每个笔袋的价格为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
所以，，
答：笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元．
29．
【分析】直接根据题意表示出变化前后的速度，进而利用所用时间得出等式求出答案．
【解答】解：设前一小时的行驶速度为，根据题意可得：
，
解得：，
检验得：是原方程的根，
答：前一小时的行驶速度为．
30．【答案】（1）购买一个品牌的足球需要50元，购买一个品牌的足球需要80元；
（2）该中学此次最多可购买20个品牌足球．
【分析】（1）设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，由题意：购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，由题意：品牌足球售价比第一次购买时提高了，品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买、两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
【解答】解：（1）设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个品牌的足球需要50元，购买一个品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买个品牌足球，则可以购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：．
答：该中学此次最多可购买20个品牌足球．
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