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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课文内容ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课文内容ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了习题33，问题与探究等内容，欢迎下载使用。
3 . 3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 例如，可以借助函数 y＝2x－3 的图象来求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0. 反过来，也可以通过求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么
●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题?
3. 3 . 1从函数观点看一元二次方程
从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与x轴交点的横坐标. 这时，我们称－1，3 为二次函数 y＝x2－2x－3 的零点.
一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当函数值取零时_______________，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的图象与______________________，也称为二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点.
二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗?
提示：不是，二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系.
(1) 关系 (当a＞0时).
当a＜0时，一元二次方程 ax2＋ba＋c＝0 的根次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系请同学们自行完成(见练习 1).
(2) 本质： 判别式 Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.(3)应用：①求二次函数的零点； ②证明二次函数零点的个数； ③判断二次函数零点所在的区间.
求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个零点.
分析 要证明二次函数 y＝x2＋3x－7 有两个零点，只需证明元二次方程 2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可.
证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0. 因为 ∆＝32－4×2×(－7) ＝65＞0， 所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根. 因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点.
判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) a＞0时二次函数 y＝ax2＋bx＋c有两个零点.( ) (2) 如果二次函数 y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点，则此二次函数没有零点.( )
Δ＞0时二次函数 y＝ax2＋bx＋c有两个零点.
2. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)中若 b2＞4ac，则函数 零点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定
解析：因为b2＞4ac， 所以 Δ＝b2－4ac＞0， 所以 函数有2个零点.
3. 函数 y＝(x＋2)(x＋1) 的零点是_____________.
解析：令(x＋2)(x＋1)＝0， 解得 x＝－2或 x＝－1， 所以函数的零点是－2， －1.
1. 若 b2－4ac＝0，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 零点的个数为( ) A. 0个 B.1个 C.2个 D.无法确定
解析：因为 b2－4ac＝0， 所以一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根， 所以二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有一个零点.
3. 二次函数 y＝x2－2的零点所在的区间为 ( ) A. (1，0) B. (1，2) C.(2，3) D.(3，4)
4. 已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为 ____________.
解析：因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为－ 1，1， 所以此函数的零点为－1，1.
5. 二次函数 y＝x2－ax 的一个零点为2，则a＝________.
解析：由题意，x＝2是方程x2－ax＝0的根， 所以 4－2a＝0，解得 a＝2.
练 习
1. 当 a ＜ 0 时，请填下表：
2. 画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，并指出该函数 的零点.
解：二次函数 y＝x2－x－2 图象如下：
由 x2－x－2＝0 得，x＝－1或x＝2.故所求零点为－1，2.
3. 求下列二次函数的零点： (1) y＝(x＋1)(x－1)； (2) y＝x2－4x；
解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1， 所以函数的零点为－1和 1.
解：令 y＝0，即 x2－4x＝0，得x(x－4)＝0， 解得x1＝0，x2＝4， 所以函数的零点为 0 和 4 .
(3) y＝－3x2－9；(4) y＝－x2＋2x－1.
解：令 y＝－3x2－9＝0，方程无实数根， 所以函数无零点.
解：令 y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0， 得 (x－1)2＝0，解得 x＝1. 所以函数的零点为1.
3. 3 . 2从函数观点看一元二次不等式
我们来看下面的问题： 某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查若单册价格每提高 0.2 元，则发行量就减少 5000 册要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内?
一、一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的_______________叫作一元二次不等式.
提示：不是，一元二次不等式一定是整式不等式.
我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么，
● 一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系?
二、一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1) 关系：(a＞0)
(1) 有人说：当 Δ＞0 时表中的 x1，x2 有三重身份， 你能说出是哪三重身份吗?
提示：x1，x2 既是二次函数图象与x轴交点的横坐标 (即二次函数的零点)，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点.
(2) 若一元二次不等式 ax2＋x－1＞0 (a≠0) 的解集为R， 则实数 a 应满足什么条件?
(2) 本质： 方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 和不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0) 或 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0) 是函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y＝0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 就转化为方程，当 y＞0 或 y＜0 时就转化为一元二次不等式.
(3) 应用： ① 解一元二次不等式， ② 已知一元二次不等式的解集求参数， ③ 一元二次不等式的应用问题.
当a＜0 时，通过不等式两边同乘以－1，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用表3－3－2解决.
(1) x2－7x＋12＞0；
(2) －x2－2x＋3≥0；
(3) x2－2x＋1＜0；
(4) x2－2x＋2＞0.
对 于二次项系数为负数的不等式，可以先把二次项系数化成正数，然后再求解.
解 不等式两边同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0.
1. (1) 不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为( )。 A.{ x∣x＜1} B.{ x∣x＞3} C.{ x∣x＜1 或 x＞3} D.{ x∣1＜x＜3} (2) 不等式－x2＋2x－4＞0 的解集为( ). A. R B. ∅ C. { x∣x＞0，x∈R} D.{ x∣x＜0，x∈R}.
(1) x2＋4x－12＞0；
解：该不等式可化为(x＋6)(x－2)＞0， 解得 x＜－6或 x＞2， 故原不等式的解集为{ x∣x＜－6 或 x＞2}.
(2) x2－x＋1≤0；
(3) 2x2－5x＋3＜0；
(4) 3x2－x－4＞0；
(5) 2x2＋4x＋3＞0；
解：该不等式可化为2(x＋1)2＋1＞0， 恒成立， 故原不等式的解集为R.
(6) 9x2－6x＋1≤0.
(1) －6x2－x＋2＜0；
(2) 1－4x2≥4x＋2；
解：不等式可变形为4x2＋4x＋1＜0， 即(2x＋1)2＜0， 显然无解， 即解集为∅.
(3) 1－3x＜x2；
(4) (x－2)(x＋2) ＞1.
4. 当 x 是什么实数时，函数 y＝－x2＋5x＋14 的值是： (1) 0?
解： －x2＋5x＋14＝0 x2－5x－14＝0 (x－7)(x＋2) ＝0 x1＝7，x2＝－2
解： －x2＋5x＋14＞0 x2－5x－14＜0 (x－7)(x＋2) ＜0 －2＜x＜7
解： －x2＋5x＋14＜0 x2－5x－14＞0 (x－7)(x＋2) ＞0 x＞7 或 x＜－2.
5. (1)已知集合 M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}， 求M∩N；
解：∵集合M ＝ {x∣－4≤x≤7}， N ＝ {x|x2－x－6＞0} ＝ {x∣x＜－2或 x＞3}， ∴ M∩N ＝{x∣－4≤x＜－2 或 3＜ x≤7}；
(2) 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5) ＜0}，求 A∪B.
解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0} ＝{x∣1＜x＜3}， B＝{x|(x－2)(x－5)＜0} ＝{x∣2＜x＜5}， ∴ A∪B ＝{x∣1＜x＜5}.
用一根长为 100 m的绳子能围成一个面积大于 600 m的矩形吗?当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大?
解：设矩形一边的长为 x m，则另一边的长为 (50－x) m，其中0＜x＜50. 由题意，得 x(50－x) ＞600， 即 x2－50x＋600＜0， 解得 20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在 20 m 至 30 m 的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形.
用 S 表示矩形的面积，则 S＝x(50－x) ＝－ (x－25)2＋625 (0＜x＜50). 当x＝25 时，S 取得最大值，此时 50－x＝25. 答 当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形的面积最大.
你能用基本不等式来求 x(50－x) 的最大值吗?
某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x 件(x∈N*)与货价 P 元/件之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本为 C＝500＋30x 元. 问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300 元?
解 由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)＞1300， 化简，得 x2－65x＋900＜0， 解得 20≤x≤45.答 该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.
在一个限速为 40 km/h的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰.
事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m. 又知甲两种车型的刹车距离 (单位：m)与车速 x (单位：km/h)之间分别有如下关系： s甲＝ 0.1x＋ 0.01x， s乙＝0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象?
一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系.
分析 根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速.
解 由题意知，对于甲车，有 0.1x＋0.01x2＜12， 即 x2＋10x－1200＜0， 解得 －40＜x＜30. 这表明甲车的车速低于 30 km/h，未超过规定限速.
对于乙车，有 0.05x＋0.005x2＞10，即 x2＋10x－2000＞0，解得 x＞40 或 x＜－50 (不合实际意义，舍去). 这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.答 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
1. 如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的 2倍， 那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少?
解：设该厂今的产量为a，明、后两年每年的平均增长率至少是x%，则a(1＋x%)2≥2a， 解得 x%≥41.4%. ∴ 明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%.
3. 国家为了加强对饮用酒生产的宏观管理，实行征收附 加税政策.已知某种洒每瓶 70 元，不征收附加税时， 每年大约销售 100 万瓶；若政府征收附加税每销售 100 元要征税 R元 (叫作税率 R%)，则每年的销售量 将减少 10R 万瓶. 要使每年在此项经营中所收取的附 加税不少于 112 万元，R 应怎样确定?
解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为 70x·R%万元，其中 x＝100－10R.由70(100 － 10R)·R%≥112，即 R2－10R＋16 ＜ 0.解得 2≤R≤8.故税率定在2% ~ 8%之内，年收附加税额将不低于112万元.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) mx2－5x＜0 是一元二次不等式 ( ) (2) 若 a＞0，则一元二次不等式 ax2＋1＞0无解( )
当m＝0时是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.
因为a＞0，所以不等式ax2＋1＞0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3) 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的两根为x1，x2 (x1＜x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0的解集为{ x∣x1＜x＜x2 }.( )
当 a＞0时，ax2＋bx＋c＜0的解集为{ x∣x1＜x＜x2}，否则不成立.
3. 不等式－3x2＋5x－4＞0 的解集为________.
解析：原不等式变形为 3x2－5x＋4＜0. 因为Δ＝ (－5)2－4×3×4＝－23＜0， 所以由函数 y＝3x2－5x＋4 的图象可知， 3x2－5x＋4＜0 的解集为∅.
3. 某公司每个月的利润 y (单位：万元)关于月份 n 的关 系式为 y＝n2－9n＋114，则该公司12个月中，利润大 于100万元的月份共有( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
解析：由题意得 n2－9n＋114＞100， 解得 n＜2或 n＞7， 故 n＝1，8，9，10，11，12，共6个月.
4. 二次函数 y＝x2－4x＋3当函数值为负数时 x 的取值范 围是___________.
解析：由于方程 x2－4x＋3＝0 的两个根为 x1＝1，x2＝3. 故不等式 x2－4x＋3＜0 的解集为{ x∣1＜x＜3}.
5. 不等式－x2＋mx＋m＜0 恒成立的条件是__________.
解析：－x2＋mx＋m＜0 恒成立，等价于Δ＜0， 即 m2＋4m＜0， 所以－4＜m＜0.
1. 证明：函数 y＝x2－x＋1 没有零点.
解：∵ ∆ ＝ b2－4ac ＝ (－1)2－4×1×1 ＝1－4 ＝－3 ＜0. ∴ 函数 y＝x2－x＋1没有零点.
2. 设 m 为实数，若函数 y＝ x2－mx＋2 有只有一个零点， 求 m 的值.
3. 设k为实数，若方程 x2－3x＋k－3＝0 有实数根，求 k 的取值范围.
解：将方程整理得：4x2－12x＋k－3＝0，有题意知： ∆＝122－4×4×(k－3)＜0， 解得：k＞12. ∴ k 取值范围是(12，+∞). 故答案为：(12，＋∞)
4. 证明：函数 y＝5x2－7x－1的一个零点在区间(－1，0) 内，另一个零点在区间(1，2)内.
解：令f(x)＝5x2－7x－1，则f(x)在R上是连续函数. ∵ ∆＝(－7)2－4×5－(－1) ＝49＋20＝69＞0， ∴方程 f(x)＝0 有两个不等实数根， 即f(x) ＝5x2－7x－1在R上有两个零点； 又∵f(－1)＝5×(－1)2－7×(－1) －1＝11＞0， f(0)＝ －1＜0，
∴ 在区间(－1，0)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点；又∵ f(1) ＝ 5－7－1＝－3＜0， f(2) ＝ 5×22－7×2－1＝5＞0，∴在区间(1，2)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点.又∵函数f(x)＝5x2－7x－1在R上有且仅有两个零点，∴ 函数f(x)＝5x2－7x－1一个零点在区间(－1，0)内， 另一个零点在区间(1，2)内.
(1) x(x－1) ≤ 0； (2) (x＋1)(x－5)＞0；
解：因为对应方程的两根为0和1， 所以不等式的解集是{x∣0≤x≤1}.
解：因为对应方程的两根为－1和5， 所以不等式的解集是{x∣x＜－1或x＞5}.
(3) x2－6x＋9≤0； (4) 3x2－7x＋2 ＞ 0；
解：因为对应方程为(x－3)2＝0， 对应方程的一个根为3， 所以不等式的解集是{x∣x＝3}.
(5) －2x2－x＋6＞0； (6) x2－x＋1＞0.
解：因为对应方程判别式∆＜0， 所以不等式的解集为R.
(1) 2x2－3x＞2；
(2) 3x2－5x＋4＞0；
解：∵ ∆＝25－4×3×4 ＝－23＜0， ∴不等式3x2－5x＋4＞0的解集为R.
(3) x(x＋2) ＜x(3－x) ＋1；
(4) (3x－1) (x＋1)＞4.
7. 当x是什么实数时，函数 y＝－x2－8x＋20 的值是： (1) 0?
解：－x2－8x＋20 ＝0 x2＋8x－20 ＝0 (x－2)(x＋10) ＝0 x＝－10或x＝2
解：－x2－8x＋20 ＞0 x2＋8x－20 ＜0 (x－2)(x＋10) ＜0 －10＜x＜2
解：－x2－8x＋20 ＜0 x2＋8x－20 ＞0 (x－2)(x＋10) ＞0 x＜－10 或 x＞2
8. 制作一个高为 20 cm 的长方体容器，底面矩形的长比 宽多 10 cm，并且容积不少于 4 000 cm3. 问：底面矩形的宽至少应是多少?
解：设底面矩形的宽为 x cm， 由题意可得20x(x＋10) ≥ 4000. 即 x2＋10x－200≥0， 解得：x≤－20 (舍) 或x≥10. ∴ 底面矩形的宽至少应为10 cm.
9. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)， B(2，0)两点，求关于x的不等式 x2＋bx＋c＞0 的解集.
解：∵ 二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于 A(－1，0)，B(2，0) 两点， ∴ －1，2 是关于x的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0 的两个实数根， ∴关于x的不等式x2＋bx＋c＞0 的解集为：{x∣x＜－1或x＞2}.
10. 设m为实数已知二次函数 y＝x2－5x＋m 的两个零点都 在区间(0，＋∞)内，求 m 的取值范围.
11. (1) k 是什么实数时，方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0 有两个不相等的实数根?
解：方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0中， 令∆＞0，得 4(k－1)2－4(3k2－11)＞0， 化简得 k2＋k－6＜0， 解得 －3＜k＜2， 所以 k∈(－3，2) 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数 x 恒成立， 求实数k的取值范围.
12. 已知不等式 ax2＋b－1＞0的解集是{ x∣3＜x＜4 }， 求实数 a，b 的值.
13. 如图，某房地产开发公司要在矩形地块 ABCD 上规划出一块矩形地块PQCR 建造住宅区为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF. 由实地测量知，AB＝200 m，AD＝160 m，AE ＝60 m，AF＝40 m. 问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大?最大面积是多少?
14. 已知某公司每天生产的某种产品的数量 (单位：百件) 与其成本y (单位：千元)之间的函数解析式可以近似 地用 y＝ax2＋b＋c 表示其中a，b，为常数. 现有实际 统计数据如下表所示：
(1) 求a，b，c 的值；
(2) 若每件产品销售价为 200 元，则该公司每天生产多少 产品时才能盈利? (假设每天生产的产品可以全部售完)
15. (阅读题)重新考察不等式 5x2－10x＋4.8＜0 这个不等 式的左边可分解因式为(x－1.2)(5x－4). 根据实数乘 法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组 的两个解集的并集.
(1) (2x－3)(x＋1) ＞0；
(2) (1－x)(2＋x)≥0；
在早期，人们使用文字或象征性记号来记述不等关系.例如，荷兰数学家吉拉尔 ( A . Girard，1595—1632) 在他 1629 年所著《代数新发现》一书中，使用下面记号： A ff B 表示A大于B，B§A 表示B小于A.
他的意思是说，因为 3＞2，所以 a3＞2b ( a，b 为正数)，故 a＞b，小于号的意思也是这样的. 1631年，英国数学家、望远镜发明者哈里奥特 ( T . Harrit，1560-1621)去世后 10 周年，人们出版了他的遗著《分析术实例》在这本书中，他写道： 大于的记号：a＞b表示 a 量大于 b 量， 小于的记号：a＜b表示 a 量小于 b 量.
这一简洁优美的记号，不管后人采用怎样的方式去创造不等号最终都无法取代“＞”“＜”两个记号.“＞” “＜”直到 18 世纪初才被泛使用. 至于“≠”“≯”“≮”的出现，乃是近代之事. 一般人不使用“≮”“≯”，而使用“≥”“≤”(或“≧”“≦”)两个记号，表示“大于或等于”“小于或等于”.
3 . 3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系. 例如，可以借助函数 y＝2x－3 的图象来求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0. 反过来，也可以通过求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0，来深人理解函数 y＝2x－3的性质，那么
●怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题?
3. 3 . 1从函数观点看一元二次方程
从函数的观点看，方程 x2－2x－3＝0的两个根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函数 y＝x2－2x－3 当函数值取零时自变量x的值，即二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与x轴交点的横坐标. 这时，我们称－1，3 为二次函数 y＝x2－2x－3 的零点.
一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 当函数值取零时_______________，即二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的图象与______________________，也称为二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零点.
二次函数的零点就是二次函数图象与x轴的交点吗?
提示：不是，二次函数的零点是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象、 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点之间的关系.
(1) 关系 (当a＞0时).
当a＜0时，一元二次方程 ax2＋ba＋c＝0 的根次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点之间的关系请同学们自行完成(见练习 1).
(2) 本质： 判别式 Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象与x轴交点和二次函数零点的情况.(3)应用：①求二次函数的零点； ②证明二次函数零点的个数； ③判断二次函数零点所在的区间.
求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个零点.
分析 要证明二次函数 y＝x2＋3x－7 有两个零点，只需证明元二次方程 2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根即可.
证明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0. 因为 ∆＝32－4×2×(－7) ＝65＞0， 所以方程 2x2＋3x－7＝0 有两个不相等的实数根. 因此，二次函数 y＝2x2＋3x－7有两个零点.
判断二次函数 y＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) a＞0时二次函数 y＝ax2＋bx＋c有两个零点.( ) (2) 如果二次函数 y＝ax2＋bx＋c与x轴没有交点，则此二次函数没有零点.( )
Δ＞0时二次函数 y＝ax2＋bx＋c有两个零点.
2. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)中若 b2＞4ac，则函数 零点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定
解析：因为b2＞4ac， 所以 Δ＝b2－4ac＞0， 所以 函数有2个零点.
3. 函数 y＝(x＋2)(x＋1) 的零点是_____________.
解析：令(x＋2)(x＋1)＝0， 解得 x＝－2或 x＝－1， 所以函数的零点是－2， －1.
1. 若 b2－4ac＝0，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 零点的个数为( ) A. 0个 B.1个 C.2个 D.无法确定
解析：因为 b2－4ac＝0， 所以一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根， 所以二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有一个零点.
3. 二次函数 y＝x2－2的零点所在的区间为 ( ) A. (1，0) B. (1，2) C.(2，3) D.(3，4)
4. 已知二次函数的图象如图所示，则此函数的零点为 ____________.
解析：因为二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为－ 1，1， 所以此函数的零点为－1，1.
5. 二次函数 y＝x2－ax 的一个零点为2，则a＝________.
解析：由题意，x＝2是方程x2－ax＝0的根， 所以 4－2a＝0，解得 a＝2.
练 习
1. 当 a ＜ 0 时，请填下表：
2. 画出二次函数 y＝x2－x－2 的图象，并指出该函数 的零点.
解：二次函数 y＝x2－x－2 图象如下：
由 x2－x－2＝0 得，x＝－1或x＝2.故所求零点为－1，2.
3. 求下列二次函数的零点： (1) y＝(x＋1)(x－1)； (2) y＝x2－4x；
解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1， 所以函数的零点为－1和 1.
解：令 y＝0，即 x2－4x＝0，得x(x－4)＝0， 解得x1＝0，x2＝4， 所以函数的零点为 0 和 4 .
(3) y＝－3x2－9；(4) y＝－x2＋2x－1.
解：令 y＝－3x2－9＝0，方程无实数根， 所以函数无零点.
解：令 y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0， 得 (x－1)2＝0，解得 x＝1. 所以函数的零点为1.
3. 3 . 2从函数观点看一元二次不等式
我们来看下面的问题： 某杂志以每册 2 元的价格发行时，发行量为 10 万册经过调查若单册价格每提高 0.2 元，则发行量就减少 5000 册要使杂志社的销售收入大于 22.4 万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内?
一、一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的_______________叫作一元二次不等式.
提示：不是，一元二次不等式一定是整式不等式.
我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么，
● 一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系?
二、一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系
(1) 关系：(a＞0)
(1) 有人说：当 Δ＞0 时表中的 x1，x2 有三重身份， 你能说出是哪三重身份吗?
提示：x1，x2 既是二次函数图象与x轴交点的横坐标 (即二次函数的零点)，又是一元二次方程的两个解，还是一元二次不等式解集的区间端点.
(2) 若一元二次不等式 ax2＋x－1＞0 (a≠0) 的解集为R， 则实数 a 应满足什么条件?
(2) 本质： 方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 和不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0) 或 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0) 是函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y＝0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 就转化为方程，当 y＞0 或 y＜0 时就转化为一元二次不等式.
(3) 应用： ① 解一元二次不等式， ② 已知一元二次不等式的解集求参数， ③ 一元二次不等式的应用问题.
当a＜0 时，通过不等式两边同乘以－1，可将问题转化为二次项系数为正的情形，利用表3－3－2解决.
(1) x2－7x＋12＞0；
(2) －x2－2x＋3≥0；
(3) x2－2x＋1＜0；
(4) x2－2x＋2＞0.
对 于二次项系数为负数的不等式，可以先把二次项系数化成正数，然后再求解.
解 不等式两边同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0.
1. (1) 不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为( )。 A.{ x∣x＜1} B.{ x∣x＞3} C.{ x∣x＜1 或 x＞3} D.{ x∣1＜x＜3} (2) 不等式－x2＋2x－4＞0 的解集为( ). A. R B. ∅ C. { x∣x＞0，x∈R} D.{ x∣x＜0，x∈R}.
(1) x2＋4x－12＞0；
解：该不等式可化为(x＋6)(x－2)＞0， 解得 x＜－6或 x＞2， 故原不等式的解集为{ x∣x＜－6 或 x＞2}.
(2) x2－x＋1≤0；
(3) 2x2－5x＋3＜0；
(4) 3x2－x－4＞0；
(5) 2x2＋4x＋3＞0；
解：该不等式可化为2(x＋1)2＋1＞0， 恒成立， 故原不等式的解集为R.
(6) 9x2－6x＋1≤0.
(1) －6x2－x＋2＜0；
(2) 1－4x2≥4x＋2；
解：不等式可变形为4x2＋4x＋1＜0， 即(2x＋1)2＜0， 显然无解， 即解集为∅.
(3) 1－3x＜x2；
(4) (x－2)(x＋2) ＞1.
4. 当 x 是什么实数时，函数 y＝－x2＋5x＋14 的值是： (1) 0?
解： －x2＋5x＋14＝0 x2－5x－14＝0 (x－7)(x＋2) ＝0 x1＝7，x2＝－2
解： －x2＋5x＋14＞0 x2－5x－14＜0 (x－7)(x＋2) ＜0 －2＜x＜7
解： －x2＋5x＋14＜0 x2－5x－14＞0 (x－7)(x＋2) ＞0 x＞7 或 x＜－2.
5. (1)已知集合 M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}， 求M∩N；
解：∵集合M ＝ {x∣－4≤x≤7}， N ＝ {x|x2－x－6＞0} ＝ {x∣x＜－2或 x＞3}， ∴ M∩N ＝{x∣－4≤x＜－2 或 3＜ x≤7}；
(2) 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5) ＜0}，求 A∪B.
解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0} ＝{x∣1＜x＜3}， B＝{x|(x－2)(x－5)＜0} ＝{x∣2＜x＜5}， ∴ A∪B ＝{x∣1＜x＜5}.
用一根长为 100 m的绳子能围成一个面积大于 600 m的矩形吗?当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大?
解：设矩形一边的长为 x m，则另一边的长为 (50－x) m，其中0＜x＜50. 由题意，得 x(50－x) ＞600， 即 x2－50x＋600＜0， 解得 20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在 20 m 至 30 m 的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形.
用 S 表示矩形的面积，则 S＝x(50－x) ＝－ (x－25)2＋625 (0＜x＜50). 当x＝25 时，S 取得最大值，此时 50－x＝25. 答 当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形的面积最大.
你能用基本不等式来求 x(50－x) 的最大值吗?
某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x 件(x∈N*)与货价 P 元/件之间的关系为 P＝160－2x，生产 x 件所需成本为 C＝500＋30x 元. 问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300 元?
解 由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)＞1300， 化简，得 x2－65x＋900＜0， 解得 20≤x≤45.答 该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素.
在一个限速为 40 km/h的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰.
事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m. 又知甲两种车型的刹车距离 (单位：m)与车速 x (单位：km/h)之间分别有如下关系： s甲＝ 0.1x＋ 0.01x， s乙＝0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象?
一般来说，刹车距离与车速是二次函数关系.
分析 根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速.
解 由题意知，对于甲车，有 0.1x＋0.01x2＜12， 即 x2＋10x－1200＜0， 解得 －40＜x＜30. 这表明甲车的车速低于 30 km/h，未超过规定限速.
对于乙车，有 0.05x＋0.005x2＞10，即 x2＋10x－2000＞0，解得 x＞40 或 x＜－50 (不合实际意义，舍去). 这表明乙车的车速超过 40 km/h，超过规定限速.答 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.
1. 如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的 2倍， 那么明、后两年每年的平均增长率至少是多少?
解：设该厂今的产量为a，明、后两年每年的平均增长率至少是x%，则a(1＋x%)2≥2a， 解得 x%≥41.4%. ∴ 明、后两年每年的平均增长率至少是41.4%.
3. 国家为了加强对饮用酒生产的宏观管理，实行征收附 加税政策.已知某种洒每瓶 70 元，不征收附加税时， 每年大约销售 100 万瓶；若政府征收附加税每销售 100 元要征税 R元 (叫作税率 R%)，则每年的销售量 将减少 10R 万瓶. 要使每年在此项经营中所收取的附 加税不少于 112 万元，R 应怎样确定?
解：设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为 70x·R%万元，其中 x＝100－10R.由70(100 － 10R)·R%≥112，即 R2－10R＋16 ＜ 0.解得 2≤R≤8.故税率定在2% ~ 8%之内，年收附加税额将不低于112万元.
1. 辨析记忆(对的打“✔”，错的打“✘”) (1) mx2－5x＜0 是一元二次不等式 ( ) (2) 若 a＞0，则一元二次不等式 ax2＋1＞0无解( )
当m＝0时是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.
因为a＞0，所以不等式ax2＋1＞0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3) 若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的两根为x1，x2 (x1＜x2)，则一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0的解集为{ x∣x1＜x＜x2 }.( )
当 a＞0时，ax2＋bx＋c＜0的解集为{ x∣x1＜x＜x2}，否则不成立.
3. 不等式－3x2＋5x－4＞0 的解集为________.
解析：原不等式变形为 3x2－5x＋4＜0. 因为Δ＝ (－5)2－4×3×4＝－23＜0， 所以由函数 y＝3x2－5x＋4 的图象可知， 3x2－5x＋4＜0 的解集为∅.
3. 某公司每个月的利润 y (单位：万元)关于月份 n 的关 系式为 y＝n2－9n＋114，则该公司12个月中，利润大 于100万元的月份共有( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
解析：由题意得 n2－9n＋114＞100， 解得 n＜2或 n＞7， 故 n＝1，8，9，10，11，12，共6个月.
4. 二次函数 y＝x2－4x＋3当函数值为负数时 x 的取值范 围是___________.
解析：由于方程 x2－4x＋3＝0 的两个根为 x1＝1，x2＝3. 故不等式 x2－4x＋3＜0 的解集为{ x∣1＜x＜3}.
5. 不等式－x2＋mx＋m＜0 恒成立的条件是__________.
解析：－x2＋mx＋m＜0 恒成立，等价于Δ＜0， 即 m2＋4m＜0， 所以－4＜m＜0.
1. 证明：函数 y＝x2－x＋1 没有零点.
解：∵ ∆ ＝ b2－4ac ＝ (－1)2－4×1×1 ＝1－4 ＝－3 ＜0. ∴ 函数 y＝x2－x＋1没有零点.
2. 设 m 为实数，若函数 y＝ x2－mx＋2 有只有一个零点， 求 m 的值.
3. 设k为实数，若方程 x2－3x＋k－3＝0 有实数根，求 k 的取值范围.
解：将方程整理得：4x2－12x＋k－3＝0，有题意知： ∆＝122－4×4×(k－3)＜0， 解得：k＞12. ∴ k 取值范围是(12，+∞). 故答案为：(12，＋∞)
4. 证明：函数 y＝5x2－7x－1的一个零点在区间(－1，0) 内，另一个零点在区间(1，2)内.
解：令f(x)＝5x2－7x－1，则f(x)在R上是连续函数. ∵ ∆＝(－7)2－4×5－(－1) ＝49＋20＝69＞0， ∴方程 f(x)＝0 有两个不等实数根， 即f(x) ＝5x2－7x－1在R上有两个零点； 又∵f(－1)＝5×(－1)2－7×(－1) －1＝11＞0， f(0)＝ －1＜0，
∴ 在区间(－1，0)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点；又∵ f(1) ＝ 5－7－1＝－3＜0， f(2) ＝ 5×22－7×2－1＝5＞0，∴在区间(1，2)内，函数f(x)＝5x2－7x－1存在零点.又∵函数f(x)＝5x2－7x－1在R上有且仅有两个零点，∴ 函数f(x)＝5x2－7x－1一个零点在区间(－1，0)内， 另一个零点在区间(1，2)内.
(1) x(x－1) ≤ 0； (2) (x＋1)(x－5)＞0；
解：因为对应方程的两根为0和1， 所以不等式的解集是{x∣0≤x≤1}.
解：因为对应方程的两根为－1和5， 所以不等式的解集是{x∣x＜－1或x＞5}.
(3) x2－6x＋9≤0； (4) 3x2－7x＋2 ＞ 0；
解：因为对应方程为(x－3)2＝0， 对应方程的一个根为3， 所以不等式的解集是{x∣x＝3}.
(5) －2x2－x＋6＞0； (6) x2－x＋1＞0.
解：因为对应方程判别式∆＜0， 所以不等式的解集为R.
(1) 2x2－3x＞2；
(2) 3x2－5x＋4＞0；
解：∵ ∆＝25－4×3×4 ＝－23＜0， ∴不等式3x2－5x＋4＞0的解集为R.
(3) x(x＋2) ＜x(3－x) ＋1；
(4) (3x－1) (x＋1)＞4.
7. 当x是什么实数时，函数 y＝－x2－8x＋20 的值是： (1) 0?
解：－x2－8x＋20 ＝0 x2＋8x－20 ＝0 (x－2)(x＋10) ＝0 x＝－10或x＝2
解：－x2－8x＋20 ＞0 x2＋8x－20 ＜0 (x－2)(x＋10) ＜0 －10＜x＜2
解：－x2－8x＋20 ＜0 x2＋8x－20 ＞0 (x－2)(x＋10) ＞0 x＜－10 或 x＞2
8. 制作一个高为 20 cm 的长方体容器，底面矩形的长比 宽多 10 cm，并且容积不少于 4 000 cm3. 问：底面矩形的宽至少应是多少?
解：设底面矩形的宽为 x cm， 由题意可得20x(x＋10) ≥ 4000. 即 x2＋10x－200≥0， 解得：x≤－20 (舍) 或x≥10. ∴ 底面矩形的宽至少应为10 cm.
9. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)， B(2，0)两点，求关于x的不等式 x2＋bx＋c＞0 的解集.
解：∵ 二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于 A(－1，0)，B(2，0) 两点， ∴ －1，2 是关于x的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0 的两个实数根， ∴关于x的不等式x2＋bx＋c＞0 的解集为：{x∣x＜－1或x＞2}.
10. 设m为实数已知二次函数 y＝x2－5x＋m 的两个零点都 在区间(0，＋∞)内，求 m 的取值范围.
11. (1) k 是什么实数时，方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0 有两个不相等的实数根?
解：方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0中， 令∆＞0，得 4(k－1)2－4(3k2－11)＞0， 化简得 k2＋k－6＜0， 解得 －3＜k＜2， 所以 k∈(－3，2) 时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数 x 恒成立， 求实数k的取值范围.
12. 已知不等式 ax2＋b－1＞0的解集是{ x∣3＜x＜4 }， 求实数 a，b 的值.
13. 如图，某房地产开发公司要在矩形地块 ABCD 上规划出一块矩形地块PQCR 建造住宅区为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△AEF的界线EF. 由实地测量知，AB＝200 m，AD＝160 m，AE ＝60 m，AF＝40 m. 问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大?最大面积是多少?
14. 已知某公司每天生产的某种产品的数量 (单位：百件) 与其成本y (单位：千元)之间的函数解析式可以近似 地用 y＝ax2＋b＋c 表示其中a，b，为常数. 现有实际 统计数据如下表所示：
(1) 求a，b，c 的值；
(2) 若每件产品销售价为 200 元，则该公司每天生产多少 产品时才能盈利? (假设每天生产的产品可以全部售完)
15. (阅读题)重新考察不等式 5x2－10x＋4.8＜0 这个不等 式的左边可分解因式为(x－1.2)(5x－4). 根据实数乘 法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组 的两个解集的并集.
(1) (2x－3)(x＋1) ＞0；
(2) (1－x)(2＋x)≥0；
在早期，人们使用文字或象征性记号来记述不等关系.例如，荷兰数学家吉拉尔 ( A . Girard，1595—1632) 在他 1629 年所著《代数新发现》一书中，使用下面记号： A ff B 表示A大于B，B§A 表示B小于A.
他的意思是说，因为 3＞2，所以 a3＞2b ( a，b 为正数)，故 a＞b，小于号的意思也是这样的. 1631年，英国数学家、望远镜发明者哈里奥特 ( T . Harrit，1560-1621)去世后 10 周年，人们出版了他的遗著《分析术实例》在这本书中，他写道： 大于的记号：a＞b表示 a 量大于 b 量， 小于的记号：a＜b表示 a 量小于 b 量.
这一简洁优美的记号，不管后人采用怎样的方式去创造不等号最终都无法取代“＞”“＜”两个记号.“＞” “＜”直到 18 世纪初才被泛使用. 至于“≠”“≯”“≮”的出现，乃是近代之事. 一般人不使用“≮”“≯”，而使用“≥”“≤”(或“≧”“≦”)两个记号，表示“大于或等于”“小于或等于”.
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