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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题33反比例函数中的平行四边形(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题33反比例函数中的平行四边形(原卷版+解析)，共54页。试卷主要包含了阅读理解，定义等内容，欢迎下载使用。
1．阅读理解：
如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）．
基本知识：
（1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标；
方法提炼：
（2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标；
（3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 时，x的取值范围是______；
③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
3．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0，m），C（n，0），且m、n是关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个根（m＜n）．点D是OC的中点，连接AD．
(1)求点B的坐标；
(2)若反比例函数 (k≠0)的图像经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若反比例函数 (k≠0)的图像恰好与四边形ABCD的边有两个交点，则k的取值范围是 ．
4．（2020春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A(4，a)、B(－8，－2)．
（1）求k、b的值；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标．
5．（2020春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，反比例函数（k＞0）的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为2时．求k的值；
（2）若k=12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°
①求ACB的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．
6．如图，已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y＝（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y＝（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y＝2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．
8．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积：
(2)如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
(3)在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值．
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
(1)求的值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
11．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
(1)与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
13．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
14．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ）；（用含m的代数式表示）
（2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△PAB的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．
（1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式；
（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；
（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，已知点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由；
（3）如图3，点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标．
专题33 反比例函数中的平行四边形
1．阅读理解：
如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）．
基本知识：
（1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标；
方法提炼：
（2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标；
（3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（1，1）；（2）（4，6）；（3）点A的坐标为（2，），（，4），（2，4）
【分析】（1）根据线段的中点坐标公式，可得答案；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，根据中点坐标公式，可得答案．
（3）根据平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，可得点D的坐标，根据点在函数图象上，可得a的值，根据点A的坐标是（a，），可得点A的坐标．
【详解】解：（1）将A，C点的坐标代入中点坐标公式，得
xM==1，yM==1，
AC中点M的坐标（1，1）；
（2）连接AC，BD交于点M∵四边形ABCD是平行四边形，
∴M是AC与BD的交点，
将A（﹣1，5），C（3，3）代入，
解得，
即点M的坐标为（1，4），
设点D的坐标为（xD，yD），
由中点坐标公式，得
，
解得，
即点D的坐标为（4，6）；
（3）设A（a，），则B（，）C（a，），
①当AB为对角线时，有，
即，
解得，
将D（，）代入y=2x解得a=2，
A（2，），
②当AC为对角线时，有，
即
解得
将D（a，）代入y=2x解得a=，
A（，4）；
③当AD为对角线时，有
即，
解得
将D（，）代入y=2x解得a=2，
A（2，4），
综上所述：点A的坐标为（2，），（，4），（2，4）．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，解（1）的关键是利用中点坐标公式；解（2）的关键是利用平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，又利用了中点坐标公式；解（3）的关键是利用平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等得出D点坐标，又利用了点的坐标满足函数解析式求得a的值，要分类讨论，以防遗漏．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 时，x的取值范围是______；
③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【答案】(1)①y＝－4x＋5；② 0＜x＜或x＞1；③ D（，0）E（0，3）或D（－，0）E（0，－3）
(2)见解析
【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程即可；
②首先求出直线BC与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；
③设D（m，0），E（0，n），分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
（2）延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），表示出△OBC的面积即可．
（1）
解：①当M（1，4）时，则B，C（1，1），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+5，
故答案为：y＝﹣4x+5；
②当y＝0时，x＝，
由图象知，当0＜x＜或1＜x＜时，y＜y2，
故答案为：0＜x＜或1＜x＜；
③设D（m，0），E（0，n），
当BD、CE为对角线时， ，
∴ ，
∴D（，0）E（0，3），
当BC、DE为对角线时，，
∴，
此时点B、C、D、E共线，故舍去，
当BE、CD为对角线时，，
∴，
∴D（，0）E（0，﹣3），
综上：D（，0）E（0，3）或D（，0）E（0，﹣3）；
（2）
解：证明：延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），
∴B（），C（a，），
∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO
＝a×﹣﹣（）×﹣
＝4﹣
＝，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键．
3．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0，m），C（n，0），且m、n是关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个根（m＜n）．点D是OC的中点，连接AD．
(1)求点B的坐标；
(2)若反比例函数 (k≠0)的图像经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若反比例函数 (k≠0)的图像恰好与四边形ABCD的边有两个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】(1)（4，2）
(2)（0，6）或（0，-6）或（0，-2）
(3)1＜k＜8
【分析】（1）解方程x2-6x+8=0，得出m和n的值，可得点B的坐标；
（2）首先求出点D的坐标和反比例解析式，再分AD为边和对角线，分别画出图形，从而得到点Q的坐标；
（3）首先求出当直线AD与双曲线只有有个交点时k的值，从而得出k的范围．
（1）
解：∵m、n是关于x的方程x2-6x+8=0的两个根，
∴m=2，n=4，
∴OA=2，OC=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（4，2）；
（2）
∵点B在反比例函数上，
∴k=2×4=8，
∴；
∵点D是OC的中点，
∴D（2，0），
当AD为边时，若点P在第一象限，如图，
则DP∥y轴，
∴当x=2时，y=4，
∴PD=4，
∴Q（0，6），
当点P在第三象限时，由四边形ADQP是平行四边形可得，点P的横坐标为-2，
∴点P的纵坐标为-4，
∴点Q的纵坐标为-6，
∴点Q的坐标为（0，-6），
当AD为对角线时，如图，点P（2，4），
∴AQ=PD=4，
∴Q（0，-2），
综上：Q（0，6）或（0，-6）或（0，-2）；
（3）
由题意知，直线AD的解析式为y=-x+2，
当（k≠0）的图象与直线AD恰好有一个交点时，则-x+2=，
∴x2-2x+k=0，
∴Δ=4-4k=0，
∴k=1，
∴反比例函数（k≠0）的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点时，1＜k＜8，
故答案为：1＜k＜8．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程的解法，根的判定式，方程和函数的关系等知识，分AD为边或对角线是解题的关键．
4．（2020春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A(4，a)、B(－8，－2)．
（1）求k、b的值；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）k＝16，b＝2
（2）
（3）
【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式的解集；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，），分AB为边及AB为对角线两种情况考虑列出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数y=的图象过点B（-8，-2），
∴-2=-4+b，
∴b=2．
∵反比例函数y=的图象过点B（-8，-2），
∴k=（-8）×（-2）=16．
∴k=16, b=2．
（2）观察函数图象，可知：
当-8＜x＜0或x＞4时，一次函数y=x+2的图象在反比例函数y=的图象上方，
∴不等式的解集为-8＜x＜0或x＞4．
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，）．
分两种情况考虑：
①AB为边，如图2所示．
当四边形AP1Q1B为平行四边形时,,
解得：
∴点P1的坐标为（0，）
当四边形ABP2Q2为平行四边形时，
解得：
∴点P2的坐标为（0，）
②AB为对角线，如图3所示．
∵四边形APBQ为平行四边形，
解得：
∴点P的坐标为（0，6）．
综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，6）.
【点睛】本题是反比例函数与几何综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，关键是运用数形结合思想及分类讨论思想进行解题.
5．（2020春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，反比例函数（k＞0）的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为2时．求k的值；
（2）若k=12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°
①求ACB的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）k=3；（2）①；②，，，过程见解析．
【分析】（1）已知A点的横坐标，且A点既在直线上，又在反比例函数上，将A的横坐标代入直线方程式，可得A点的坐标，再代入反比例函数中，即可求得比例系数；
（2）①将反比例函数与正比例函数联立，解得交点A、B的坐标，且∠ACB=90°，故可得以O点为圆心，以AB为直径画一个圆，点C为该圆与y轴交点，则C点坐标可表示出来，并可求出三角形面积；②在图像中画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形，并根据平行四边形的性质写出D点可能的坐标．
【详解】解：（1）∵A的横坐标为2，且A点在直线上，
∴将x=2代入上式，得：，解得：，
故A点的坐标为(2，)，且A点在反比例函数，将A点坐标代入反比例函数解析式，
求得比例系数为：．
（2）①∵k=12，∴反比例函数解析式为：，且与正比例函数交于点A、B，
联立方程式：，解得：x=±4，
A坐标(4，3)，B坐标(-4，-3)，
又∵∠ACB=90°，即以O点为圆心，以AB为直径画一个圆，点C为该圆与y轴交点，直径AB=，∴OC=r=5，
故C点坐标(0，5)，
∴．
②如图所示，A坐标(4，3) ，C点坐标(0，5)，B坐标(-4，-3)，要使四边形ABCD为平行四边形，D点一共有三种可能：
1），，为点B向右4个单位，向下2个单位，则；
2），，为点B向左4个单位，向上2个单位，则；
3），，为点A向右4个单位，向上8个单位，则．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合计算，半圆所对圆周角为直角，与已知三点组成平行四边形的点的坐标，解题的关键在于应用圆周角的知识，求出点C的坐标，并在写平行四边形ABCD坐标的时候不要遗漏．
6．如图，已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y＝（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y＝（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y＝2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）△ABC的面积不变，；（3）存在，（，）、（，）或（2，4）．
【分析】（1）设点P（m，），Q（n，），根据P为OQ的中点，即可得出m、n之间的关系，由此即可得出k值；
（2）△ABC的面积不变，设A（a，）（a＞0），根据AB、AC与坐标轴平行找出点B、C的坐标，由此即可得出AB、AC，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在，设A（a，）（a＞0），则C（a，），B（，）．以A，B，C，D为顶点的四边形分别是以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质找出点D的坐标，再根据点D在直线y=2x上找出关于a的方程，解方程求出a值，将其代入A点坐标中即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点P在反比例函数y＝（x＞0）上，点Q在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴设点P（m，），Q（n，），
∵点P为OQ的中点，
∴n＝2m，＝2•，
∴k＝8．
（2）△ABC的面积不变，
设A，则C，
令y＝中y＝，则x＝，
∴点B（，），
∴AB＝＝，AC＝﹣＝，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝．
（3）假设存在，设A，则C，B（，）．
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：
①以AB为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝或a＝（舍去），
此时点A（，）；
②以AC为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝或a＝﹣（舍去），
此时点A（，）；
③以BC为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
此时点A（2，4）．
故直线y＝2x存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点A的坐标为（，）、（，）或（2，4）.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：
（1）根据点P为OQ的中点找出m、n的关系；
（2）求出S△ABC为定值；
（3）分别以AB、AC、BC为对角线找出点D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质——对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标表示出第四个顶点的坐标是关键．
7．已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．
【答案】（1）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【分析】（1）首先将A点坐标代入反比例函数，进而计算出k的值，再将B点代入反比例函数的关系式，求得参数m的值，再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
（2）根据题意要使＞ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上，观察图象即可得到x的取值范围.
（3）首先写出A、C的坐标，再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【详解】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得：4＝k，
∴反比例函数的关系式为y＝；
当y＝﹣2时，﹣2＝，解得：m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得： ，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）∵点A的坐标为（1，4），
∴点C的坐标为（1，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示：
①当OC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D1的坐标为（0，﹣4）；
②当OA为对角线时，
解得：
∴点D2的坐标为（0，4）；
③当AC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D3的坐标为（2，4）．
综上所述：以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题，综合性比较强，但是也很容易，应当熟练掌握.
8．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣，3）（2） （3）（，）或（﹣，5）或（，﹣）
【分析】（1）由线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，且CD＞DE，可求出CD、DE的长，由四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可求得D点的坐标.
(2)由（1）可得OB、CM，可得B、C坐标，进而求得H点坐标，由反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，可求的k的值;
(3)分别以CF为平行四边形的一边或者为对角线的情形进行讨论即可.
【详解】（1）x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x=3或6，
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC==3，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM中，∠DEM=30°，
∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k=3×=；
故答案为；
（3）
①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2=CP，
∴P（，）；
②
如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6，
连接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③
如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形的图像和性质，反比例函数的图像与性质等，综合性较大，需综合运用所学知识充分利用已知条件求解.
9．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积：
(2)如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
(3)在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值．
【答案】(1)．
(2)见解析．
(3)或．
【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积；
（2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形；
（3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑：利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值；同可求出值．综上，此题得解．
（1）
解：四边形为半对角四边形，
，
，
，
，
过点作的垂线交于，如下图：
，
，
，
，
由勾股定理得：，
．
（2）
证明四边形为平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是半对角四边形；
（3）
解：由题意，可知：点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，．
当点，向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，
；
当点，向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，
．
综上所述：的值为为或．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值．
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
(1)求的值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
【答案】(1)4
(2)
(3)或或
【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．
（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即，设点G（0，t），则，构造等式，求解即可．
（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），运用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可．
（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴ △EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，∵点D在第一象限，且在反比例函数上，∴D（1，k）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），∴k=2(-2+k)，解得k=4．
（2）如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，,根据FM=FN，∴MH=HN即，设点G（0，t），则，∴，∴，解得t=，故点G坐标为（0，）．
（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q(0，6)；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6(舍去)，此时点Q(0，-6)；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键．
11．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
(1)与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A
(2)①，；②8
(3)存在，，
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．
（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，证得，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；
②借助割补法求面积，将的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．
（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．
【详解】（1）将点，分别代入，
得，
故选A．
（2）①由（1）得：，，设
过点A作轴于点，过点B作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴，
∴反比例函数的表达式为
②如图，作轴，轴，轴，
由①知，，
则
综上所述，的面积为8．
故答案为：8．
（3），
图解：①为边
即：
②为对角线
即：
【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．
12．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为：，，
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
，解得：，
∴反比例函数的表达式是：；
在反比例函数的图象上，
，
，
将点，代入，可得：，
解得：，
∴一次函数表达式是：；
（2）由（1）知，直线的解析式为，则，，
；
（3）如图所示：
当且时，则，
，
点坐标为；
当且时，则，
，
点坐标为：；
当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为，
点坐标为：
综上所述：点的坐标为：，，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．
13．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
【答案】(1)5
(2)
(3)①当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；②点Q的坐标为（5，）
【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，则；
（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接AC交y轴于J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（4，3），
∴AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴，
故答案为：5；
（2）解：∵AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴点A的坐标为（-4，3），
∵反比例函数经过点A（-4，3），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（3）解：①设E点坐标为（m，），
∵OJ=BJ=3，
∴OB=6，
∴B点坐标为（0，6），
∴D点坐标为（0，-6），
∴直线l为，
设P点坐标为（a，-6）
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，15）；
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，
∵与的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴的坐标为（4，-3）；
同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，点的坐标为（，-9）；
综上所述，当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；
②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，
∵点A的坐标为（-4，3），直线l为，
∴AT=9，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
又∵AP=QA，
∴△APT≌△QRA（AAS），
∴AT=RQ=9，
∴Q点的横坐标为5，
∵Q在反比例函数上，
∴，
∴点Q的坐标为（5，）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
14．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ）；（用含m的代数式表示）
（2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△PAB的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）m＝3、1或
【分析】(1)将点P(m，n)代入反比例函数y=(x＞0)，用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PA∥x轴，得到A点的纵坐标为，然后将点A的纵坐标带入反比例函数的解析式y=(x＞0)即可得到点A的坐标，同理得到点B的坐标；
(2)根据PA=m-，PB=−=，利用S△PAB=PA•PB即可得到答案；
(3)分三种情况分别画出图形，结合平行四边的性质进行讨论即可.
【详解】(1)∵点P(m，n)是反比例函数y＝(x＞0)图象上的动点，
∴n＝，
∴点P(m，)；
∵PA∥x轴，
∴A点的纵坐标为，
将点A的纵坐标代入反比例函数的解析式y＝(x＞0)得：x＝，
∴A(，)，同理可得：B(m，)；
(2)∵PA＝m﹣＝，PB＝﹣＝，
∴S△PAB＝PA•PB＝××＝；
(3)①若四边形PBAC为平行四边形，则有AC∥y轴，
∴C点横坐标为，
代入y＝2x得C(，m)，
此时AC＝m﹣，PB＝，
由AC＝PB，得：m﹣＝，
解得：m＝3或m＝﹣3(舍去)，
∴m＝3时，四边形PBAC为平行四边形．
②若四边形PABC为平行四边形，则有BC∥x轴，
∴C点纵坐标为，
把y＝代入y＝2x得C(，)，
此时BC＝﹣m，
由BC＝PA，得﹣m＝，
解得：m＝1或m＝﹣1(舍去)；
③若PACB为平行四边形，则有AC∥BP∥y轴，
∴点C(，)，
代入y＝2x，得＝2×，
解得m＝或m＝﹣(舍去)，
综上：m＝3、1或时，以点P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形.
【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键.正确地分类讨论是解(3)的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．
（1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式；
（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；
（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）时，Q；时，Q；时，；
【分析】（1）把点A的坐标代入两个函数的解析式求出k和k′的值即可得到两个函数的解析式；
（2）由题意易得AB=1，OB=2，OP=t，结合（1）中所得两个函数的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得当点P在线段AB上（不与点B重合）时，CD=PD-PC=，这样S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S与t间的函数关系式了；
（3）根据题意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根据这三种情况画出对应的图形（图2和图3）结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】解：（1）把A（1，2）代入y=kx和y=，k=2，k′=2
∴直线y=kx的函数关系式是y=2x，双曲线y=的函数关系式是y=；
（2）由题意可得：AB=1，OB=2，OP=t，
∴PC=，PD=，BP=2-t，
∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=-．
∴S= (1+-)(2-t)= ；
（3）存在以下3种情形，具体如下：
①当CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ABCQ是平行四边形，
∵CD=PD-PC=-=1，
∴，解得（舍去），
∴此时PD==，OP=t=-1，
∴当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；
②当CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ACBQ是平行四边形，
∵CD=PC-PD，
∴，解得：（舍去），
∴此时PD==，OP=t=+1，
∴当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；
③当BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方时（如图3），此时四边形ACBQ是平行四边形，
此时Q点的坐标仍为（，+1），
过C作CG⊥AB交AB于G，过Q作QH⊥y轴交y轴于H，
则有△ACG≌△QBH，
∴CG=BH=BP，，
∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-，
∴当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】这是一道涉及“反比例函数”、“动点问题”和“平行四边形”的综合题，熟悉“所涉及的相关数学知识，能够根据题意分情况画出对应的图形”是解答本题的关键．
16．如图1，已知点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由；
（3）如图3，点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标．
【答案】（1）a=1，k=4，b=2；（2）能，见解析；（3）P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．
【分析】（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，由△PDE≌△OAE（AAS）得PD=OA，求出点D坐标，即可解决问题；
（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=图象上；
（3）分两种情形分别求解①当AB为边时，如图1，若四边形ABPQ为平行四边形，则=0；如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，求点P坐标，即可解决问题；②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，求出点P坐标，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE．
又∵DP⊥y轴，∠AOE=90°，
∴∠DPE=∠AEO．
∵在△PDE与△OAE中，
∠DPE=∠AOE，AE=DE，∠PED=∠OEA，
∴△PDE≌△OAE（AAS），
∴PD=OA，
∵A（﹣1，0），
∴PD=1，
∴D（1，4）．
∵点D在反比例函数图象上，
∴k=xy=1×4=4．
∵点C在反比例函数图象上，C的坐标为（2，b），
∴b==2，
∴a=1，k=4，b=2；
（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=图象上；
（3）∵由（1）可知k=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵点P在y=上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，）．
①当AB为边时，如图1中，若四边形ABPQ为平行四边形，则=0，
解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）．
如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，
此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）．
②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，
此时P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2），
综上所述，满足条件的P、Q坐标分别为P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
1．阅读理解：
如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）．
基本知识：
（1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标；
方法提炼：
（2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标；
（3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 时，x的取值范围是______；
③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
3．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0，m），C（n，0），且m、n是关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个根（m＜n）．点D是OC的中点，连接AD．
(1)求点B的坐标；
(2)若反比例函数 (k≠0)的图像经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若反比例函数 (k≠0)的图像恰好与四边形ABCD的边有两个交点，则k的取值范围是 ．
4．（2020春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A(4，a)、B(－8，－2)．
（1）求k、b的值；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标．
5．（2020春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，反比例函数（k＞0）的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为2时．求k的值；
（2）若k=12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°
①求ACB的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．
6．如图，已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y＝（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y＝（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y＝2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．
8．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积：
(2)如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
(3)在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值．
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
(1)求的值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
11．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
(1)与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
13．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
14．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ）；（用含m的代数式表示）
（2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△PAB的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．
（1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式；
（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；
（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，已知点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由；
（3）如图3，点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标．
专题33 反比例函数中的平行四边形
1．阅读理解：
如图①，在平面直角坐标系中，若已知点A（xA，yA）和点C（xC，yC），点M为线段AC的中点，利用三角形全等的知识，有△AMP≌△CMQ，则有PM=MQ，PA=QC，即xM﹣xA=xC﹣xM，yA﹣yM=yM﹣yC，从而有，即中点M的坐标为（，）．
基本知识：
（1）如图①，若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），求AC中点M的坐标；
方法提炼：
（2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标；
（3）如图③，点A是反比例函数y=（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y=2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）（1，1）；（2）（4，6）；（3）点A的坐标为（2，），（，4），（2，4）
【分析】（1）根据线段的中点坐标公式，可得答案；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，根据中点坐标公式，可得答案．
（3）根据平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，可得点D的坐标，根据点在函数图象上，可得a的值，根据点A的坐标是（a，），可得点A的坐标．
【详解】解：（1）将A，C点的坐标代入中点坐标公式，得
xM==1，yM==1，
AC中点M的坐标（1，1）；
（2）连接AC，BD交于点M∵四边形ABCD是平行四边形，
∴M是AC与BD的交点，
将A（﹣1，5），C（3，3）代入，
解得，
即点M的坐标为（1，4），
设点D的坐标为（xD，yD），
由中点坐标公式，得
，
解得，
即点D的坐标为（4，6）；
（3）设A（a，），则B（，）C（a，），
①当AB为对角线时，有，
即，
解得，
将D（，）代入y=2x解得a=2，
A（2，），
②当AC为对角线时，有，
即
解得
将D（a，）代入y=2x解得a=，
A（，4）；
③当AD为对角线时，有
即，
解得
将D（，）代入y=2x解得a=2，
A（2，4），
综上所述：点A的坐标为（2，），（，4），（2，4）．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，解（1）的关键是利用中点坐标公式；解（2）的关键是利用平行四边形的对角线互相平分，可得M是AC的中点，M是BD的中点，又利用了中点坐标公式；解（3）的关键是利用平行四边形对角的顶点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等得出D点坐标，又利用了点的坐标满足函数解析式求得a的值，要分类讨论，以防遗漏．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 时，x的取值范围是______；
③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【答案】(1)①y＝－4x＋5；② 0＜x＜或x＞1；③ D（，0）E（0，3）或D（－，0）E（0，－3）
(2)见解析
【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程即可；
②首先求出直线BC与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；
③设D（m，0），E（0，n），分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
（2）延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），表示出△OBC的面积即可．
（1）
解：①当M（1，4）时，则B，C（1，1），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+5，
故答案为：y＝﹣4x+5；
②当y＝0时，x＝，
由图象知，当0＜x＜或1＜x＜时，y＜y2，
故答案为：0＜x＜或1＜x＜；
③设D（m，0），E（0，n），
当BD、CE为对角线时， ，
∴ ，
∴D（，0）E（0，3），
当BC、DE为对角线时，，
∴，
此时点B、C、D、E共线，故舍去，
当BE、CD为对角线时，，
∴，
∴D（，0）E（0，﹣3），
综上：D（，0）E（0，3）或D（，0）E（0，﹣3）；
（2）
解：证明：延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，），
∴B（），C（a，），
∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO
＝a×﹣﹣（）×﹣
＝4﹣
＝，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键．
3．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上．已知点A（0，m），C（n，0），且m、n是关于x的方程x2－6x＋8＝0的两个根（m＜n）．点D是OC的中点，连接AD．
(1)求点B的坐标；
(2)若反比例函数 (k≠0)的图像经过点B，点Q为y轴上一点，点P为反比例函数图像上一点，是否存在点Q，使以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若反比例函数 (k≠0)的图像恰好与四边形ABCD的边有两个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】(1)（4，2）
(2)（0，6）或（0，-6）或（0，-2）
(3)1＜k＜8
【分析】（1）解方程x2-6x+8=0，得出m和n的值，可得点B的坐标；
（2）首先求出点D的坐标和反比例解析式，再分AD为边和对角线，分别画出图形，从而得到点Q的坐标；
（3）首先求出当直线AD与双曲线只有有个交点时k的值，从而得出k的范围．
（1）
解：∵m、n是关于x的方程x2-6x+8=0的两个根，
∴m=2，n=4，
∴OA=2，OC=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴B（4，2）；
（2）
∵点B在反比例函数上，
∴k=2×4=8，
∴；
∵点D是OC的中点，
∴D（2，0），
当AD为边时，若点P在第一象限，如图，
则DP∥y轴，
∴当x=2时，y=4，
∴PD=4，
∴Q（0，6），
当点P在第三象限时，由四边形ADQP是平行四边形可得，点P的横坐标为-2，
∴点P的纵坐标为-4，
∴点Q的纵坐标为-6，
∴点Q的坐标为（0，-6），
当AD为对角线时，如图，点P（2，4），
∴AQ=PD=4，
∴Q（0，-2），
综上：Q（0，6）或（0，-6）或（0，-2）；
（3）
由题意知，直线AD的解析式为y=-x+2，
当（k≠0）的图象与直线AD恰好有一个交点时，则-x+2=，
∴x2-2x+k=0，
∴Δ=4-4k=0，
∴k=1，
∴反比例函数（k≠0）的图象恰好与四边形ABCD的边有两个交点时，1＜k＜8，
故答案为：1＜k＜8．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程的解法，根的判定式，方程和函数的关系等知识，分AD为边或对角线是解题的关键．
4．（2020春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A(4，a)、B(－8，－2)．
（1）求k、b的值；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）k＝16，b＝2
（2）
（3）
【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式的解集；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，），分AB为边及AB为对角线两种情况考虑列出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵一次函数y=的图象过点B（-8，-2），
∴-2=-4+b，
∴b=2．
∵反比例函数y=的图象过点B（-8，-2），
∴k=（-8）×（-2）=16．
∴k=16, b=2．
（2）观察函数图象，可知：
当-8＜x＜0或x＞4时，一次函数y=x+2的图象在反比例函数y=的图象上方，
∴不等式的解集为-8＜x＜0或x＞4．
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，）．
分两种情况考虑：
①AB为边，如图2所示．
当四边形AP1Q1B为平行四边形时,,
解得：
∴点P1的坐标为（0，）
当四边形ABP2Q2为平行四边形时，
解得：
∴点P2的坐标为（0，）
②AB为对角线，如图3所示．
∵四边形APBQ为平行四边形，
解得：
∴点P的坐标为（0，6）．
综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为（0，）或（0，）或（0，6）.
【点睛】本题是反比例函数与几何综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，关键是运用数形结合思想及分类讨论思想进行解题.
5．（2020春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，反比例函数（k＞0）的图象与正比例函数的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为2时．求k的值；
（2）若k=12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°
①求ACB的面积；
②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）k=3；（2）①；②，，，过程见解析．
【分析】（1）已知A点的横坐标，且A点既在直线上，又在反比例函数上，将A的横坐标代入直线方程式，可得A点的坐标，再代入反比例函数中，即可求得比例系数；
（2）①将反比例函数与正比例函数联立，解得交点A、B的坐标，且∠ACB=90°，故可得以O点为圆心，以AB为直径画一个圆，点C为该圆与y轴交点，则C点坐标可表示出来，并可求出三角形面积；②在图像中画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形，并根据平行四边形的性质写出D点可能的坐标．
【详解】解：（1）∵A的横坐标为2，且A点在直线上，
∴将x=2代入上式，得：，解得：，
故A点的坐标为(2，)，且A点在反比例函数，将A点坐标代入反比例函数解析式，
求得比例系数为：．
（2）①∵k=12，∴反比例函数解析式为：，且与正比例函数交于点A、B，
联立方程式：，解得：x=±4，
A坐标(4，3)，B坐标(-4，-3)，
又∵∠ACB=90°，即以O点为圆心，以AB为直径画一个圆，点C为该圆与y轴交点，直径AB=，∴OC=r=5，
故C点坐标(0，5)，
∴．
②如图所示，A坐标(4，3) ，C点坐标(0，5)，B坐标(-4，-3)，要使四边形ABCD为平行四边形，D点一共有三种可能：
1），，为点B向右4个单位，向下2个单位，则；
2），，为点B向左4个单位，向上2个单位，则；
3），，为点A向右4个单位，向上8个单位，则．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合计算，半圆所对圆周角为直角，与已知三点组成平行四边形的点的坐标，解题的关键在于应用圆周角的知识，求出点C的坐标，并在写平行四边形ABCD坐标的时候不要遗漏．
6．如图，已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y＝（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y＝（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y＝2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）△ABC的面积不变，；（3）存在，（，）、（，）或（2，4）．
【分析】（1）设点P（m，），Q（n，），根据P为OQ的中点，即可得出m、n之间的关系，由此即可得出k值；
（2）△ABC的面积不变，设A（a，）（a＞0），根据AB、AC与坐标轴平行找出点B、C的坐标，由此即可得出AB、AC，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在，设A（a，）（a＞0），则C（a，），B（，）．以A，B，C，D为顶点的四边形分别是以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质找出点D的坐标，再根据点D在直线y=2x上找出关于a的方程，解方程求出a值，将其代入A点坐标中即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点P在反比例函数y＝（x＞0）上，点Q在反比例函数y＝（x＞0）上，
∴设点P（m，），Q（n，），
∵点P为OQ的中点，
∴n＝2m，＝2•，
∴k＝8．
（2）△ABC的面积不变，
设A，则C，
令y＝中y＝，则x＝，
∴点B（，），
∴AB＝＝，AC＝﹣＝，
∴S△ABC＝AB•AC＝＝．
（3）假设存在，设A，则C，B（，）．
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：
①以AB为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝或a＝（舍去），
此时点A（，）；
②以AC为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝或a＝﹣（舍去），
此时点A（，）；
③以BC为对角线，
则点D（，），即（，），
∵点D在y＝2x上，
∴＝2•，
解得：a＝2或a＝﹣2（舍去），
此时点A（2，4）．
故直线y＝2x存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点A的坐标为（，）、（，）或（2，4）.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：
（1）根据点P为OQ的中点找出m、n的关系；
（2）求出S△ABC为定值；
（3）分别以AB、AC、BC为对角线找出点D的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质——对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标表示出第四个顶点的坐标是关键．
7．已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．
【答案】（1）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【分析】（1）首先将A点坐标代入反比例函数，进而计算出k的值，再将B点代入反比例函数的关系式，求得参数m的值，再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
（2）根据题意要使＞ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上，观察图象即可得到x的取值范围.
（3）首先写出A、C的坐标，再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【详解】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得：4＝k，
∴反比例函数的关系式为y＝；
当y＝﹣2时，﹣2＝，解得：m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得： ，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）∵点A的坐标为（1，4），
∴点C的坐标为（1，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示：
①当OC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D1的坐标为（0，﹣4）；
②当OA为对角线时，
解得：
∴点D2的坐标为（0，4）；
③当AC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D3的坐标为（2，4）．
综上所述：以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题，综合性比较强，但是也很容易，应当熟练掌握.
8．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（﹣，3）（2） （3）（，）或（﹣，5）或（，﹣）
【分析】（1）由线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，且CD＞DE，可求出CD、DE的长，由四边形ABCD是菱形，利用菱形的性质可求得D点的坐标.
(2)由（1）可得OB、CM，可得B、C坐标，进而求得H点坐标，由反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，可求的k的值;
(3)分别以CF为平行四边形的一边或者为对角线的情形进行讨论即可.
【详解】（1）x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x=3或6，
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC==3，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM中，∠DEM=30°，
∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；
（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k=3×=；
故答案为；
（3）
①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2=CP，
∴P（，）；
②
如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6，
连接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即P（﹣，5）；
③
如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．
【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形的图像和性质，反比例函数的图像与性质等，综合性较大，需综合运用所学知识充分利用已知条件求解.
9．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
(1)如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A=60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积：
(2)如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE＋CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
(3)在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，求k的值．
【答案】(1)．
(2)见解析．
(3)或．
【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积；
（2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形；
（3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑：利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值；同可求出值．综上，此题得解．
（1）
解：四边形为半对角四边形，
，
，
，
，
过点作的垂线交于，如下图：
，
，
，
，
由勾股定理得：，
．
（2）
证明四边形为平行四边形，
，，
，
，
又，
四边形是半对角四边形；
（3）
解：由题意，可知：点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，．
当点，向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，
；
当点，向左平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，
解得：，
．
综上所述：的值为为或．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值．
10．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
(1)求的值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
【答案】(1)4
(2)
(3)或或
【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．
（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即，设点G（0，t），则，构造等式，求解即可．
（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），运用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可．
（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，∵A（-1，0），∴ OA=1．∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，∴ △EDM≌△EAO，∴AO=DM=1，∵点D在第一象限，且在反比例函数上，∴D（1，k）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），∴k=2(-2+k)，解得k=4．
（2）如图2，连接FM、FN．根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），∴设直线BC的解析式为y=kx-2，∴2=2k-2，解得k=2，∴直线BC解析式为y=2x-2，∴2x-2=0，解得x=1，∴点F（1，0），过点F作FH⊥MN于点H，∴H的横坐标为1，,根据FM=FN，∴MH=HN即，设点G（0，t），则，∴，∴，解得t=，故点G坐标为（0，）．
（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），∵四边形ABPQ是平行四边形，∴平行四边形的对边平行且相等，当A平移得到Q时，∵点A（-1，0），Q（0，n），∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+n），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+n）=4，解得n=6，此时点Q(0，6)；当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，∵B（0，-2），∴点P（1，-2+|n|），∵P在反比例函数上，∴1×（-2+|n|）=4，解得n=-6，n=6(舍去)，此时点Q(0，-6)；当A平移得到P时，∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），∴m=-1，故点P（-1，-4），即点A向下平移4个单位，当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2）综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键．
11．（2022春·江苏镇江·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图像经过点，两点．
(1)与的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
(2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转90°，恰好与点重合．
①求点的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_________；
(3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A
(2)①，；②8
(3)存在，，
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m，n的数量关系．
（2）①过点作轴于点，过点作轴于点，证得，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式；
②借助割补法求面积，将的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积．
（3）将AB边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M坐标．
【详解】（1）将点，分别代入，
得，
故选A．
（2）①由（1）得：，，设
过点A作轴于点，过点B作轴于点
∴
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∴，
∴反比例函数的表达式为
②如图，作轴，轴，轴，
由①知，，
则
综上所述，的面积为8．
故答案为：8．
（3），
图解：①为边
即：
②为对角线
即：
【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．
12．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与轴交于点，交轴于点．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)连接、，求的面积；
(3)点为坐标平面内的点，若点，，，组成的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为：，，
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；
（3）利用平行四边形的性质结合当AP∥OC且AP=OC时，当AP′∥OC且AP′=OC时，当AO∥P″C，且AO=P″C时，分别得出答案．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
，解得：，
∴反比例函数的表达式是：；
在反比例函数的图象上，
，
，
将点，代入，可得：，
解得：，
∴一次函数表达式是：；
（2）由（1）知，直线的解析式为，则，，
；
（3）如图所示：
当且时，则，
，
点坐标为；
当且时，则，
，
点坐标为：；
当，且时，则点与到轴距离相等，且点横坐标为，
点坐标为：
综上所述：点的坐标为：，，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．
13．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
【答案】(1)5
(2)
(3)①当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；②点Q的坐标为（5，）
【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，则；
（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接AC交y轴于J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（4，3），
∴AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴，
故答案为：5；
（2）解：∵AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴点A的坐标为（-4，3），
∵反比例函数经过点A（-4，3），
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（3）解：①设E点坐标为（m，），
∵OJ=BJ=3，
∴OB=6，
∴B点坐标为（0，6），
∴D点坐标为（0，-6），
∴直线l为，
设P点坐标为（a，-6）
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，15）；
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，
∵与的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴的坐标为（4，-3）；
同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，点的坐标为（，-9）；
综上所述，当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；
②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，
∵点A的坐标为（-4，3），直线l为，
∴AT=9，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
又∵AP=QA，
∴△APT≌△QRA（AAS），
∴AT=RQ=9，
∴Q点的横坐标为5，
∵Q在反比例函数上，
∴，
∴点Q的坐标为（5，）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
14．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ）；（用含m的代数式表示）
（2）在点P运动的过程中，连接AB，证明：△PAB的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）在点P运动的过程中，以点P，A，B，C为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出此时m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）m＝3、1或
【分析】(1)将点P(m，n)代入反比例函数y=(x＞0)，用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PA∥x轴，得到A点的纵坐标为，然后将点A的纵坐标带入反比例函数的解析式y=(x＞0)即可得到点A的坐标，同理得到点B的坐标；
(2)根据PA=m-，PB=−=，利用S△PAB=PA•PB即可得到答案；
(3)分三种情况分别画出图形，结合平行四边的性质进行讨论即可.
【详解】(1)∵点P(m，n)是反比例函数y＝(x＞0)图象上的动点，
∴n＝，
∴点P(m，)；
∵PA∥x轴，
∴A点的纵坐标为，
将点A的纵坐标代入反比例函数的解析式y＝(x＞0)得：x＝，
∴A(，)，同理可得：B(m，)；
(2)∵PA＝m﹣＝，PB＝﹣＝，
∴S△PAB＝PA•PB＝××＝；
(3)①若四边形PBAC为平行四边形，则有AC∥y轴，
∴C点横坐标为，
代入y＝2x得C(，m)，
此时AC＝m﹣，PB＝，
由AC＝PB，得：m﹣＝，
解得：m＝3或m＝﹣3(舍去)，
∴m＝3时，四边形PBAC为平行四边形．
②若四边形PABC为平行四边形，则有BC∥x轴，
∴C点纵坐标为，
把y＝代入y＝2x得C(，)，
此时BC＝﹣m，
由BC＝PA，得﹣m＝，
解得：m＝1或m＝﹣1(舍去)；
③若PACB为平行四边形，则有AC∥BP∥y轴，
∴点C(，)，
代入y＝2x，得＝2×，
解得m＝或m＝﹣(舍去)，
综上：m＝3、1或时，以点P，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形.
【点睛】本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键.正确地分类讨论是解(3)的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．
（1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式；
（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；
（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）时，Q；时，Q；时，；
【分析】（1）把点A的坐标代入两个函数的解析式求出k和k′的值即可得到两个函数的解析式；
（2）由题意易得AB=1，OB=2，OP=t，结合（1）中所得两个函数的解析式可得：PC=，PD=，BP=，由此可得当点P在线段AB上（不与点B重合）时，CD=PD-PC=，这样S=S梯形ABCD=（AB+CD）·BP即可求得S与t间的函数关系式了；
（3）根据题意，分①CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；②CD在AB上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合；③CD在AB下方，BQ∥AC，BQ=AC；根据这三种情况画出对应的图形（图2和图3）结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】解：（1）把A（1，2）代入y=kx和y=，k=2，k′=2
∴直线y=kx的函数关系式是y=2x，双曲线y=的函数关系式是y=；
（2）由题意可得：AB=1，OB=2，OP=t，
∴PC=，PD=，BP=2-t，
∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=-．
∴S= (1+-)(2-t)= ；
（3）存在以下3种情形，具体如下：
①当CD在AB的下方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ABCQ是平行四边形，
∵CD=PD-PC=-=1，
∴，解得（舍去），
∴此时PD==，OP=t=-1，
∴当t=-1时，存在Q（，-1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；
②当CD在AB的上方，AB∥CD，且AB=CD，点Q与点D重合（如图2）时，四边形ACBQ是平行四边形，
∵CD=PC-PD，
∴，解得：（舍去），
∴此时PD==，OP=t=+1，
∴当t=+1时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形；
③当BQ∥AC，BQ=AC，且CD在AB下方时（如图3），此时四边形ACBQ是平行四边形，
此时Q点的坐标仍为（，+1），
过C作CG⊥AB交AB于G，过Q作QH⊥y轴交y轴于H，
则有△ACG≌△QBH，
∴CG=BH=BP，，
∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-，
∴当t=3-时，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】这是一道涉及“反比例函数”、“动点问题”和“平行四边形”的综合题，熟悉“所涉及的相关数学知识，能够根据题意分情况画出对应的图形”是解答本题的关键．
16．如图1，已知点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y=经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y=的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由；
（3）如图3，点P在双曲线y=上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标．
【答案】（1）a=1，k=4，b=2；（2）能，见解析；（3）P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．
【分析】（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，由△PDE≌△OAE（AAS）得PD=OA，求出点D坐标，即可解决问题；
（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=图象上；
（3）分两种情形分别求解①当AB为边时，如图1，若四边形ABPQ为平行四边形，则=0；如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，求点P坐标，即可解决问题；②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，求出点P坐标，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点D做DP⊥y轴于点P，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE．
又∵DP⊥y轴，∠AOE=90°，
∴∠DPE=∠AEO．
∵在△PDE与△OAE中，
∠DPE=∠AOE，AE=DE，∠PED=∠OEA，
∴△PDE≌△OAE（AAS），
∴PD=OA，
∵A（﹣1，0），
∴PD=1，
∴D（1，4）．
∵点D在反比例函数图象上，
∴k=xy=1×4=4．
∵点C在反比例函数图象上，C的坐标为（2，b），
∴b==2，
∴a=1，k=4，b=2；
（2）能，点C、D绕点O顺时针旋转180度时，点C′、D′落在y=图象上；
（3）∵由（1）可知k=4，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵点P在y=上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，）．
①当AB为边时，如图1中，若四边形ABPQ为平行四边形，则=0，
解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）．
如图2中，若四边形ABQP是平行四边形时，AP=BQ，且AP∥BQ，
此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）．
②如图3中，当AB为对角线时，AP=BQ，AP∥BQ，
此时P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2），
综上所述，满足条件的P、Q坐标分别为P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．
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