第10章《二元一次方程组》（导图+知识梳理+十一大考点讲练）-2023-2024学年数学七年级下册章节复习讲练测（苏科版）

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2023-2024学年苏科版数学七年级下册章节培优复习知识讲练 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+十一大重点考向举一反三讲练） 1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；毛 2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法； 3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解； 4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用； 5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 知识点01：二元一次方程组的相关概念 【高频考点精讲】 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点02：二元一次方程组的解法 【高频考点精讲】 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【易错点剖析】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【易错点剖析】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 知识点03：实际问题与二元一次方程组 【高频考点精讲】 【易错点剖析】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点04：三元一次方程组 【高频考点精讲】 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 重点考向01：二元一次方程的解 重点考向02：解二元一次方程 重点考向03：由实际问题抽象出二元一次方程 重点考向04：二元一次方程的应用 重点考向05：二元一次方程组的解 重点考向06：解二元一次方程组 重点考向07：由实际问题抽象出二元一次方程组 重点考向08：二元一次方程组的应用 重点考向09：同解方程组 重点考向10：解三元一次方程组 重点考向11：三元一次方程组的应用 重点考向01：二元一次方程的解 【典例精讲】（2023秋•太湖县期末）已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　． 【思路点拨】该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，再分别令3+2m＝0和m﹣2＝0时求解方程即可． 【规范解答】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9， 当3+2m＝0时，解得m＝﹣， 将m＝﹣代入方程得，0×x+（﹣﹣2）y＝﹣﹣9， 解得y＝3； 当m﹣2＝0时，解得m＝2， 将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9， 解得x＝﹣1， ∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能准确理解题意并能用特殊值法求解． 【变式训练1-1】（2022秋•茂名期末）若是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝　7　． 【思路点拨】把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a和b的方程，再根据系数的关系来求解． 【规范解答】解：把代入方程3x+y＝1，得 3a+b＝1， 所以9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7， 即9a+3b+4的值为7． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，注意运用整体代入的思想． 【变式训练1-2】（（2023春•汝南县期末）定义：把ax+y＝b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“优美二元一次方程”．当y＝2x时，“优美二元一次方程ax+y＝b”中x的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”．例如：当y＝2x时，“优美二元一次方程”3x﹣y＝4化为3x﹣2x＝4，解得：x＝4，故其“优美值”为4． （1）求“优美二元一次方程”5x﹣y＝1的“优美值”； （2）若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3，求m的值； （3）是否存在n，使得优美二元一次方程与优美二元一次方程4x﹣y＝n﹣2的“优美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“优美值”；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）令y＝2x，则“优美二元一次方程”5x﹣y＝1化为：5x﹣2x＝1，解方程即可求解； （2）令y＝2x，则“优美二元一次方程”化为：，将把x＝﹣3代入，即可求解； （3）令y＝2x，则“优美二元一次方程”化为：，令y＝2x，则“优美二元一次方程”4x﹣y＝n﹣2化为：4x﹣2x＝n﹣2，根据“优美值”相同，列出关于n的一元一次方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：（1）令y＝2x，则“优美二元一次方程”5x﹣y＝1化为：5x﹣2x＝1，， 其“优美值”为． （2）令y＝2x，则“优美二元一次方程”化为：， 把x＝﹣3代入，得m＝﹣7． （3）令y＝2x，则“优美二元一次方程”化为：，， 其“优美值”为． 令y＝2x，则“优美二元一次方程”4x﹣y＝n﹣2化为：4x﹣2x＝n﹣2，， 其“优美值”为． 假设“优美值”相同， ∴， ∴， ∴即“优美值”为． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 重点考向02：解二元一次方程 【典例精讲】（2023春•官渡区期末）把方程2x﹣y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C． D． 【思路点拨】把x看作已知数求出y即可． 【规范解答】解：方程2x﹣y＝3， 解得：y＝2x﹣3． 故选：B． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练2-1】（2023春•上虞区期末）将方程y﹣3x＝5变形成用含有x的代数式表示y，则y＝　3x+5　． 【思路点拨】将含有x的项移到等号右边即可． 【规范解答】解：∵y﹣3x＝5， ∴y＝3x+5， 故答案为：3x+5． 【考点评析】本题主要考查了移项，解题的关键是掌握移项要变号． 【变式训练2-2】（2020春•昌平区期末）在关于x、y的二元一次方程y＝kx+b中，当x＝2时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝9． （1）求k、b的值； （2）当x＝5时，求y的值． 【思路点拨】（1）把已知x、y的对应值代入二元一次方程y＝kx+b中，求出k、b的值即可； （2）根据（1）中k、b的值得出关于x、y的二元一次方程，把x＝5代入该方程求出y的值． 【规范解答】解：（1）由题意，得， 解得 ； （2）把代入y＝kx+b，得y＝﹣2x+7． 当x＝5时，y＝﹣2×5+7＝﹣10+7＝﹣3． 【考点评析】本题考查的是解二元一次方程，先根据题意得出k、b的值是解答此题的关键． 重点考向03：由实际问题抽象出二元一次方程 【典例精讲】（2022秋•临县期末）习题：甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据小红列出的方程可知，小红设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为（3.3﹣x﹣y）km，因此从乙地到甲地上坡为（3.3﹣x﹣y）km，平路为ykm，则下坡为xkm，根据从乙地到甲地需53min，列出方程即可． 【规范解答】解：∵小红列的方程为， ∴小红是设从甲地到乙地上坡为xkm，平路为ykm，下坡为（3.3﹣x﹣y）km， ∴从乙地到甲地上坡为（3.3﹣x﹣y）km，平路为ykm，则下坡为xkm， ∵从乙地到甲地需53min， ∴可以列方程为：，故C正确． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出x、y表示的意义，找出等量关系，是解题的关键． 【变式训练3-1】（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？ 【思路点拨】设篮球的原价为x元，排球的原价为y元，根据“按九折和八折共付款363元，两种商品原销售价之和为420元”列方程组，求解即可． 【规范解答】解：设篮球的原价为x元，排球的原价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：篮球的原价为270元，排球的原价为150元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键． 【变式训练3-2】（2023春•阳泉期末）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳3尺（1尺≈33.33厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳2尺，问绳长、井深各是多少尺？”若设绳长为x尺，井深为y尺，可列一个方程为，则另一个方程为 　x＝y+2　． 【思路点拨】设绳长x尺，井深y尺，根据将绳子折成四等份，井外余绳3尺，可得方程x＝y+3，根据将绳子折成五等份，井外余绳2尺，可得方程x＝y+2，本题得以解决． 【规范解答】解：设绳长x尺，井深y尺， 根据将绳子折成五等份，井外余绳2尺，则另一个方程为x＝y+2． 故答案为：x＝y+2． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题目中的等量关系，列出相应的方程组． 【变式训练3-3】（2021春•泰兴市期中）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容五鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳5头鹿，求所需圈舍的间数．设小圈舍的间数是x间，大圈舍的间数是y间，则可列方程为 　4x+5y＝60　． 【思路点拨】根据这些圈舍共容纳60头鹿，即可得出关于x，y的二元一次方程． 【规范解答】解：依题意得：4x+5y＝60． 故答案为：4x+5y＝60． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及函数关系式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 重点考向04：二元一次方程的应用 【典例精讲】（2022秋•城口县校级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】设原两位数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），个位数字为b（1≤b≤9，且b为整数），则原两位数可表示为10a+b，新两位数可表示为10b+a，根据题意得出10b+a﹣（10a+b）＝45，整理得b﹣a＝5，再进一步求解即可． 【规范解答】解：设原两位数的十位数字为a（1≤a≤9，且a为整数），个位数字为b（1≤b≤9，且b为整数）， 则原两位数可表示为10a+b，新两位数可表示为10b+a， 根据题意，得：10b+a﹣（10a+b）＝45， 整理，得：b﹣a＝5， 当b＝9时，a＝4，此时两位数为49， 当b＝8时，a＝3，此时两位数为38， 当b＝7时，a＝2，此时两位数为27， 当b＝6时，a＝1，此时两位数为16， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据新两位数比原两位数大45列出相应的二元一次方程． 【变式训练4-1】（2024•长沙模拟）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）． （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值． 【思路点拨】（1）根据题意设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，列出方程组解答即可； （2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，解得 m＝19 或 m＝10，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．确定m值即可． 【规范解答】解：（1）设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元， 由题意可得，， 解得： 答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元； （2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280， 解得 m＝19 或 m＝10， ， ∴， ∴m＝10． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理顺销售总额包含的各项收入是关键． 【变式训练4-2】（2023春•德化县期中）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为（5x+4y）克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． （1）若y＝3，求天平处于平衡状态时x的值． （2）若一个二元一次方程的解，m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程m+n＝2的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值． （3）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用． 【思路点拨】（1）由题意得5x+4y＝2×15，再代入y＝3得5x+4×3＝30，即可得出结论； （2）由题意得5x+4y＝30，求出正整数解即可； （3）设笔记本的单价为x元，圆珠笔的单价为y元，根据购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）由题意得：5x+4y＝2×15， ∵y＝3， ∴5x+4×3＝30， 解得：x＝3.6， 即y＝3，天平处于平衡状态时x的值为3.6； （2）由题意得：5x+4y＝2×15， 即5x+4y＝30， 整理得：x＝6﹣y， ∵x，y为正整数， ∴； （3）设笔记本的单价为x元，圆珠笔的单价为y元， 由题意得：5x+8y＝120， 整理得：x＝24﹣y， ∵x、y为正整数， ∴或， 当x＝16，y＝5时，4x+5y＝4×16+5×5＝89； 当x＝8，y＝10时，4x+5y＝4×8+5×10＝82； 答：购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为89元或82元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 重点考向05：二元一次方程组的解 【典例精讲】（2023秋•金寨县期末）若方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【思路点拨】将3x﹣y＝7和2x+y＝8组成方程组求出x、y的值，再将分别代入ax+y＝b和x+by＝a求出a、b的值． 【规范解答】解：将3x﹣y＝7和2x+y＝8组成方程组得，， 解得，， 将分别代入ax+y＝b和x+by＝a得，， 解得． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解，将x、y的值代入，转化为关于a、b的方程组是解题的关键． 【变式训练5-1】（2022秋•景德镇期末）阅读材料，回答下列问题： 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y 　是　（填写“是”或“不是”）具有“邻好关系”？ （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【思路点拨】（1）由方程组中x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1，说明该方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，即该方程组的解x与y具有“邻好关系”； （2）利用原方程组变形得：x﹣y＝5﹣m，再根据“邻好关系”的定义，即得出5﹣m＝±1，解出m的值即可． 【规范解答】解：（1）∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1． ∴方程组的解x，y具有“邻好关系”， 故答案为：是； （2）方程组， ②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m， 把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4， ∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m． ∵方程组的解x，y具有“邻好关系”， ∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1， ∴m＝6或m＝4． 【考点评析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． 【变式训练5-2】（2023春•朝阳区校级期中）如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣28＝a的一个解，那么a的值是　2　． 【思路点拨】根据二元一次方程组的解法，用含a的式子表示出x和y；将其代入二元一次方程，求出a的值即可． 【规范解答】解： ①+②，得：2x＝5a，解得：x＝2.5a， 将x＝2.5a代入①，得：y＝﹣1.5a， 把x＝2.5a，y＝﹣1.5a代入3x﹣5y﹣28＝a， 得：7.5a+7.5a﹣28＝a，解得：a＝2， 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查二元一次方程的解、解二元一次方程组．能够利用二元一次方程组的解法，用含a的式子表示出x和y是解决此题的关键． 重点考向06：解二元一次方程组 【典例精讲】（2023春•湘潭县期末）用加减法解方程组，下列解法正确的是（　　） A．①×2+②×3消去y B．①×3﹣②×2消去y C．①×3+②×2消去x D．①×2+②×3消去x 【思路点拨】根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、①×2+②×3，能消去y，故A选项正确，符合题意； B、①×3﹣②×2，不能消去y，故B选项不正确，不符合题意； C、①×3+②×2，不能消去x，故C选项不正确，不符合题意； D、①×2+②×3，不能消去x，故D选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法，用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 【变式训练6-1】（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且1※2＝5，2※1＝3，则2※3＝　11　． 【思路点拨】由已知条件，根据所给定义可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意，得：， 解得：， 则x※y＝x+y2， ∴2※3＝2+32＝11， 故答案为：11． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练6-2】（2022秋•中原区校级期末）若|a﹣b+1|与（a+b﹣3）2互为相反数，则（a﹣b）2019的值为 　﹣1　． 【思路点拨】由题意可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，然后可以得解． 【规范解答】解：由题意，得|a﹣b+1|+（a+b﹣3）2＝0， ∴， 解得：a＝1，b＝2， ∴（a﹣b）2019＝（1﹣2）2019＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、相反数的定义及绝对值和平方数的非负性是解题的关键． 【变式训练6-3】（2023春•泉州期末）已知：关于x，y的方程组． （1）若x＝y，求a的值． （2）不论a取何值时，试说明x+y的值不变． （3）若x＜m＜y，且整数m只能有两个，求这两个整数． 【思路点拨】（1）把a看作已知数表示出x与y，根据x＝y求出a的值即可； （2）把表示出的x与y代入x+y化简即可作出判断； （3）把表示出的x与y代入已知不等式求出m的范围，确定出整数m即可． 【规范解答】解：， ①﹣②得：8y＝8a﹣16， 解得：y＝a﹣2， 把y＝a﹣2代入①得：x+3（a﹣2）＝2a﹣1， 解得：x＝﹣a+5， （1）∵x＝y， ∴﹣a+5＝a﹣2， 解得：a＝； （2）∵x+y＝﹣a+5+a﹣2＝3， 则x+y的值不变； （3）∵y＝a﹣2，x＝﹣a+5， 若x＜m＜y，且整数m只能有两个， ∴， ∴a＞， 当a＝4时，＜m＜，不合题意， 当a＝5时，0＜m＜13，不合题意， 当a＝6时，﹣0.5＜m＜，m的整数解为：0和1， 当a＝7时，﹣1＜m＜1，m的整数解为：0和1， ∴整数m的值为：0和1． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解，把字母看成常数是解题的关键． 重点考向07：由实际问题抽象出二元一次方程组 【典例精讲】（2023秋•西安期末）列方程组解古算题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人共同购买一件物品，每人出8钱，余3钱；每人出7钱，缺4钱．设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【规范解答】解：设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为， 故选：A． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【变式训练7-1】（2023春•馆陶县期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． （1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：　　． （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【思路点拨】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组，再解方程组即可； 【规范解答】解：（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天， 则， 故答案为：； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩， 则， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩． 【考点评析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 【变式训练7-2】（2023春•杜尔伯特县期末）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． （1）求篮球和排球的单价各是多少； （2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？ 【思路点拨】（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，根据买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元，列方程组求解即可得到答案； （2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案． 【规范解答】解：（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个90元，排球每个65元； （2）若按照①套餐打折购买费用为：2（5×90+5×65）×0.8+4×90+2×65＝1730（元）， 若参加②满减活动购买费用为：14×90+12×65＝2040（元）， 又2040＞1999， 所以2040﹣200＝1840（元）． 而1840＞1730，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 答：选用套餐①购买更划算． 【考点评析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 【变式训练7-3】（2023春•澄迈县期末）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长为350米的河边道路整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：； 乙：； 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示 　A工程队工作的天数　，y表示 　B工程队工作的天数　； 乙：x表示 　A工程队整治的河道长度　，y表示 　B工程队整治的河道长度　； （2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【思路点拨】（1）根据题意可得甲：x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数；乙：x表示A工程队整治的河道长度，y表示B工程队整治的河道长度； （2）解甲的方程组可得x，y的值，进而可得A，B两工程队分别整治河道的米数． 【规范解答】解：（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可知， 甲：x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数； 乙：x表示A工程队整治的河道长度，y表示B工程队整治的河道长度； 故答案为：A工程队工作的天数，B工程队工作的天数；A工程队整治的河道长度，B工程队整治的河道长度； （2）若解甲的方程组， 得：， ∴15x＝150，10y＝200， 答：A、B两工程队分别整治河道150米和200米． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 重点考向08：二元一次方程组的应用 【典例精讲】（2023秋•临邑县期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”则鸡和兔的只数分别为（　　） A．22和13 B．23和12 C．24和15 D．23和22 【思路点拨】设鸡有x只，兔有y只，由题意：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 由题意得：， 解得：， 即鸡有23只，兔有12只， 故选：B． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练8-1】（2023秋•梁山县期末）如图，将三个相同的长方形沿着“横﹣竖﹣横”的顺序排列在一个边长分别为5cm，4cm的长方形中，则图中空白部分的面积为 　14cm2　． 【思路点拨】由图形可看出：小长方形的2个长加1个宽等于大长方形的长，设小长方形的长为x cm，则宽为（5﹣2x）cm，依据小长方形的2个宽加1个长等于大长方形的宽列出方程求解，最后用大长方形的面积减去3个小长方形的面积即可得答案． 【规范解答】解：设小长方形的长为x cm，则宽为（5﹣2x）cm， 依题意可得：x+2（5﹣2x）＝4， 解得：x＝2， 则5﹣2x＝1， 故：小长方形的长为2cm，则宽为1cm， 则空白部分的面积为：4×5﹣3×2×1＝14（cm2）， 故答案为：14cm2． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的应用；解题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程． 【变式训练8-2】（2024•雁塔区校级二模）腊味食品深受广大群众的喜爱．春节期间，某单位打算为员工购买腊肉和香肠作为新年福利．该单位花费39000元购买了200袋腊肉，100袋香肠，已知5袋腊肉和4袋香肠的售价相同，求每袋腊肉和香肠的售价分别是多少元？ 【思路点拨】设每袋腊肉的价格为x元，每袋香肠的价格为y元，根据等量关系列出方程组，并解方程组即可． 【规范解答】解：设每袋腊肉的价格为x元，每袋香肠的价格为y元， 根据题意得， 解得， 答：每袋腊肉的价格为100元，每袋香肠的价格为150元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【变式训练8-3】（2024•仓山区校级开学）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精200瓶，消毒液300瓶，花费2600元；第二次购买酒精100瓶，消毒液200瓶，花费1500元． （1）求酒精和消毒液的价格． （2）若按照酒精和消毒液的原价再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？ 【思路点拨】（1）设酒精x元/瓶，消毒液y元/瓶，根据总价＝单价×数量，结合两次购买所花费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过2000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设酒精x元/瓶，消毒液y元/瓶， 依题意得：， 解得：． 答：酒精7元/瓶，消毒液4元/瓶． （2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶， 依题意得：7×2m+4m≤2000， 解得：m≤． 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值111． 答：最多能购买消毒液111瓶． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 重点考向09：同解方程组 【典例精讲】（2021春•平凉期末）已知方程组与方程组的解相同，则a，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先求出第二个方程组的解，把代入方程组得出，再求出方程组的解即可． 【规范解答】解：解方程组得：， ∵方程组与方程组的解相同， ∴把代入方程组得：， 解得：， 故选：C． 【考点评析】本题考查了同解方程组和解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键． 【变式训练9-1】（2022•济南二模）已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 　5　． 【思路点拨】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可． 【规范解答】解：解方程组， 得， 代入x+y+m＝0得，m＝5． 【考点评析】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解． 【变式训练9-2】（2013秋•岳麓区校级期末）若二元一次方程组和同解，则可通过解方程组 　　求得这个解． 【思路点拨】因为两方程组有相同的解，所以可根据题意列出关于x，y的方程组，解出x，y的值． 【规范解答】解：因为两方程组有相同的解，所以方程组的解必然适合两方程组． 【考点评析】给出的两个方程组里有四个方程，但总的来说要有2个方程是只含有2个相同未知数的，应先找到，组成方程组求解． 【变式训练9-3】（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值． 【思路点拨】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【规范解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为 ， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8． 【考点评析】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题． 重点考向10：解三元一次方程组 【典例精讲】（2023春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案． 【规范解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选D． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．本题侧重考查知识点的记忆能力．学生在日常学习中应从以下1个方向（【数学抽象】）培养对知识点的记忆能力． 【变式训练10-1】（2023秋•锦江区校级期中）已知方程组的解x和y的和等于6，k＝　　． 【思路点拨】先把x+y＝6代入所求方程组得到关于k、y的方程组，再由解二元一次方程的方法求出k的值即可． 【规范解答】解：将x+y＝6代入到方程组中， 原方程组可化为，即， 解得k＝． 【考点评析】此题有一定的技巧性，解答此题的关键是把x+y＝6当做一个整体代入所求方程组，再用代入消元法或加减消元法求解即可． 【变式训练10-2】（2023春•黄岩区期末）已知a，b，c是非负整数，且同时满足a+b+2c＝50，a﹣b﹣c＝10，则a+b﹣4c＝　26或50　． 【思路点拨】将式子整理为a﹣3b﹣3c＝30设为①，式子a+b+2c＝50为②，由②﹣①得4b+5c＝20，当b＝5﹣时，又a，b，c是非负整数，c＝4，b＝0，根据a+b+2c＝50得a＝42，计算得a+b﹣4c＝26，或当c＝4﹣时，b＝5，c＝0，计算得a＝45，则a+b﹣4c＝50． 【规范解答】解：由式子得：a﹣3b﹣3c＝30①， 设a+b+2c＝50为②， 由②﹣①得：4b+5c＝20， ∴b＝5﹣或c＝4﹣． ∵a，b，c是非负整数， ∴c＝4，b＝0或b＝5，c＝0． ∵a+b+2c＝50． ∴a＝42或a＝45． ∵a＝42，b＝0，c＝4或a＝45，b＝5，c＝0， ∴a+b﹣4c＝42+0﹣16＝26或a+b﹣4c＝45+5﹣0＝50． 故答案为：26或50． 【考点评析】本题考查了数的运算和分类讨论思想，解题的关键点根据a，b，c是非负整数讨论其取值． 【变式训练10-3】（2023春•德宏州期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出矩阵对应的方程组的解； （2）若矩阵所对应的方程组的解为，求a+b+c的值． 【思路点拨】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①+②+③得，a+b+c＝13． 【规范解答】解：（1）由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， ∴矩阵对应的方程组的解为； （2）∵矩阵所对应的方程组的解为， ∴将代入， 得， ①+②+③得，a+b+c＝13． 【考点评析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 重点考向11：三元一次方程组的应用 【典例精讲】（2023春•涟源市月考）如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以a+x，b+x构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（　　） A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm 【思路点拨】根据两个图形分别可得a+x＝b+90，b+x＝a+60，联立方程组求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， ①+②得：a+b+2x＝a+b+150， 解得：x＝75， 故选：B． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【变式训练11-1】（2023春•邓州市期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm，则桌子的高度等于 　85　cm． 【思路点拨】根据“按图①所示的方式放置，图示距离为110cm”和“图②所示的方式放置，图示距离为60cm”列方程组求解． 【规范解答】解：设桌子的高度为x cm，长方体木块的长为a cm，宽为b cm， 则：， ①+②得：2x＝170， 解得：x＝85， 故答案为：85． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 【变式训练11-2】（2023春•浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销A、B两种商品．A、B两种商品的进货单价之和为5元；A商品零售价比进货单价多1元，B商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买A商品3件和B商品2件，共19元．你知道A、B两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 【思路点拨】（1）设A商品进货价x元，B商品进货价y元，则A商品零售价为（x+1）元，B商品零售价为（2y﹣1）元，利用A、B两种商品的进货单价之和为5元得到x+y＝5；利用零售价购买A商品3件和B商品2件，共19元得3（x+1）+2（2y﹣1）＝19，然后组成二元一次方程组，再解方程组即可； （2）设甲商品售价为a元，乙商品售价为b元，丙商品售价为c元，利用题意列方程组，然后利用加减法计算a+b+c的值即可． 【规范解答】解：（1）设A商品进货价x元，B商品进货价y元， 根据题意得， 解得． 答：A、B两种商品的进货单价分别为2元，3元； （2）设甲商品售价为a元，乙商品售价为b元，丙商品售价为c元， 根据题意得， ①﹣②得2a+4b＝2，则a+2b＝1③， ②﹣③得a+b+c＝5． 答：小明那天带了5元钱． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组：在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 【变式训练11-3】（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值． （1）小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝　3﹣2z　； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝　z+1　，∴x+y+z＝4． 第5页（共6页） 小仑的方法：①+②：　5x+5y+5z＝20　③；∴　③÷5　得：x+y+z＝4． （2）已知，试求解x+y+z的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【思路点拨】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解； （2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解； （3）依据题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，从而，变形可得2x+3y+z＝3.2，进而可得200x+300y+100z，故可得解． 【规范解答】解：（1）由题意，小北的方法：②×3﹣①×2，整理可得：y＝3﹣2z； ①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1， ∴x+y+z＝4． 小仑的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③； ∴③÷5得：x+y+z＝4． 故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5． （2）由题意，， ∴①×3+②，整理得：z＝6﹣2x； ①+②×2，整理得，y＝x﹣3， ∴x+y+z＝3． （3）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元， 可得方程组， ∴②﹣①得，3y＝1.2， ∴y＝0.4． 又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2． ∴2x+3y+z＝3.2． ∴200x+300y+100z＝320． 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元． 【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用 豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230