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初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课后复习题
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这是一份初中数学人教版九年级上册21.2 解一元二次方程综合与测试课后复习题，共8页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程x2+，关于x的一元二次方程，定义运算，定义新运算“a*b”，关于x的方程kx2﹣等内容，欢迎下载使用。
根的判别式
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1B．﹣C．0D．1
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
3．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）﹣p2＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．条件不足，无法计算
6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．kB．k且k≠0C．k且k≠0D．k
7．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
8．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
10．关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），下列说法：①当k＝1时，该方程的实数根为x＝2；②x＝1是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③
二．填空题（共4小题）
11．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
13．已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 ．
14．对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．如果关于x的方程（a※x）※x＝有两个相等的实数根，则实数a的值 ．
三．解答题（共4小题）
15．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求a的值及方程的根．
16．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
17．已知：关于x的方程mx2﹣4x+1＝0（m≠0）有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的根为有理数，求正整数m的值．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0．
（1）若x＝1是方程的一个解，写出a、b满足的关系式；
（2）当b＝a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：，
选：A．
2．解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
选：A．
3．解：∵x2﹣3x+6＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根，
即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，
选：D．
4．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
选：A．
5．解：原方程整理为：x2﹣2x﹣（3+p2）＝0，
∵△＝（﹣2）2+4（3+p2）＝16+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
选：C．
7．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵△＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选：D．
8．解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
选：A．
9．解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选：C．
10．解：关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），
①当k＝1时，方程即为x2﹣3x+2＝0，则x＝1或2，故说法①错误，不符合题意；
②把x＝1代入方程，左边＝k﹣（2k+1）+k+1＝0，右边＝0，左边＝右边，所以x＝1是该方程的实数根，
故说法②正确，符合题意；
③∵k为非零常数，
∴kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0是关于x的一元二次方程，
∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+1）＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故说法③正确，符合题意；
选：B．
二．填空题（共4小题）
11．解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．
所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
12．解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，
解得m＜，
故答案为m＜．
13．解：∵方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，
∴△＝0，
即（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）＝0，
c2﹣（a2﹣b2）＝0，
c2﹣a2+b2＝0，
c2+b2＝a2，
∴△ABC的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
14．解：∵a※x＝ax+x，
（ax+x）※x＝（ax+x）x+x，
∵（a※x）※x＝，
∴（ax+x）x+x＝，
整理得（a+1）x2+x﹣＝0，
根据题意得a+1≠0且△＝12﹣4（a+1）×（﹣）＝0，
∴a＝﹣．
故答案为﹣．
三．解答题（共4小题）
15．解：（1）当a≠0时，是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴△＝22﹣4×（﹣3）a＝4+12a≥0，
∴a≥﹣；
当a＝0时，2x﹣3＝0是一元一次方程，有实数根．
∴a的取值范围为a≥﹣；
（2）根据题意得△＝22﹣4×（﹣3）a＝0，
解得 a＝﹣，
原方程变形为﹣x2+2x﹣3＝0，
所以x1＝x2＝3．
16．（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
17．解：（1）∵m≠0，
∴关于x的方程mx2﹣4x+1＝0为一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×m×1＝16﹣4m≥0，
解得：m≤4．
∴m的取值范围是m≤4且m≠0．
（2）∵m为正整数，
∴m可取1，2，3，4．
当m＝1时，△＝16﹣4m＝12；当m＝2时，△＝16﹣4m＝8；当m＝3时，△＝16﹣4m＝4；当m＝4时，△＝16﹣4m＝0．
∵方程为有理根，
∴m＝3或m＝4．
18．解：（1）若x＝1是方程的一个解，则a（1）2+b（1）+＝0，
解得：a+b＝﹣；
（2）△＝b2﹣4a×＝b2﹣2a，
∵b＝a+1，
∴△＝（a+1）2﹣2a
＝a2+2a+1﹣2a
＝a2+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
根的判别式
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（ ）
A．﹣1B．﹣C．0D．1
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
3．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）﹣p2＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．条件不足，无法计算
6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．kB．k且k≠0C．k且k≠0D．k
7．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
8．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
10．关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），下列说法：①当k＝1时，该方程的实数根为x＝2；②x＝1是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③
二．填空题（共4小题）
11．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
13．已知a、b、c为△ABC的三边长，且方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是 ．
14．对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn+n．如果关于x的方程（a※x）※x＝有两个相等的实数根，则实数a的值 ．
三．解答题（共4小题）
15．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求a的值及方程的根．
16．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
17．已知：关于x的方程mx2﹣4x+1＝0（m≠0）有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的根为有理数，求正整数m的值．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0．
（1）若x＝1是方程的一个解，写出a、b满足的关系式；
（2）当b＝a+1时，利用根的判别式判断方程根的情况．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：，
选：A．
2．解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
选：A．
3．解：∵x2﹣3x+6＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根，
即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，
选：D．
4．解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
选：A．
5．解：原方程整理为：x2﹣2x﹣（3+p2）＝0，
∵△＝（﹣2）2+4（3+p2）＝16+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
选：C．
7．解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，
∵△＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选：D．
8．解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
选：A．
9．解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选：C．
10．解：关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0（k为非零常数），
①当k＝1时，方程即为x2﹣3x+2＝0，则x＝1或2，故说法①错误，不符合题意；
②把x＝1代入方程，左边＝k﹣（2k+1）+k+1＝0，右边＝0，左边＝右边，所以x＝1是该方程的实数根，
故说法②正确，符合题意；
③∵k为非零常数，
∴kx2﹣（2k+1）x+k+1＝0是关于x的一元二次方程，
∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4k（k+1）＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故说法③正确，符合题意；
选：B．
二．填空题（共4小题）
11．解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．
所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．
故答案为：13．
12．解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，
解得m＜，
故答案为m＜．
13．解：∵方程（a+b）x2﹣2cx+a＝b有两个相等的实数根，
∴△＝0，
即（﹣2c）2﹣4（a+b）（a﹣b）＝0，
c2﹣（a2﹣b2）＝0，
c2﹣a2+b2＝0，
c2+b2＝a2，
∴△ABC的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
14．解：∵a※x＝ax+x，
（ax+x）※x＝（ax+x）x+x，
∵（a※x）※x＝，
∴（ax+x）x+x＝，
整理得（a+1）x2+x﹣＝0，
根据题意得a+1≠0且△＝12﹣4（a+1）×（﹣）＝0，
∴a＝﹣．
故答案为﹣．
三．解答题（共4小题）
15．解：（1）当a≠0时，是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴△＝22﹣4×（﹣3）a＝4+12a≥0，
∴a≥﹣；
当a＝0时，2x﹣3＝0是一元一次方程，有实数根．
∴a的取值范围为a≥﹣；
（2）根据题意得△＝22﹣4×（﹣3）a＝0，
解得 a＝﹣，
原方程变形为﹣x2+2x﹣3＝0，
所以x1＝x2＝3．
16．（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
17．解：（1）∵m≠0，
∴关于x的方程mx2﹣4x+1＝0为一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×m×1＝16﹣4m≥0，
解得：m≤4．
∴m的取值范围是m≤4且m≠0．
（2）∵m为正整数，
∴m可取1，2，3，4．
当m＝1时，△＝16﹣4m＝12；当m＝2时，△＝16﹣4m＝8；当m＝3时，△＝16﹣4m＝4；当m＝4时，△＝16﹣4m＝0．
∵方程为有理根，
∴m＝3或m＝4．
18．解：（1）若x＝1是方程的一个解，则a（1）2+b（1）+＝0，
解得：a+b＝﹣；
（2）△＝b2﹣4a×＝b2﹣2a，
∵b＝a+1，
∴△＝（a+1）2﹣2a
＝a2+2a+1﹣2a
＝a2+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
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