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北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精品课件ppt
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精品课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，所有元素，常见词语的否定，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑进行分析了.
一、全称量词与全称量词命题1.全称量词命题:在给定集合中,断言 都具有同一性质的命题叫作全称量词命题. 2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“ ”表示,读作“对任意的”. 名师点析1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定.2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”.
微练习给出下列命题:①有的质数是偶数;②在平面内与同一直线所成角相等的两条直线平行;③存在一个三角形三个内角都相等;④对于实数a,b,|a-1|+|b-1|>0.其中是全称量词命题的为 ,是存在量词命题的为 ,真命题为 .(填序号)
二、存在量词与存在量词命题1.存在量词命题:在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.2.存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“∃”表示,读作“存在”.名师点析1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”.3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
微思考如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假?
提示:(1)存在量词命题的真假判断①要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.②要判定一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.(2)全称量词命题的真假判断①要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;②要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定1.全称量词命题的否定全称量词命题的否定是存在量词命题.对于全称量词命题p:∀x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∃x∈M,x不具有性质p(x).2.存在量词命题的否定存在量词命题的否定是全称量词命题.对于存在量词命题p:∃x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∀x∈M,x不具有性质p(x).
名师点析1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到.2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词.
微练习(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 .
∃x∈Z,4x-1不是奇数
全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)有些素数的和仍是素数;(2)自然数的平方是正数.
解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号) ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.
全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假.(1)∃x∈Z,x3<1;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)∀x∈N,x2>0.
解:(1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题.(2)这是存在量词命题.是真命题,如梯形是四边形,不是平行四边形.(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题.
反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.
解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
全称量词命题与存在量词命题的否定例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x, >x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
解:(1)命题p的否定“存在正数x,使 ≤x-1”.(2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”.(3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”.(4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”.
反思感悟 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
∴命题p的否定是假命题.(2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题.(3)命题r的否定“∀x∈R,x2+3x+7>0”,是真命题.
∴命题r的否定是真命题.(4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+1≠0”,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题s的否定是假命题.
根据命题的真假求参数的取值范围例4已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.
解:因为全称量词命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2+ax+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或aymax(或ay(或aymin(或a
解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].(2)因为全称量词命题“∀x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x>0,x2+ax+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,
解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).
哥德巴赫猜想 1742年,哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,然而一直到死,欧拉也无法证明. 如今数学界已经不使用“1也是素数”这个规定,哥德巴赫猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和.(n>5:当n为偶数,n=2+(n-2),n-2也是偶数,可以分解为两个质数的和;当n为奇数,n=3+(n-3),n-3也是偶数,可以分解为两个质数的和.)欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a的个数与另一个素因子不超过b的个数之和”记作“a+b”.1966年陈景润证明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和”.
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”. 从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的.2013年5月,巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想.
1.(2020四川眉山高一检测)已知命题p:有的三角形是等边三角形,则命题p的否定是( )A.有的三角形不是等边三角形B.有的三角形是不等边三角形C.所有的三角形都是等边三角形D.所有的三角形都不是等边三角形
答案:D 解析:原命题是存在量词命题,先改变量词,再否定结论.
2.已知命题p:∀x∈R,x>a2+b2,则命题p的否定是( )A.∃x∈R,x
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑进行分析了.
一、全称量词与全称量词命题1.全称量词命题:在给定集合中,断言 都具有同一性质的命题叫作全称量词命题. 2.全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“ ”表示,读作“对任意的”. 名师点析1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定.2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”.
微练习给出下列命题:①有的质数是偶数;②在平面内与同一直线所成角相等的两条直线平行;③存在一个三角形三个内角都相等;④对于实数a,b,|a-1|+|b-1|>0.其中是全称量词命题的为 ,是存在量词命题的为 ,真命题为 .(填序号)
二、存在量词与存在量词命题1.存在量词命题:在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.2.存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“∃”表示,读作“存在”.名师点析1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”.3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
微思考如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假?
提示:(1)存在量词命题的真假判断①要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.②要判定一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.(2)全称量词命题的真假判断①要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;②要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定1.全称量词命题的否定全称量词命题的否定是存在量词命题.对于全称量词命题p:∀x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∃x∈M,x不具有性质p(x).2.存在量词命题的否定存在量词命题的否定是全称量词命题.对于存在量词命题p:∃x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∀x∈M,x不具有性质p(x).
名师点析1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到.2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词.
微练习(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 .
∃x∈Z,4x-1不是奇数
全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题.(1)有些素数的和仍是素数;(2)自然数的平方是正数.
解:因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题.综上所述:(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题.
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号) ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.
全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假.(1)∃x∈Z,x3<1;(2)存在一个四边形不是平行四边形;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)∀x∈N,x2>0.
解:(1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题.(2)这是存在量词命题.是真命题,如梯形是四边形,不是平行四边形.(3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.(4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题.
反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.
解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
全称量词命题与存在量词命题的否定例3写出下列各命题的否定.(1)p:对任意的正数x, >x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;(4)s:有些质数是奇数.分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
解:(1)命题p的否定“存在正数x,使 ≤x-1”.(2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”.(3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”.(4)命题s的否定“所有的质数都不是奇数”.
反思感悟 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:∀x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
∴命题p的否定是假命题.(2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题.(3)命题r的否定“∀x∈R,x2+3x+7>0”,是真命题.
∴命题r的否定是真命题.(4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+1≠0”,是假命题.∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题s的否定是假命题.
根据命题的真假求参数的取值范围例4已知命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.
解:因为全称量词命题“∀x∈R,x2+ax+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2+ax+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2.所以实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a
解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].(2)因为全称量词命题“∀x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x>0,x2+ax+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于y=x2+ax+1是开口向上的抛物线,
解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).
哥德巴赫猜想 1742年,哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,然而一直到死,欧拉也无法证明. 如今数学界已经不使用“1也是素数”这个规定,哥德巴赫猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和.(n>5:当n为偶数,n=2+(n-2),n-2也是偶数,可以分解为两个质数的和;当n为奇数,n=3+(n-3),n-3也是偶数,可以分解为两个质数的和.)欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a的个数与另一个素因子不超过b的个数之和”记作“a+b”.1966年陈景润证明了“1+2”成立,即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和”.
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”. 从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的.2013年5月,巴黎高等师范学院研究员哈洛德·贺欧夫各特发表了两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想.
1.(2020四川眉山高一检测)已知命题p:有的三角形是等边三角形,则命题p的否定是( )A.有的三角形不是等边三角形B.有的三角形是不等边三角形C.所有的三角形都是等边三角形D.所有的三角形都不是等边三角形
答案:D 解析:原命题是存在量词命题,先改变量词,再否定结论.
2.已知命题p:∀x∈R,x>a2+b2,则命题p的否定是( )A.∃x∈R,x
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