数学必修 第一册2.1 必要条件与充分条件一等奖教案
展开§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
1.命题
(1)命题的定义:可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句.
(2)命题的两种形式:“若p,则q”和“p是q”.
(3)“⇒”的意义:当命题“若p,则q”是真命题时,就说由条件p推出结论q,记作p⇒q.
思考1:命题可以是疑问句吗?
提示:不可以,疑问句不涉及真假,更无法判断真假.
2.必要条件与充分条件
思考2:(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同?
(2)以下五种表述形式:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗?
提示:(1)相同,都是p⇒q (2)等价
3.充要条件
(1)一般地,如果有p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分且必要条件,简称充要条件.
(2)若p⇒q,但qp,则称p是q的充分不必要条件.
(3)若q⇒p,但pq,则称p是q的必要不充分条件.
(4)若pq,且qp,则称p是q的既不充分也不必要条件.
思考3:如果一个命题及其逆命题均成立,那么原命题中的条件是结论的充要条件吗?
提示:是.
1.下列语句是命题的是( )
A.正方形是矩形 B.作直线AB
C.x是整数 D.明天会下雨吗
A [D不是陈述句,B、C无法判断真假.]
2.“同位角相等”是“两直线平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] C
3.使x>1成立的一个充分条件是( )
A.x>0 B.x<0
C.x>2 D.x<2
C [只有x>2⇒x>1,其他选项均不能推出x>1.]
4.如图所示的电路图中,“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件?
[解] 如图(1),闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮.反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
如图(2),闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,若要灯泡B亮,则开关A必须闭合,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.
如图(3),闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件.
如图(4),闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,灯泡B亮也可不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件.
必要条件、充分条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x=1,q:x2=1;
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;
(3)p:a>b,q:ac>bc.
[思路点拨] 求解本题需注意以下两点:
(1)分清条件和结论;
(2)准确判断命题“若p,则q”及其逆命题的真假.
[解] (1)x=1⇒x2=1,但x2=1x=1,故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件.
(3)a>bac>bc,ac>bca>b,故p是q的既不充分也不必要条件.
用定义判断必要条件、充分条件要注意
(1)分清条件与结论;
(2)既要考虑由条件能否推出结论,即充分性;也要考虑由结论能否推出条件,即必要性.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1.指出下列各题中p是q的什么条件
(1)在△ABC中,p:AB=AC,q:∠B=∠C;
(2)p:x=2,q:x>1;
(3)p:a>b,q: eq \f(a,b)>1.
[解] (1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知,p是q的充要条件.
(2)x=2⇒x>1,但x>1x=2,故p是q的充分不必要条件.
(3)当b<0时,由a>b,可得 eq \f(a,b)<1,由 eq \f(a,b)>1,可得a
必要条件、充分条件的应用
[探究问题]
记集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)))))),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)))))),
1.若A⊆B,则p是q的什么条件?A⊇B呢?
提示:若A⊆B,则p是q的充分条件.若A⊇B,则p是q的必要条件.
2.若p是q的充分条件,则集合A与B有何关系?p是q的必要条件呢?
提示:若p是q的充分条件,则A⊆B.若p是q的必要条件,则A⊇B.
【例2】 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
[思路点拨] 从以下两点考虑:
(1)从集合角度认识条件与结论的关系;
(2)由集合之间的包含关系,寻找m满足的条件.
[解] 由p是q的充分不必要条件,得集合{x|-2≤x≤10}是集合{x|1-m≤x≤1+m}的真子集,
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1+m>1-m,1-m<-2,1+m≥10)) ,或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1+m>1-m,1-m≤-2,1+m>10)) ,
解得m≥9.
所以实数m的取值范围是m≥9.
1.把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”,其他条件不变,试求实数m的取值范围.
[解] 由p是q的必要不充分条件,得集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1-m≤x≤1+m))是集合{x|-2≤x≤10}的真子集,
当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1-m≤x≤1+m))=∅,即m<0时,符合题意;
当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1-m≤x≤1+m))≠∅,即m≥0时,
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0,1-m>-2,1+m≤10)) ,或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0,1-m≥-2,1+m<10)) ,
解得0≤m≤3.
综上得,实数m的取值范围是m≤3.
2.本例中,是否存在实数m,使p是q的充要条件,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
[解] 若p是q的充要条件,
则 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1-m≤x≤1+m))= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))-2≤x≤10)),
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1-m=-2,1+m=10)) ,
由于该方程组无解,所以实数m不存在.
利用必要条件与充分条件求参数的取值范围
(1)化简p与q;
(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系;
(3)利用集合之间的关系建立不等式;
(4)解不等式求参数的取值范围.
充要条件的探求与证明
【例3】 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是 eq \f(c,a)<0.
[思路点拨] 从“充分性:条件⇒结论”与“必要性:结论⇒条件”两个方面证明.
[证明] ①必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,所以两根之积小于零,即 eq \f(c,a)<0.
②充分性:由 eq \f(c,a)<0,得ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,设这两个实根分别为x1,x2,由一元二次方程根与系数的关系得x1x2= eq \f(c,a)<0,
所以两根异号.
综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是 eq \f(c,a)<0.
1.数学概念的定义通常是充要条件的形式,既是概念的判断依据,又给出了概念的性质.
2.证明命题条件成立的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
提醒:证明时,要分清条件与结论.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2.求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b+c+d=0.
[证明] 充分性:∵a+b+c+d=0,
∴a×13+b×12+c×1+d=0成立,
故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根.
必要性:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1,∴a+b+c+d=0,综上所述,关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b+c+d=0.
1.必要条件与充分条件的判断方法
(1)定义法:通过判断原命题与其逆命题的真假来判断.这是基本方法.
(2)集合法:利用条件与结论对应的集合之间的关系来判断,这种方法有一定的局限性.
2.必要条件与充分条件的应用
利用必要条件与充分条件可以使问题得到转化,有助于找到解题思路.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(2)q不是p的必要条件时,pq.( )
(3)若q是p必要条件,则当q成立时,p也成立.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.下列选项中,p是q的充要条件的是( )
A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5
B.p:a>2,b<2,q:a>b
C.p: 四边形的对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形
D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解
D [若a≠0,则方程ax=1有唯一解x= eq \f(1,a);若方程ax=1有唯一解,则a≠0.选项A、B、C可举反例排除.]
3.在判断定理中,条件是结论的________条件.
[答案] 充分
4.已知p:x-3<0是q:2x-3
[解] 由x-3<0,得x<3;由2x-3
因为p是q的充分不必要条件,所以集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<3))真包含于集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<\f(m+3,2))),
所以3< eq \f(m+3,2),解得m>3.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.(重点、难点)
2.会求(判断)某些问题的必要条件、充分条件与充要条件.(重点)
1.通过必要条件、充分条件的判断,提升逻辑推理素养.
2.借助必要条件、充分条件的应用,培养数学运算素养.
命题真假
“若p,则q”是真命题
“若p,则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
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