高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式精品第1课时教学设计及反思

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式精品第1课时教学设计及反思，共7页。教案主要包含了eq等内容，欢迎下载使用。

3.2 基本不等式


第1课时 基本不等式的简单应用











1．两个不等式


2.基本不等式的文字表述


eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值； eq \r(ab)称为a，b的几何平均值．


因此，基本不等式又称为均值不等式，可用文字表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．


思考：不等式a＋ eq \f(1,a)≥2一定成立吗？为什么？


提示：不一定成立，例如当a＝－1时，a＋ eq \f(1,a)＝－2，不等式不成立，事实上，当a>0时，a＋ eq \f(1,a)≥2，当a<0时，a＋ eq \f(1,a)≤－2.





1．a，b是正数，则 eq \f(a＋b,2)， eq \r(ab)， eq \f(2ab,a＋b)三个数的大小顺序是( )


A． eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(ab)≤ eq \f(2ab,a＋b) B． eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)≤ eq \f(2ab,a＋b)


C． eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2) D． eq \r(ab)≤ eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \f(a＋b,2)


C [ eq \f(2ab,a＋b)≤ eq \f(2ab,2\r(ab))＝ eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2).]


2．若0

A． eq \f(1,2) B．a2＋b2 C．2ab D．a


B [由 eq \r(ab)< eq \f(a＋b,2)＝ eq \f(1,2)，得ab< eq \f(1,4)，∴2ab< eq \f(1,2)；


a2＋b2＝a2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a)) eq \s\up8(2)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(1,2)> eq \f(1,2)；


a< eq \f(a＋b,2)＝ eq \f(1,2)，故选B.]


3．若a＞0，b＞0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )


A． eq \f(1,ab)＞ eq \f(1,2) B． eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≤1


C． eq \r(ab)≥2 D． eq \f(1,a2＋b2)≤ eq \f(1,8)


D [取a＝1，b＝3知A，B，C均不正确，


又因为a2＋b2≥2ab⇒a2＋b2≥ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))\s\up8(2),2)＝8⇒ eq \f(1,a2＋b2)≤ eq \f(1,8)，故选D.]


4．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0.求证： eq \f(ad＋bc,bd)＋ eq \f(bc＋ad,ac)≥4.


[证明] eq \f(ad＋bc,bd)＋ eq \f(bc＋ad,ac)＝ eq \f(a,b)＋ eq \f(c,d)＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(d,c)＝( eq \f(a,b)＋ eq \f(b,a))＋( eq \f(c,d)＋ eq \f(d,c))≥2＋2＝4(当且仅当a＝b且c＝d时，取“＝”).


故 eq \f(ad＋bc,bd)＋ eq \f(bc＋ad,ac)≥4.








对基本不等式的理解


【例1】 在下列的结论中，正确的序号是________．


①当x>0时，x＋ eq \f(4,x)≥4.


②当x<0时，x＋ eq \f(4,x)≤－4.


③ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2.


④ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2)≤ eq \f(a2＋b2,2).


[思路点拨] 从重要不等式与基本不等式成立的的条件以及等号成立的条件考虑．


①②④ [当ab<0时， eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≤－2，故③错误；


当x<0时，x＋ eq \f(4,x)＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＋\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x)))))≤－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))·\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))))＝－4，


当且仅当x＝－2时，取“＝”．故②正确；


又①④正确，故正确的是①②④.]





1．基本不等式 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)(a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．


2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：


(1)定理成立的条件是a、b都是非负数．


(2)等号成立的条件是a＝b.





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号).


①ab≤1；② eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)；③a2＋b2≥2; ④a3＋b3≥3；⑤ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≥2


①③⑤ [对于命题①由2＝a＋b≥2 eq \r(ab)，得ab≤1，命题①正确；


对于命题②令a＝b＝1时，不成立，所以命题②错误；


对于命题③a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；


对于命题④令a＝b＝1时，不成立，所以命题④错误；


对于命题⑤ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(a＋b,ab)＝ eq \f(2,ab)≥2，命题⑤正确．


所以正确的结论为①③⑤.]





利用基本不等式比较大小


【例2】 已知a>b>c，则 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)))与 eq \f(a－c,2)的大小关系是________．


[思路点拨] 从 eq \f(a－c,2)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)),2)入手．


eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)))≤ eq \f(a－c,2) [ eq \f(a－c,2)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)),2)≥ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－c)))，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．]





1．若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，可考虑能否利用基本不等式来求解．


2．有时利用基本不等式并不能完全解决问题，这时可综合运用其他知识方法求解，比如不等式的性质等．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．已知m＝a＋ eq \f(1,a－2)(a>2)，则( )


A．m>4 B．m<4


C．m≥4 D．m≤4


C [m＝(a－2)＋ eq \f(1,a－2)＋2≥2 eq \r(（a－2）\f(1,a－2))＋2＝4，当且仅当a＝3时，取“＝”．]





利用基本不等式证明不等式


【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证： eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c)>9.


[思路点拨] 将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．


[解] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，


∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c)＝ eq \f(a＋b＋c,a)＋ eq \f(a＋b＋c,b)＋ eq \f(a＋b＋c,c)＝3＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(c,a)＋ eq \f(a,b)＋ eq \f(c,b)＋ eq \f(a,c)＋ eq \f(b,c)


＝3＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2 eq \r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9


当且仅当a＝b＝c时取等号，


∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,c)>9.





1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造了条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．


2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘)合成待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))>8.


[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，


∴ eq \f(1,a)－1＝ eq \f(b＋c,a)>0， eq \f(1,b)－1＝ eq \f(a＋c,b)>0， eq \f(1,c)－1＝ eq \f(a＋b,c)>0，


∴( eq \f(1,a)－1)( eq \f(1,b)－1)( eq \f(1,c)－1)＝ eq \f(b＋c,a)· eq \f(a＋c,b)· eq \f(a＋b,c)≥ eq \f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，


当且仅当a＝b＝c时取等号，


∴不等式成立．


即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))＞8.








1．应用基本不等式 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)解题时．要注意：


(1)a≥0，b≥0；


(2)当且仅当a＝b时，取等号．


2．基本不等式的变形


(1)ab≤( eq \f(a＋b,2))2常用来证明积ab与和a＋b有关联的不等式．


(2)ab≤ eq \f(a2＋b2,2)常用来证明平方和与积有关联的不等式．


(3)( eq \f(a＋b,2))2≤ eq \f(a2＋b2,2)常用来证明和与平方和有关联的不等式．


3．应用基本不等式证明不等式，其本质是应用基本不等式进行放缩．通过“凑”、“拆”、“和”等变形，使其满足基本不等式的使用条件是证明的关键．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)∀a，b∈R，2ab≤a2＋b2.( )


(2)当a≠0时，a＋ eq \f(1,a)一定不小于2.( )


(3)ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up8(2).( )


[答案] (1)√ (2)× (3)√


2．当x>2时， eq \f(9,x－2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))≥6，该不等式等号成立的条件是( )


A．x＝3 B．x＝－3


C．x＝5 D．x＝－5


C [由基本不等式知，等号成立的条件是 eq \f(9,x－2)＝x－2>0，即x＝5.]


3. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(2,a)))的最小值是________．


2 eq \r(2) [ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(2,a)))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋ eq \f(2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))≥2 eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))·\f(2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))))＝2 eq \r(2)，当且仅当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝ eq \f(2,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))，即a＝± eq \r(2)时，取等号．]


4．已知x<0，求证：x＋ eq \f(4,x)≤－4.


[证明] 由x<0，得－x>0，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＋ eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x)))≥2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))×\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))))＝4，


∴x＋ eq \f(4,x)＝－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x))＋\f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x)))))≤－4.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解重要不等式的证明和基本不等式的证明过程．(重点)


2．能利用重要不等式与基本不等式证明简单的不等式．(难点)
1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．


2．借助重要不等式与基本不等式的应用，提升数学运算素养．
不等式
条件
结论
等号成立的条件
重要不等式
a，b∈R
eq \f(a2＋b2,2)≥ab
当且仅当a＝b时
基本不等式
a≥0，b≥0
eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)
当且仅当a＝b时