2020版高考数学一轮复习课后限时集训31《数列求和》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十一)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．数列{an}的通项公式为an=(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)

A．200　　　　 B．－200

C．400 D．－400

B　[S100=(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)=4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]=4×(－50)=－200.]

2．在数列{an}中，a1=2，a2=2，an＋2－an=1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)

A．990 B．1 000

C．1 100 D．99

A　[n为奇数时，an＋2－an=0，an=2；n为偶数时，an＋2－an=2，an=n.故S60=2×30＋(2＋4＋…＋60)=990.]

3．数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为(　　)

A．120 B．99

C．11 D．121

A　[an=

=

=－，

所以a1＋a2＋…＋an=(－1)＋(－)＋…＋(－)=－1=10.

即=11，所以n＋1=121，n=120.]

4.＋＋＋…＋的值为(　　)

A． B．－

C．－ D．－＋

C　[因为===－，

所以＋＋＋…＋

==

=－.]

5．Sn=＋＋＋…＋等于(　　)

A． B．

C． D．

B　[由Sn=＋＋＋…＋，①

得Sn=＋＋…＋＋，②

①－②得，

Sn=＋＋＋…＋－

=－，

所以Sn=.]

二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =________.

　[由得

∴Sn=n×1＋×1=，

==2.

∴ =＋＋＋…＋

=2

=2=.]

7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．

2n＋1－n－2　[an=1＋2＋4＋…＋2n－1==2n－1，

则Sn=a1＋a2＋…＋an=(2＋22＋…＋2n)－n=－n=2n＋1－n－2.]

8．化简Sn=n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．

2n＋1－n－2　[因为Sn=n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①

2Sn=n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②

所以①－②得，－Sn=n－(2＋22＋23＋…＋2n)=n＋2－2n＋1，所以Sn=2n＋1－n－2.]

三、解答题

9．(2019·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an－1.

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)设bn=(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)证明：当n=1时，a1=S1=2a1－1，所以a1=1，

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2an－1)－(2an－1－1)，

所以an=2an－1，

所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an=2n－1，

所以bn=(2n－1)×2n－1，

所以Tn=1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①

2Tn=1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

由①－②得

－Tn=1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n

=1＋2×－(2n－1)×2n

=(3－2n)×2n－3，

所以Tn=(2n－3)×2n＋3.

10．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋=(32n－1)，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=log3，求＋＋…＋.

[解]　(1)=(32－1)=3，

当n≥2时，=－＋＋…＋=(32n－1)－(32n－2－1)=32n－1，

当n=1时，=32n－1也成立，

所以an=.

(2)bn=log3=－(2n－1)，

因为==，所以＋＋…＋=1－＋－＋…＋－==.

B组　能力提升

1．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值为(　　)

A．18＋　　　　　B．20＋

C．22＋ D．18＋

B　[设an=1＋＋＋…＋==2.

则原式=a1＋a2＋…＋a11

=2＋2＋…＋2

=2

=2

=2

=2=20＋.]

2．已知数列{an}满足a1=1，an＋1·an=2n(n∈N*)，则S2 016=(　　)

A．22 016－1　　　 B．3·21 008－3

C．3·21 008－1 D．3·21 007－2

B　[a1=1，a2==2，又==2.

∴=2.

∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，

∴S2 016=a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016

=(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)

=＋=3·21 008－3.故选B.]

3．(2019·龙岩模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，对n∈N*都有Sn=1－an，若bn=log2an，则＋＋…＋=________.

　[对n∈N*都有Sn=1－an，当n=1时，a1=1－a1，解得a1=.

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=1－an－(1－an－1)，化为an=an－1.

∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为.∴an=n.

∴bn=log2an=－n.

∴==－.

则＋＋…＋=＋＋…＋=1－=.]

4．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2=6，a1a2=a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1=bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.

[解]　(1)设{an}的公比为q，

由题意知a1(1＋q)=6，aq=a1q2，

又an>0，由以上两式联立方程组解得a1=2，q=2，

所以an=2n.

(2)由题意知S2n＋1==(2n＋1)bn＋1，

又S2n＋1=bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn=2n＋1.

令cn=，则cn=.

因此Tn=c1＋c2＋…＋cn

=＋＋＋…＋＋，

又Tn=＋＋＋…＋＋，

两式相减得

Tn=＋－，

所以Tn=5－.