2020版高考数学一轮复习课后限时集训36《综合法与分析法反证法》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(三十六)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是(　　)

A．自然数a，b，c中至少有两个偶数

B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

C．自然数a，b，c都是奇数

D．自然数a，b，c都是偶数

B　[“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.]

2．(2019·西安模拟)若P=＋，Q=＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)

A．P＞Q　　　　　B．P=Q

C．P＜Q D．由a的取值决定

C　[P2=2a＋7＋2，Q2=2a＋7＋2，

∵2＞2，

∴P2＜Q2，

∴P＜Q，故选C．]

3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋，b＋，c＋(　　)

A．都大于6 B．至少有一个不大于6

C．都小于6 D．至少有一个不小于6

D　[由a，b，c∈(0，＋∞)知

＋＋=＋＋≥18(当且仅当a=4，b=2，c=3时，等号成立)，

因此三个数中至少有一个不小于6，故选D.]

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c=0，求证<a”索的因应是(　　)

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

C　[由题意知<a⇐b2－ac<3a2

⇐(a＋c)2－ac<3a2

⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇐－2a2＋ac＋c2<0

⇐2a2－ac－c2>0

⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]

5．已知函数f(x)=x，a，b是正实数，A=f，B=f()，C=f，则A，B，C的大小关系为(　　)

A．A≤B≤C B．A≤C≤B

C．B≤C≤A D．C≤B≤A

A　[因为函数f(x)=x在R上是减函数，

且≥≥，

所以f≤f()≤f，

即A≤B≤C，故选A．]

二、填空题

6．用反证法证明“若x2－1=0，则x=－1或x=1”时，应假设________．

x≠－1且x≠1　[“x=－1或x=1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]

7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．

3　[要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]

8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是________．

甲　[假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．]

三、解答题

9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

[证明]　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.

∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，

从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.

10．已知x∈R，a=x2＋，b=2－x，c=x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.

[证明]　假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，

则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c=＋(2－x)＋(x2－x＋1)=2x2－2x＋=22＋3≥3.

这与a＋b＋c＜3矛盾，假设不成立，

故a，b，c至少有一个不小于1.

B组　能力提升

1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒为负值　　 B．恒等于零

C．恒为正值 D．无法确定正负

A　[由题意知f(x)在R上单调递减，

由x1＋x2＞0得x1＞－x2，

则f(x1)＜f(－x2)，

即f(x1)＜－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＜0，

故选A．]

2．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是(　　)

A．甲　　　B．乙

C．丙　　　D．丁

A　[①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；

②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；

③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；

综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A．]

3．(2018·长春模拟)若二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．

　[若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，则

解得p≤－3或p≥，

故满足题干要求的p的取值范围为.]

4．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1＋，S3=9＋3.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

(2)设bn=(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

[解]　(1)由已知得

所以d=2，故an=2n－1＋，Sn=n(n＋)．

(2)证明：由(1)得bn==n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b=bpbr，即(q＋)2=(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)=0.

因为p，q，r∈N*，

所以

所以2=pr，即(p－r)2=0，

所以p=r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．