初中数学九年级竞赛讲义：第03讲-充满活力的韦达定理

第三讲   充满活力的韦达定理

    一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

    韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：

    运用韦达定理，求方程中参数的值；

    运用韦达定理，求代数式的值；

    利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；

    利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。

    韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。

【例题求解】

【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为       。                                     

思路点拨：所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例

【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为(    )

    A、    B、或2    C、  D、或2

思路点拨：可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。

【例3】 已知关于的方程：

    (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

    (2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、。

思路点拨：对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手。

【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值。

思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。

【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根。

(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。

(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB<CD，求AB、CD的长．   

思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．  

充满活力的韦达定理学历训练

 1、(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是           。

   (2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是           。

2、已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为           。                                              

3、CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是           。                                            

4、设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于(     )    A．1，-3    B．1，3    C．-1，-3    D．-1，3

5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于

的方程的两根，那么AB边上的中线长是(     )

    A．      B．   C．5    D．2

6、方程恰有两个正整数根、，则的值是(     )

    A．1    B．-l    C．   D．

7、若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式：，判断是否正确?   

8、已知关于的方程。

(1)    当是为何值时，此方程有实数根；

 (2)若此方程的两个实数根、满足：，求的值。

9、已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为           。                                                 

10、已知、是方程的两个根，则的值为           。                                                  

11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是           。                                   

12、两个质数、恰好是整系数方程的两个根，则的值是(    )

A．9413      B．      C．      D．

13、设方程有一个正根，一个负根，则以、为根的一元二次方程为(    )

 A．           B．

C．         D．

14、如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是(    )

  A．0≤m≤1      B．m≥      C．     D．≤m≤1

15、如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于的方程的两个根。

(1)求rn的值；

（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．  

16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、。

(1)  若，求m的值。  （2）求的最大值。

17、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值。

18、设、、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值。

参考答案