初中数学九年级竞赛讲义：第21讲-从三角形的内切圆谈起

第二十一讲   从三角形的内切圆谈起

    和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：

    1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；

    2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法．

当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：

注：设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：

    (1)；

    (2)．

请读者给出证

【例题求解】

【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为        ．

思路点拨 AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可．

【例2】 如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值；④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是(    )

A．①②③    B．②③④    C．①③④    D．①④

思路点拨  本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．

【例3】 如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．

                                                         (全国初中数学联赛试题)

思路点拨  连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．

【例4】  如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F．

    (1)问∠BOZ能否为120°，并简要说明理由；

    (2)证明△AOF∽△EDF，且；

    (3)求DF的长．

思路点拨  分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程． 

注： 如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质：

  (1)以边AB为直径的圆与边CD相切；

  (2)以边CD为直径的圆与边AB相切．

类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．

【例5】  如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC；△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2．

                                                         (武汉市选拔赛试题)

思路点拨  在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相  等．

学力训练

1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于=        cm．

2．如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt△ABO内心的坐标是    ．

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC=          ．                   

4．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于(    )

    A．    B．    C．    D．

5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为(    )

    A．3cm    B．7cm    C ．3cm或7cm    D． 2cm   

6．如图，△ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是(    )

    A．点O是△DEF的外心    B．∠AFE=(∠B+∠C)

    C．∠BOC=90°+∠A     D．∠DFE=90°一∠B

7．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连结AO、DO．

 (1)求证：△ABO∽△OCD；

(2)若AB、CD是关于x的方程的两个实数根，且S△ABO+ S△OCD=20，求m的值．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E．

    (1)若BC=，CD=1，求⊙O的半径；

    (2)取BE的中点F，连结DF，求证：DF是⊙O的切线；

    (3)过D点作DG⊥BC于G，OG与DG相交于点M，求证：DM＝GM．

9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm／秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm／秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．

(1)求⊙O的直径；

(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP的面积；

(3)是否存在某时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．                                                 (2002年烟台市中考题)

10．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，Ol、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则OlO2=   ．                          

11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE·EB=      ．

12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的(    )

    A．内心     B．外心     C．圆心     D．重心

13．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为(    )

A．     B．     C．            D．

14．如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为(    )

    A．   B．    C．   D．不能确定

                                                      (《学习报》公开赛试题)

15．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB．在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．

  (1)设AD是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是     ；

(2)不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．

16．如图，△ABC的三边满足关系BC=(AB+AC)，O、I分别为△ABC的外心、内心，∠ BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H．

求证：(1)AI=BD；(2)OI=AE．                   

17．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?证明你的结论．

18．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB(不含端点)上运动，PH⊥OA于H，△OPH的重心为G．

(1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度；

 (2)设PH= x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；

 (3)如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．

参考答案