初中数学九年级竞赛讲义：第23讲-圆与圆
展开第二十三讲 圆与圆
圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：
1．通过两圆交点的个数确定；
2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；
3．通过两圆的公切线的条数确定．
为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．
熟悉以下基本图形、基本结论：
【例题求解】
【例1】 如图，⊙Ol与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙Ol经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=，那么∠BAF= 度．
思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出∠D O2A的度数．
注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．
(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．
【例2】 如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol 与⊙O2的半径之比为( )
A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3
思路点拨 添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．
【例3】 如图，已知⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙Ol上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙Ol于点N．
(1)过点A作AE∥CN交⊙Oll于点E，求证：PA=PE；
(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．
思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．
【例4】 如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2．
(1)求大圆半径长；
(2)求线段BF的长；
(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．
思路点拨 (1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．
注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．
【例5】 如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为．
(1)试建立以为自变量的函数的解析式；
(2)求函数的最小值．
思路点拨 设两圆半径分别为R、r，对于(1)，，通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因=R+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围．
注：如图，半径分别为r、R的⊙Ol 、⊙O2外切于C，AB，CM分别为两圆的公切线，OlO2与AB交于P点，则：
(1)AB=2；
(2) ∠ACB=∠Ol M O2=90°；
(3)PC2=PA·PB；
(4)sinP=；
(5)设C到AB的距离为d，则．
学力训练
1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B两点，且⊙Ol经过点O2，若∠AOlB=90°，则∠A O2B的度数是 ．
2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围 ．
(2003年上海市中考题)
3．如图；⊙Ol 、⊙O2相交于点A、B，现给出4个命题：
(1)若AC是⊙O2的切线且交⊙Ol于点C，AD是⊙Ol的切线且交⊙O2于点D，则AB2=BC·BD；
(2)连结AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则OlO2=25cm；
(3)若CA是⊙Ol的直径，DA是⊙O2 的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上，
(4)若过点A作⊙Ol的切线交⊙O2于点D，直线DB交⊙Ol于点C，直线CA 交⊙O2于点E，连结DE，则DE2=DB·DC，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．
4．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M，设⊙Ol的半径为，AM的长为，则与的函数关系是 ，自变量的取值范围是 ．
5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )
A．2 B． C． D．
6．如图，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B两点，且点Ol在⊙O2上，过A作⊙Oll的切线AC交B Ol的延长线于点P，交⊙O2于点C，BP交⊙Ol于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为( )
A． B． C． D．
7．如图，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PB·PC=OlA·O2A．
上述结论，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )
A．一定内切 B．一定外切 C．相交 D．内切或外切
9．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙Ol于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．
（1）求证：PC平分∠APD；
(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；
(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．
10．如图，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙Ol于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙Ol的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．
11．如图，已知A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点M是 OlO2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙Ol、⊙O2于B、C．
(1)求证：AB=AC；
(2)若Ol A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=O1O2；
(3)在(2)的条件下，若dld2=1，设⊙Ol、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．
12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 ．
13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 ．
14．如图，⊙Ol和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙Ol的圆心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙Ol与⊙O2的直径之比为( )
A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：3
15．如图，⊙Ol与⊙O2相交，P是⊙Ol上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )
A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
16．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )
A．有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆
C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对
17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
(2)若CD=2，CB=，求EF的长；
(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
(1)若PC=PD，求PB的长；
(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；
(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．
请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．
19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．
(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；
(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．
20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．
方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)； ，
探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；
(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；
(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
参考答案
