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考点13 圆与方程基础题汇总-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）
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考点13 圆与方程基础题汇总
一、单选题（共15小题）
1.（2020•山东模拟）直线ax+y+2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则a＝（ ）
A． B．± C． D．±
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
若直线ax+y+2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则圆心到直线的距离d＝＝，
而圆心到直线ax+y+2＝0的距离d＝，则有＝，
解可得a＝±，
故选：B．
【知识点】直线与圆相交的性质、直线与圆的位置关系
2.（2020•浙江模拟）已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线x+y+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0，其圆心为（2，﹣），
若圆C2关于直线x+y+1＝0对称，即点C2在直线x+y+1＝0上，则有2+×（﹣）+1＝0，解可得m＝2，
即圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+）2＝4，其圆C2的圆心为（2，﹣），半径r＝2，
此时，圆心距|C1C2|＝＝，
则有5﹣2＜|C1C2|＜5+2，
故两圆相交，
故选：C．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
3.（2020•山东模拟）在平面直角坐标系中，动圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2与直线y+1＝m（x﹣2）（m∈R）相切，则面积最大
的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1） 2＝4 B．（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝5
C．（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝6 D．（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝8
【解答】解：根据题意，直线y+1＝m（x﹣2），恒过定点（2，﹣1），
动圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2，其圆心为（1，1），半径为r，
若圆的面积最大，即圆心到直线l的距离最大，且其最大值|CP|＝＝，
即圆的面积最大时，圆的半径r＝，
此时圆的方程为：（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝5，
故选：B．
【知识点】圆的切线方程
4.（2020秋•香坊区校级期末）已知过点M（2，﹣4）的直线l与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5相切，且与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），
而点M（2，﹣4），则有（2﹣1）2+（﹣4+2）2＝5，则点M在圆C上，
若过点M的切线与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则直线CM与直线m平行，
而直线MC的斜率k＝＝﹣2，
则有＝﹣2，则a＝﹣4，
故选：D．
【知识点】直线与圆的位置关系、圆的切线方程
5.（2020秋•和平区校级月考）在空间直角坐标系中，已知点A（4，﹣3，5），B（﹣2，1，﹣7），则线段AB的中点坐标是（ ）
A．（2，﹣2，﹣2） B．（1，﹣1，﹣1） C．（1，1，1） D．（2，2，2）
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点A（4，﹣3，5），B（﹣2，1，﹣7），
则线段AB的中点坐标是（1，﹣1，﹣1）．
故选：B．
【知识点】空间中的点的坐标
6.（2020秋•渝中区校级月考）已知点P（1，2）在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1＝0的外部，则k的取值范围是（ ）
A．k∈R B．k＜2 C．k＞2 D．﹣2＜k＜2
【解答】解：由x2+y2+kx+4y+k2+1＝0，
得：+（y+2）2＝3﹣k2，
由3﹣k2＞0，解得：﹣2＜k＜2①，
若P（1，2）在圆外，
则1+4+k+8+k2+1＞0，
即k2+k+14＞0，故k∈R②，
由①②得：﹣2＜k＜2，
故选：D．
【知识点】点与圆的位置关系
7.（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知圆C的标准方程为（x+2）2+y2＝1，则它的圆心坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
【解答】解：根据题意，圆C的标准方程为（x+2）2+y2＝1，
则它的圆心坐标是（﹣2，0），
故选：A．
【知识点】圆的标准方程
8.（2020秋•海城区校级月考）过点M（3，2）的圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0的切线方程是（ ）
A．y＝2或5x﹣12y+9＝0
B．5x﹣12y+9＝0或12x﹣5y﹣26＝0
C．12x﹣5y﹣26＝0或y＝2
D．y＝2
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0，即（x+2）2+（y+1）2＝1，其圆心为（﹣2，1），半径为1，
易知所求切线斜率存在，设过点M（3，2）与圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0相切的直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2＝0，
所以有，整理得12k2﹣5k＝0，解得k＝0，或；
因此，所求直线方程分别为：y﹣2＝0或，整理得y＝2或5x﹣12y+9＝0．
故选：A．
【知识点】圆的切线方程
9.（2020•山东模拟）直线x+2y+t＝0被圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0截得的弦长为2，则t的值为（ ）
A．4± B．± C．4+ D．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0，即圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4，圆的圆心（4，﹣1），半径为2；
直线x+2y+t＝0被圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0截得的弦长为2，
可知圆心到直线的距离为1，可得，
解得t＝±．
故选：B．
【知识点】直线与圆相交的性质、直线与圆的位置关系
10.（2020春•荔湾区期中）在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4）两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），
两点之间的距离为：＝．
故选：D．
【知识点】空间两点间的距离公式
11.（2020春•荔湾区期中）已知直线l：x+2y+4＝0，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，若点M是圆C上一动点，则点M到直线l的距离的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．3
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，的圆心（2，2），半径为：，
所以圆心到直线的距离为：＝2，
点M到直线l的距离的最小值为：2＝．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系
12.（2020春•天河区期末）设P为圆（x﹣2）2+（y+2）2＝1上的动点，则点P到直线x+y﹣4＝0的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（2，﹣2），半径为1．
∵圆心（2，﹣2）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝，
∴点P到直线x+y﹣4＝0的最小距离为4﹣1＝3．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系
13.（2020•山东模拟）已知圆C：x2+（y+1）2＝16，过点P（0，1）的直线l交C于A，B两点，当圆上的点到直线l的距离最大为6时，直线l的方程为（ ）
A．x＝1 B．y＝1 C．y＝1或x＝0 D．x＝1或y＝0
【解答】解：点P（0，1）可得02+（1+1）2＜16，
所以点P（0，1）在圆的内部，
设圆的圆心到直线的距离为d，
则圆上的点到直线的距离的最大值为为4+d，所以4+d＝6，可得d＝2，
当直线l的斜率存在时，时直线方程y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
所以d＝＝2，解得k＝0，所以直线方程为y＝1，
当直线的斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意，
故选：B．
【知识点】直线与圆的位置关系
14.（2020秋•安徽月考）A（6，13）和B（12，11）是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知AB中垂线为CD，AB中点E（9，12），
则直线CD方程为：y＝3x﹣15，故D（5，0），在△ACD中，
，，，
∵△CAD∽△AED，
故，，
故圆C面积为S＝，
故选：C．
【知识点】圆的切线方程
15.（2020秋•庐阳区校级期中）若圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0上的任意一点P（m，n）关于直线l：2ax+3by+9＝0对称的点仍在圆M上，则（m﹣a）2+（n﹣b）2的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0，得（x+2）2+（y+1）2＝4，
则圆心M（﹣2，﹣1），半径r＝2．
∵圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0上的任意一点P（m，n）关于直线l：2ax+3by+9＝0对称的点仍在圆M上，
∴圆心（﹣2，﹣1）在直线l：2ax+3by+9＝0上，可得2a×（﹣2）+3b×（﹣1）+9＝0，
即4a+3b﹣9＝0．
圆心（﹣2，﹣1）到直线4a+3b﹣9＝0的距离d＝，
则（m﹣a）2+（n﹣b）2的最小值为（d﹣r）2＝（4﹣2）2＝4．
故选：D．
【知识点】直线与圆的位置关系
二、填空题（共10小题）
16.（2020秋•长兴县校级月考）过x﹣y﹣2＝0上一点P（x0，y0）作直线与x2+y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，切线长|PA|为 ；当|PO|•|AB|最小时，x0的值为 ．
【解答】解：（1）当x0＝3时，y0＝1，即P（3，1），
∴|PO|＝＝，|PA|＝＝3；
（2）如图示：
PO⊥AB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴S△APB＝|PO|•|AB|＝|OA|•|PA|+|OB|•|PB|＝|OA|•|PA|＝|PA|，
∴|PO|•|AB|＝2|PA|＝2＝2，
则当OP垂直于直线时，|PO|取得最小值为＝，
此时|PO|•|AB|取得最小值为2，且P的坐标是（1，﹣1），即x0＝1，
故答案为：3，1．
【知识点】圆的切线方程
17.（2020秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，0），B（0，4），从直线AB上一点P向圆x2+y2＝1引两条切线PC，PD，切点分别为C，D．设线段CD的中点为M，则线段AM的长度的最大值为 ．
【解答】解：如图，
直线AB的方程为x﹣y+4＝0，设P（x0，y0），则y0＝x0+4，①
以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣x0x﹣y0y＝0，
联立，可得CD所在直线方程为：x0x+y0y＝1，②
∵线段CD的中点为M，则直线OM：x0y﹣y0x＝0，③
联立①②③消去x0，y0，可得M的轨迹方程为，
圆心坐标为（，），半径r＝，
又A（﹣4，0），
∴线段AM的长度的最大值为＝．
故答案为：．
【知识点】直线与圆的位置关系
18.（2020•浙江模拟）已知圆心在原点的圆O与直线l：y＝x+1相切，则圆O的半径为 ；若圆O沿着直线l向上滚动一周得到圆O′，则圆O′的圆心坐标为 ．
【解答】解：根据题意，原点（0，0）到直线l的距离d＝＝，
若圆心在原点的圆O与直线l相切，则圆O的半径r＝d＝，
若圆O沿着直线l向上滚动一周得到圆O′，设圆O′的圆心坐标为（m，n），（m＞0，n＞0），
则OO′＝2π×＝π，
且直线OO′与直线l平行，则有，
解可得：m＝，n＝，
即O′的坐标为（，），
故答案为：，（，）．
【知识点】圆的切线方程、直线与圆的位置关系
19.（2020•浙江模拟）已知直线l：λx+y+2﹣3λ＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，当直线l与圆C相切时，λ＝ ；当直线l截圆C所得的弦最长时，λ＝ ．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（1，2），半径r＝2，
若直线l与圆C相切，则圆心到直线l的距离d＝＝2，解得λ＝，
当直线l经过圆心C时，直线l截圆C所得的弦最长，
此时有λ+2+2﹣3λ＝0，解可得λ＝2，
故答案为：；2．
【知识点】圆的切线方程、直线与圆的位置关系
20.（2020秋•常熟市月考）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：2x﹣y＝0上第三象限内的点，B（﹣5，0），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一点D，若AB⊥CD，则圆C的标准方程为 ．
【解答】解：根据题意，设A（a，2a），（a＜0），
B（﹣5，0），则AB的中点C的坐标为（，a），
以AB为直径为圆，即圆C的方程为（x﹣a）（x+5）+y（y﹣2a）＝0，即x2+y2+（5﹣a）x﹣2ay﹣5a＝0，
联立，解可得或，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
若AB⊥CD，即⊥，则有•＝（a+5）×+2a（a+2）＝0，
解可得：a＝﹣3或1，
又由a＜0，则a＝﹣3，
故A的坐标为（﹣3，﹣6），圆C的圆心为（﹣4，﹣3），其半径r＝＝，
则圆C的方程为x2+y2+8x+6y+15＝0，
故答案为：x2+y2+8x+6y+15＝0．
【知识点】圆的标准方程、直线与圆的位置关系
21.（2020•山东模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，P（3，1）是圆C外的一点，Q是圆C上任意一点，M是PQ的中点，直线l：x﹣y﹣4＝0上存在两点A，B，使得∠AMB≥，则|AB|的取值范围为 ．
【解答】解：设点M（x，y），则点Q（2x﹣3，2y﹣1），
即（2x﹣3﹣1）2+（2y﹣1﹣3）2＝4，整理得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
∴点M的运动轨迹是以（2，2）为圆心，以1为半径的圆．
∵∠AMB≥，∴点M所在的圆在以AB为直径的圆的内部，
而AB在直线l：x﹣y﹣4＝0上，故点M的运动轨迹的圆心到直线x﹣y﹣4＝0的距离d＝，
∴．
∴|AB|的取值范围为[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【知识点】直线与圆的位置关系
22.（2020春•天河区期末）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为 ；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是 ．
【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，即：（x+3）2+（y﹣4）2＝9，则圆心C的坐标为（﹣3，4）；
设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，
则以AB为直径的圆和圆C有交点，
故故两圆的圆心距大于或等于半径之差小于或等于半径之和．
而以AB为直径的圆的圆心为原点，半径为m，
∴|3﹣m|≤≤m+3，即|3﹣m|≤5≤m+3，
求得2≤m≤8，
故答案为：（﹣3，4）；[2，8]．
【知识点】圆的一般方程
23.（2020秋•山东月考）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝4与圆C2：x2+（y﹣1）2＝1相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
【解答】解：把两个圆的方程相减可得直线AB方程：2x﹣2y+3＝0，
则圆心C1（1，0）到直线AB距离d＝＝，
故|AB|＝2＝．
故答案为：．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
24.（2020秋•安徽月考）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（2，4），其欧拉线的方程为x﹣y＝0，则△ABC的外接圆方程为 ．
【解答】解：线段AB的中点（0，2）、AB的斜率为＝1，故AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣2＝0，
将AB垂直平分线方程与欧拉线的方程x﹣y＝0联立，可得，求得，
可得圆心坐标为D（1，1），故半径DA＝＝，
故△ABC的外接圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝10，
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝10．
【知识点】圆的标准方程
25.（2020秋•万州区校级期中）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是 ，|AB|•|CD|的最大值是 ．
【解答】解：若|AB|长度最小，则圆心到直线l1 距离d最长，
此时直线l1⊥OP，dmax＝，则|AB|min＝2＝2；
设圆心O到直线l1的距离为d1，到直线l2的距离为d2，
则，
|AB|＝，|CD|＝，
则|AB|•|CD|＝4＝2×5＝10．
当且仅当d1＝d2＝时上式取等号．
故答案为2；10．
【知识点】直线与圆的位置关系
三、解答题（共10小题）
26.（2020秋•海淀区校级期中）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，求r的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，设圆心C（0，b），
由于圆过（0，0），（0，2）两点，则有
∴0+（b﹣0）2＝0+（b﹣2）2，求得b＝1，半径为|b|＝1，故圆C的方程为 x2+（y﹣1）2＝1．
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，
则两圆的圆心距大于或等于半径之差而小于或等于半径之和，
即|r﹣1|≤≤1+r，解可得﹣1≤r≤+1．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定、圆方程的综合应用
27.（2020秋•长兴县校级月考）已知圆C：x2+（y﹣3）2＝8和动圆P：（x﹣a）2+y2＝8交于A，B两点．
（1）若直线AB过原点，求实数a；
（2）若a＞0且AB交x轴于Q，求△PQC面积的最小值及此时的|AB|．
【解答】解：（1）根据题意，圆C：x2+（y﹣3）2＝8，圆心为（0，3），半径R＝2，
圆P：（x﹣a）2+y2＝8，圆心为（a，0），半径r＝2
若两圆相交于A，B两点，则有＜R+r＝4，解得﹣＜a＜，
联立两圆方程，则公共弦直线AB：﹣6y+9＝﹣2ax+a2，
若AB过原，则有a2＝9，即a＝±3，符合题意，
故a＝±3，
（2）根据题意，由（1）的结论，直线AB的方程为﹣6y+9＝﹣2ax+a2，
令y＝0，可得x＝＝（a﹣），即xQ＝（a﹣），
由P（a，0），得|PQ|＝|（a﹣）﹣a|＝|a+|＝（a+），
△PQC面积S＝|PQ|×3＝（a+）≥，当且仅当a＝3时，等号成立，
即△PQC面积的最小值为，此时直线AB为y＝±x，
圆C的圆心C到直线AB的距离d＝＝，
此时|AB|＝2×＝．
【知识点】直线与圆的位置关系
28.（2020秋•北碚区校级期中）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
（2）若从圆C外一点P（1，﹣2）向该圆引切线PA和PB（A，B为切点），求弦长AB的大小．
【解答】解：（1）根据题意，要求切线在两坐标轴上的截距相等，且截距不为零，
则设切线方程为x+y+m＝0（m≠0），
又由圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，
圆心C到切线的距离等于半径，则有d＝r＝＝，
解可得m＝﹣3或1，
故要求所求的直线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0，
（2）根据题意，P（1，﹣2），则|PC|＝＝2，
|PA|＝＝＝3
则有S△PAC＝×|CA|×|PA|＝|PC|×，
变形可得：|AB|＝＝＝．
【知识点】圆方程的综合应用、圆的切线方程、直线与圆的位置关系
29.（2020秋•兖州区期中）在①A（4，a），B（﹣2，4）；②A（b，6），B（﹣2，b）；③A（4，6），B（c，4）中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知A，B的中点坐标是（1，5），且_____．
（1）求直线AB的方程；
（2）求以线段AB为直径的圆的方程．
【解答】解：若选①，由中点坐标公式得，
解得a＝6，
所以A（4，6），B（﹣2，4）；
若选②，由中点坐标公式得，
解得b＝4，
所以A（4，6），B（﹣2，4）；
若选③，由中点坐标公式得，
解得c＝﹣2，
所以A（4，6），B（﹣2，4）；
（1）设直线上的点的坐标为（x，y），A（4，6），B（﹣2，4），
则有y﹣6＝（x﹣4），化简得x﹣3y+14＝0．
（2）由|AB|＝＝2，
所以圆的半径r＝，圆心坐标为（1，5），
所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2＝10．
【知识点】圆的标准方程
30.（2020秋•河西区期中）已知圆P：x2+y2﹣4＝0，圆Q：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0．
（Ⅰ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离；
（Ⅱ）求这两个圆的公共弦的长．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆P：x2+y2﹣4＝0，即x2+y2＝4，圆心P为（0，0），半径R＝2，
圆Q：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，即（x﹣2）2+（y+2）2＝20，其圆心Q为（2，﹣2），半径r＝2，
圆心距d＝＝2，
（Ⅱ）根据题意，，联立可得：4﹣4x+4y﹣12＝0，变形可得x﹣y+2＝0，
即公共弦所在直线的方程为x﹣y+2＝0，
圆心P到直线x﹣y+2＝0的距离d′＝＝，
则公共弦的弦长l＝2×＝2．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
31.（2020秋•峨山县校级期中）已知圆C：x2+y2﹣8y+12＝0和直线l：mx+y+2m＝0．
（1）求圆C的圆心坐标和半径；
（2）当m为何值时，直线l和圆C相切．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8y+12＝0整理可得：x2+（y﹣4）2＝4，所以圆心为（0，4），半径r＝2；
（2）由题意可得＝2，解得：，
所以当m＝﹣时，直线与圆相切．
【知识点】直线与圆的位置关系
32.（2020秋•黎川县校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4．
（Ⅰ）过点A（2，3），作圆C的两条切线，切点分别为B，D，求直线BD的方程；
（Ⅱ）若点G是圆C上的任意一点，F（﹣3，0），是否存在定点P，使得＝，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，圆C的圆心为（﹣2，0），AB⊥BC，AD⊥CD，
则A，B，C，D四点共圆，且以AC为直径，
所以该圆的圆心坐标为（，），即（0，），
故该圆的半径r＝＝，
所以该圆的方程为x2+（y﹣）2＝，
联立，两式相减得4x+3y+4＝0，
所以直线BD方程为：4x+3y+4＝0．
（Ⅱ）假设存在定点P，使得＝，
设P（m，n），G（x0，y0），则（x0+2）2+y02＝4，
因为＝，所以＝，
整理得3（x02+y02）+24x0+2mx0+2ny0+36﹣m2﹣n2＝0，
所以﹣12x0+24x0+2mx0+2ny0+36﹣m2﹣n2＝0，
即（12+2m）x0+2ny0+36﹣m2﹣n2＝0，
由G（x0，y0）为圆C上任意一点，
可得，解得，
所以存在定点P（﹣6，0），满足＝．
【知识点】直线和圆的方程的应用
33.（2020秋•平城区校级期中）已知直线l：x+y﹣5＝0，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0．
（1）求直线l被圆截得的弦长；
（2）在直线l取一点P（5，0），设Q为圆C上的点，求|PQ|的取值范围．
【解答】解：（1）由x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，
∴圆心C的坐标为（2，2），半径r＝，
圆心（2，2）到直线x+y﹣5＝0的距离d＝，
则直线l被圆截得的弦长为；
（2）∵P（5，0），∴|PC|＝，
∴|PC|+r＝，|PC|﹣r＝．
∵|PC|﹣r≤|PQ|≤|PC|+r，
∴|PQ|的取值范围是．
【知识点】直线与圆的位置关系
34.（2020春•思明区校级期中）已知圆C1：x2+y2+6x＝0关于直线l1：y＝2x+1对称的圆为C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB．若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）圆C1化为标准式为（x+3）2+y2＝9，
设圆C1的圆心C1（﹣3，0）关于直线l1：y＝2x+1的对称点为C（a，b），
则，且CC1的中点在直线l1：y＝2x+1上，
∴有，
解得：，
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝9；
（2）要使OA⊥OB，必须使，即：x1x2+y1y2＝0．
①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x＝﹣1，与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9交于两点，．
∵，∴OA⊥OB，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝﹣1满足条件．
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝k（x+1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由得：（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4＝0．
，，
由于点（﹣1，0）在圆C内部，∴△＞0恒成立．
要使OA⊥OB，必须使，即x1x2+y1y2＝0，
也就是：，
即，
∴
整理得：4k﹣4＝0，解得：k＝1，
∴直线l的方程为y＝x+1．
故存在直线x＝﹣1和y＝x+1，使得OA⊥OB．
【知识点】直线与圆的位置关系
35.（2020秋•上月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣2，﹣4），圆O：x2+y2＝4与x轴的负半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．
（1）设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，求k1+k2的值：
（2）设AB的中点为M，点N（﹣1，0），若MN＝OM，求△QAB的面积．
【解答】解：（1）当直线垂直于x轴时，不合题意；
故设直线方程为y+4＝k（x+2），
联立，得（1+k2）x2+4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
∴＝
＝＝，
即k1+k2＝﹣1；
（2）设中点M（x0，y0），由（1）知，，①
代入直线l的方程得，②
又由MN＝OM，得，
化简得：，
将①②代入上式，可得k＝4，
∴圆心到直线l的距离d＝．
∴|AB|＝2，
Q到直线l的距离h＝，
∴＝＝．
【知识点】直线与圆的位置关系
一、单选题（共15小题）
1.（2020•山东模拟）直线ax+y+2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则a＝（ ）
A． B．± C． D．±
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，
若直线ax+y+2＝0被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则圆心到直线的距离d＝＝，
而圆心到直线ax+y+2＝0的距离d＝，则有＝，
解可得a＝±，
故选：B．
【知识点】直线与圆相交的性质、直线与圆的位置关系
2.（2020•浙江模拟）已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线x+y+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0，其圆心为（2，﹣），
若圆C2关于直线x+y+1＝0对称，即点C2在直线x+y+1＝0上，则有2+×（﹣）+1＝0，解可得m＝2，
即圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+）2＝4，其圆C2的圆心为（2，﹣），半径r＝2，
此时，圆心距|C1C2|＝＝，
则有5﹣2＜|C1C2|＜5+2，
故两圆相交，
故选：C．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
3.（2020•山东模拟）在平面直角坐标系中，动圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2与直线y+1＝m（x﹣2）（m∈R）相切，则面积最大
的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1） 2＝4 B．（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝5
C．（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝6 D．（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝8
【解答】解：根据题意，直线y+1＝m（x﹣2），恒过定点（2，﹣1），
动圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2，其圆心为（1，1），半径为r，
若圆的面积最大，即圆心到直线l的距离最大，且其最大值|CP|＝＝，
即圆的面积最大时，圆的半径r＝，
此时圆的方程为：（x﹣1） 2+（y﹣1） 2＝5，
故选：B．
【知识点】圆的切线方程
4.（2020秋•香坊区校级期末）已知过点M（2，﹣4）的直线l与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5相切，且与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则实数a的值为（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），
而点M（2，﹣4），则有（2﹣1）2+（﹣4+2）2＝5，则点M在圆C上，
若过点M的切线与直线m：ax﹣2y+3＝0垂直，则直线CM与直线m平行，
而直线MC的斜率k＝＝﹣2，
则有＝﹣2，则a＝﹣4，
故选：D．
【知识点】直线与圆的位置关系、圆的切线方程
5.（2020秋•和平区校级月考）在空间直角坐标系中，已知点A（4，﹣3，5），B（﹣2，1，﹣7），则线段AB的中点坐标是（ ）
A．（2，﹣2，﹣2） B．（1，﹣1，﹣1） C．（1，1，1） D．（2，2，2）
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点A（4，﹣3，5），B（﹣2，1，﹣7），
则线段AB的中点坐标是（1，﹣1，﹣1）．
故选：B．
【知识点】空间中的点的坐标
6.（2020秋•渝中区校级月考）已知点P（1，2）在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1＝0的外部，则k的取值范围是（ ）
A．k∈R B．k＜2 C．k＞2 D．﹣2＜k＜2
【解答】解：由x2+y2+kx+4y+k2+1＝0，
得：+（y+2）2＝3﹣k2，
由3﹣k2＞0，解得：﹣2＜k＜2①，
若P（1，2）在圆外，
则1+4+k+8+k2+1＞0，
即k2+k+14＞0，故k∈R②，
由①②得：﹣2＜k＜2，
故选：D．
【知识点】点与圆的位置关系
7.（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知圆C的标准方程为（x+2）2+y2＝1，则它的圆心坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（2，0）
【解答】解：根据题意，圆C的标准方程为（x+2）2+y2＝1，
则它的圆心坐标是（﹣2，0），
故选：A．
【知识点】圆的标准方程
8.（2020秋•海城区校级月考）过点M（3，2）的圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0的切线方程是（ ）
A．y＝2或5x﹣12y+9＝0
B．5x﹣12y+9＝0或12x﹣5y﹣26＝0
C．12x﹣5y﹣26＝0或y＝2
D．y＝2
【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0，即（x+2）2+（y+1）2＝1，其圆心为（﹣2，1），半径为1，
易知所求切线斜率存在，设过点M（3，2）与圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0相切的直线方程为y﹣2＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2＝0，
所以有，整理得12k2﹣5k＝0，解得k＝0，或；
因此，所求直线方程分别为：y﹣2＝0或，整理得y＝2或5x﹣12y+9＝0．
故选：A．
【知识点】圆的切线方程
9.（2020•山东模拟）直线x+2y+t＝0被圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0截得的弦长为2，则t的值为（ ）
A．4± B．± C．4+ D．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0，即圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4，圆的圆心（4，﹣1），半径为2；
直线x+2y+t＝0被圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0截得的弦长为2，
可知圆心到直线的距离为1，可得，
解得t＝±．
故选：B．
【知识点】直线与圆相交的性质、直线与圆的位置关系
10.（2020春•荔湾区期中）在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4）两点之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），
两点之间的距离为：＝．
故选：D．
【知识点】空间两点间的距离公式
11.（2020春•荔湾区期中）已知直线l：x+2y+4＝0，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，若点M是圆C上一动点，则点M到直线l的距离的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．3
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，的圆心（2，2），半径为：，
所以圆心到直线的距离为：＝2，
点M到直线l的距离的最小值为：2＝．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系
12.（2020春•天河区期末）设P为圆（x﹣2）2+（y+2）2＝1上的动点，则点P到直线x+y﹣4＝0的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（2，﹣2），半径为1．
∵圆心（2，﹣2）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝，
∴点P到直线x+y﹣4＝0的最小距离为4﹣1＝3．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系
13.（2020•山东模拟）已知圆C：x2+（y+1）2＝16，过点P（0，1）的直线l交C于A，B两点，当圆上的点到直线l的距离最大为6时，直线l的方程为（ ）
A．x＝1 B．y＝1 C．y＝1或x＝0 D．x＝1或y＝0
【解答】解：点P（0，1）可得02+（1+1）2＜16，
所以点P（0，1）在圆的内部，
设圆的圆心到直线的距离为d，
则圆上的点到直线的距离的最大值为为4+d，所以4+d＝6，可得d＝2，
当直线l的斜率存在时，时直线方程y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0，
所以d＝＝2，解得k＝0，所以直线方程为y＝1，
当直线的斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意，
故选：B．
【知识点】直线与圆的位置关系
14.（2020秋•安徽月考）A（6，13）和B（12，11）是平面上圆C上两点，过A，B两点作圆C的切线交于x轴上同一点，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知AB中垂线为CD，AB中点E（9，12），
则直线CD方程为：y＝3x﹣15，故D（5，0），在△ACD中，
，，，
∵△CAD∽△AED，
故，，
故圆C面积为S＝，
故选：C．
【知识点】圆的切线方程
15.（2020秋•庐阳区校级期中）若圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0上的任意一点P（m，n）关于直线l：2ax+3by+9＝0对称的点仍在圆M上，则（m﹣a）2+（n﹣b）2的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0，得（x+2）2+（y+1）2＝4，
则圆心M（﹣2，﹣1），半径r＝2．
∵圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0上的任意一点P（m，n）关于直线l：2ax+3by+9＝0对称的点仍在圆M上，
∴圆心（﹣2，﹣1）在直线l：2ax+3by+9＝0上，可得2a×（﹣2）+3b×（﹣1）+9＝0，
即4a+3b﹣9＝0．
圆心（﹣2，﹣1）到直线4a+3b﹣9＝0的距离d＝，
则（m﹣a）2+（n﹣b）2的最小值为（d﹣r）2＝（4﹣2）2＝4．
故选：D．
【知识点】直线与圆的位置关系
二、填空题（共10小题）
16.（2020秋•长兴县校级月考）过x﹣y﹣2＝0上一点P（x0，y0）作直线与x2+y2＝1相切于A，B两点．当x0＝3时，切线长|PA|为 ；当|PO|•|AB|最小时，x0的值为 ．
【解答】解：（1）当x0＝3时，y0＝1，即P（3，1），
∴|PO|＝＝，|PA|＝＝3；
（2）如图示：
PO⊥AB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴S△APB＝|PO|•|AB|＝|OA|•|PA|+|OB|•|PB|＝|OA|•|PA|＝|PA|，
∴|PO|•|AB|＝2|PA|＝2＝2，
则当OP垂直于直线时，|PO|取得最小值为＝，
此时|PO|•|AB|取得最小值为2，且P的坐标是（1，﹣1），即x0＝1，
故答案为：3，1．
【知识点】圆的切线方程
17.（2020秋•思明区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，0），B（0，4），从直线AB上一点P向圆x2+y2＝1引两条切线PC，PD，切点分别为C，D．设线段CD的中点为M，则线段AM的长度的最大值为 ．
【解答】解：如图，
直线AB的方程为x﹣y+4＝0，设P（x0，y0），则y0＝x0+4，①
以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣x0x﹣y0y＝0，
联立，可得CD所在直线方程为：x0x+y0y＝1，②
∵线段CD的中点为M，则直线OM：x0y﹣y0x＝0，③
联立①②③消去x0，y0，可得M的轨迹方程为，
圆心坐标为（，），半径r＝，
又A（﹣4，0），
∴线段AM的长度的最大值为＝．
故答案为：．
【知识点】直线与圆的位置关系
18.（2020•浙江模拟）已知圆心在原点的圆O与直线l：y＝x+1相切，则圆O的半径为 ；若圆O沿着直线l向上滚动一周得到圆O′，则圆O′的圆心坐标为 ．
【解答】解：根据题意，原点（0，0）到直线l的距离d＝＝，
若圆心在原点的圆O与直线l相切，则圆O的半径r＝d＝，
若圆O沿着直线l向上滚动一周得到圆O′，设圆O′的圆心坐标为（m，n），（m＞0，n＞0），
则OO′＝2π×＝π，
且直线OO′与直线l平行，则有，
解可得：m＝，n＝，
即O′的坐标为（，），
故答案为：，（，）．
【知识点】圆的切线方程、直线与圆的位置关系
19.（2020•浙江模拟）已知直线l：λx+y+2﹣3λ＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，当直线l与圆C相切时，λ＝ ；当直线l截圆C所得的弦最长时，λ＝ ．
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，
即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（1，2），半径r＝2，
若直线l与圆C相切，则圆心到直线l的距离d＝＝2，解得λ＝，
当直线l经过圆心C时，直线l截圆C所得的弦最长，
此时有λ+2+2﹣3λ＝0，解可得λ＝2，
故答案为：；2．
【知识点】圆的切线方程、直线与圆的位置关系
20.（2020秋•常熟市月考）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：2x﹣y＝0上第三象限内的点，B（﹣5，0），以线段AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l相交于另一点D，若AB⊥CD，则圆C的标准方程为 ．
【解答】解：根据题意，设A（a，2a），（a＜0），
B（﹣5，0），则AB的中点C的坐标为（，a），
以AB为直径为圆，即圆C的方程为（x﹣a）（x+5）+y（y﹣2a）＝0，即x2+y2+（5﹣a）x﹣2ay﹣5a＝0，
联立，解可得或，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
若AB⊥CD，即⊥，则有•＝（a+5）×+2a（a+2）＝0，
解可得：a＝﹣3或1，
又由a＜0，则a＝﹣3，
故A的坐标为（﹣3，﹣6），圆C的圆心为（﹣4，﹣3），其半径r＝＝，
则圆C的方程为x2+y2+8x+6y+15＝0，
故答案为：x2+y2+8x+6y+15＝0．
【知识点】圆的标准方程、直线与圆的位置关系
21.（2020•山东模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，P（3，1）是圆C外的一点，Q是圆C上任意一点，M是PQ的中点，直线l：x﹣y﹣4＝0上存在两点A，B，使得∠AMB≥，则|AB|的取值范围为 ．
【解答】解：设点M（x，y），则点Q（2x﹣3，2y﹣1），
即（2x﹣3﹣1）2+（2y﹣1﹣3）2＝4，整理得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
∴点M的运动轨迹是以（2，2）为圆心，以1为半径的圆．
∵∠AMB≥，∴点M所在的圆在以AB为直径的圆的内部，
而AB在直线l：x﹣y﹣4＝0上，故点M的运动轨迹的圆心到直线x﹣y﹣4＝0的距离d＝，
∴．
∴|AB|的取值范围为[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【知识点】直线与圆的位置关系
22.（2020春•天河区期末）已知圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，则圆心C的坐标为 ；设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，则m的取值范围是 ．
【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣8y+16＝0，即：（x+3）2+（y﹣4）2＝9，则圆心C的坐标为（﹣3，4）；
设A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点Q，使得AQ⊥QB，
则以AB为直径的圆和圆C有交点，
故故两圆的圆心距大于或等于半径之差小于或等于半径之和．
而以AB为直径的圆的圆心为原点，半径为m，
∴|3﹣m|≤≤m+3，即|3﹣m|≤5≤m+3，
求得2≤m≤8，
故答案为：（﹣3，4）；[2，8]．
【知识点】圆的一般方程
23.（2020秋•山东月考）已知圆C1：（x﹣1）2+y2＝4与圆C2：x2+（y﹣1）2＝1相交于A，B两点，则|AB|＝ ．
【解答】解：把两个圆的方程相减可得直线AB方程：2x﹣2y+3＝0，
则圆心C1（1，0）到直线AB距离d＝＝，
故|AB|＝2＝．
故答案为：．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
24.（2020秋•安徽月考）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（2，4），其欧拉线的方程为x﹣y＝0，则△ABC的外接圆方程为 ．
【解答】解：线段AB的中点（0，2）、AB的斜率为＝1，故AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣2＝0，
将AB垂直平分线方程与欧拉线的方程x﹣y＝0联立，可得，求得，
可得圆心坐标为D（1，1），故半径DA＝＝，
故△ABC的外接圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝10，
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝10．
【知识点】圆的标准方程
25.（2020秋•万州区校级期中）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是 ，|AB|•|CD|的最大值是 ．
【解答】解：若|AB|长度最小，则圆心到直线l1 距离d最长，
此时直线l1⊥OP，dmax＝，则|AB|min＝2＝2；
设圆心O到直线l1的距离为d1，到直线l2的距离为d2，
则，
|AB|＝，|CD|＝，
则|AB|•|CD|＝4＝2×5＝10．
当且仅当d1＝d2＝时上式取等号．
故答案为2；10．
【知识点】直线与圆的位置关系
三、解答题（共10小题）
26.（2020秋•海淀区校级期中）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，求r的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，设圆心C（0，b），
由于圆过（0，0），（0，2）两点，则有
∴0+（b﹣0）2＝0+（b﹣2）2，求得b＝1，半径为|b|＝1，故圆C的方程为 x2+（y﹣1）2＝1．
（2）若圆C与圆D：（x﹣1）2+y2＝r2有公共点，
则两圆的圆心距大于或等于半径之差而小于或等于半径之和，
即|r﹣1|≤≤1+r，解可得﹣1≤r≤+1．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定、圆方程的综合应用
27.（2020秋•长兴县校级月考）已知圆C：x2+（y﹣3）2＝8和动圆P：（x﹣a）2+y2＝8交于A，B两点．
（1）若直线AB过原点，求实数a；
（2）若a＞0且AB交x轴于Q，求△PQC面积的最小值及此时的|AB|．
【解答】解：（1）根据题意，圆C：x2+（y﹣3）2＝8，圆心为（0，3），半径R＝2，
圆P：（x﹣a）2+y2＝8，圆心为（a，0），半径r＝2
若两圆相交于A，B两点，则有＜R+r＝4，解得﹣＜a＜，
联立两圆方程，则公共弦直线AB：﹣6y+9＝﹣2ax+a2，
若AB过原，则有a2＝9，即a＝±3，符合题意，
故a＝±3，
（2）根据题意，由（1）的结论，直线AB的方程为﹣6y+9＝﹣2ax+a2，
令y＝0，可得x＝＝（a﹣），即xQ＝（a﹣），
由P（a，0），得|PQ|＝|（a﹣）﹣a|＝|a+|＝（a+），
△PQC面积S＝|PQ|×3＝（a+）≥，当且仅当a＝3时，等号成立，
即△PQC面积的最小值为，此时直线AB为y＝±x，
圆C的圆心C到直线AB的距离d＝＝，
此时|AB|＝2×＝．
【知识点】直线与圆的位置关系
28.（2020秋•北碚区校级期中）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
（2）若从圆C外一点P（1，﹣2）向该圆引切线PA和PB（A，B为切点），求弦长AB的大小．
【解答】解：（1）根据题意，要求切线在两坐标轴上的截距相等，且截距不为零，
则设切线方程为x+y+m＝0（m≠0），
又由圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，
圆心C到切线的距离等于半径，则有d＝r＝＝，
解可得m＝﹣3或1，
故要求所求的直线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0，
（2）根据题意，P（1，﹣2），则|PC|＝＝2，
|PA|＝＝＝3
则有S△PAC＝×|CA|×|PA|＝|PC|×，
变形可得：|AB|＝＝＝．
【知识点】圆方程的综合应用、圆的切线方程、直线与圆的位置关系
29.（2020秋•兖州区期中）在①A（4，a），B（﹣2，4）；②A（b，6），B（﹣2，b）；③A（4，6），B（c，4）中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知A，B的中点坐标是（1，5），且_____．
（1）求直线AB的方程；
（2）求以线段AB为直径的圆的方程．
【解答】解：若选①，由中点坐标公式得，
解得a＝6，
所以A（4，6），B（﹣2，4）；
若选②，由中点坐标公式得，
解得b＝4，
所以A（4，6），B（﹣2，4）；
若选③，由中点坐标公式得，
解得c＝﹣2，
所以A（4，6），B（﹣2，4）；
（1）设直线上的点的坐标为（x，y），A（4，6），B（﹣2，4），
则有y﹣6＝（x﹣4），化简得x﹣3y+14＝0．
（2）由|AB|＝＝2，
所以圆的半径r＝，圆心坐标为（1，5），
所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2＝10．
【知识点】圆的标准方程
30.（2020秋•河西区期中）已知圆P：x2+y2﹣4＝0，圆Q：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0．
（Ⅰ）分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离；
（Ⅱ）求这两个圆的公共弦的长．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆P：x2+y2﹣4＝0，即x2+y2＝4，圆心P为（0，0），半径R＝2，
圆Q：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0，即（x﹣2）2+（y+2）2＝20，其圆心Q为（2，﹣2），半径r＝2，
圆心距d＝＝2，
（Ⅱ）根据题意，，联立可得：4﹣4x+4y﹣12＝0，变形可得x﹣y+2＝0，
即公共弦所在直线的方程为x﹣y+2＝0，
圆心P到直线x﹣y+2＝0的距离d′＝＝，
则公共弦的弦长l＝2×＝2．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
31.（2020秋•峨山县校级期中）已知圆C：x2+y2﹣8y+12＝0和直线l：mx+y+2m＝0．
（1）求圆C的圆心坐标和半径；
（2）当m为何值时，直线l和圆C相切．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣8y+12＝0整理可得：x2+（y﹣4）2＝4，所以圆心为（0，4），半径r＝2；
（2）由题意可得＝2，解得：，
所以当m＝﹣时，直线与圆相切．
【知识点】直线与圆的位置关系
32.（2020秋•黎川县校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4．
（Ⅰ）过点A（2，3），作圆C的两条切线，切点分别为B，D，求直线BD的方程；
（Ⅱ）若点G是圆C上的任意一点，F（﹣3，0），是否存在定点P，使得＝，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，圆C的圆心为（﹣2，0），AB⊥BC，AD⊥CD，
则A，B，C，D四点共圆，且以AC为直径，
所以该圆的圆心坐标为（，），即（0，），
故该圆的半径r＝＝，
所以该圆的方程为x2+（y﹣）2＝，
联立，两式相减得4x+3y+4＝0，
所以直线BD方程为：4x+3y+4＝0．
（Ⅱ）假设存在定点P，使得＝，
设P（m，n），G（x0，y0），则（x0+2）2+y02＝4，
因为＝，所以＝，
整理得3（x02+y02）+24x0+2mx0+2ny0+36﹣m2﹣n2＝0，
所以﹣12x0+24x0+2mx0+2ny0+36﹣m2﹣n2＝0，
即（12+2m）x0+2ny0+36﹣m2﹣n2＝0，
由G（x0，y0）为圆C上任意一点，
可得，解得，
所以存在定点P（﹣6，0），满足＝．
【知识点】直线和圆的方程的应用
33.（2020秋•平城区校级期中）已知直线l：x+y﹣5＝0，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0．
（1）求直线l被圆截得的弦长；
（2）在直线l取一点P（5，0），设Q为圆C上的点，求|PQ|的取值范围．
【解答】解：（1）由x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，
∴圆心C的坐标为（2，2），半径r＝，
圆心（2，2）到直线x+y﹣5＝0的距离d＝，
则直线l被圆截得的弦长为；
（2）∵P（5，0），∴|PC|＝，
∴|PC|+r＝，|PC|﹣r＝．
∵|PC|﹣r≤|PQ|≤|PC|+r，
∴|PQ|的取值范围是．
【知识点】直线与圆的位置关系
34.（2020春•思明区校级期中）已知圆C1：x2+y2+6x＝0关于直线l1：y＝2x+1对称的圆为C．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（﹣1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB．若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）圆C1化为标准式为（x+3）2+y2＝9，
设圆C1的圆心C1（﹣3，0）关于直线l1：y＝2x+1的对称点为C（a，b），
则，且CC1的中点在直线l1：y＝2x+1上，
∴有，
解得：，
∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝9；
（2）要使OA⊥OB，必须使，即：x1x2+y1y2＝0．
①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x＝﹣1，与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9交于两点，．
∵，∴OA⊥OB，
∴当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝﹣1满足条件．
②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝k（x+1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由得：（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4＝0．
，，
由于点（﹣1，0）在圆C内部，∴△＞0恒成立．
要使OA⊥OB，必须使，即x1x2+y1y2＝0，
也就是：，
即，
∴
整理得：4k﹣4＝0，解得：k＝1，
∴直线l的方程为y＝x+1．
故存在直线x＝﹣1和y＝x+1，使得OA⊥OB．
【知识点】直线与圆的位置关系
35.（2020秋•上月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣2，﹣4），圆O：x2+y2＝4与x轴的负半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．
（1）设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，求k1+k2的值：
（2）设AB的中点为M，点N（﹣1，0），若MN＝OM，求△QAB的面积．
【解答】解：（1）当直线垂直于x轴时，不合题意；
故设直线方程为y+4＝k（x+2），
联立，得（1+k2）x2+4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
∴＝
＝＝，
即k1+k2＝﹣1；
（2）设中点M（x0，y0），由（1）知，，①
代入直线l的方程得，②
又由MN＝OM，得，
化简得：，
将①②代入上式，可得k＝4，
∴圆心到直线l的距离d＝．
∴|AB|＝2，
Q到直线l的距离h＝，
∴＝＝．
【知识点】直线与圆的位置关系
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