初中数学人教版七年级下册9.2 一元一次不等式优质学案设计

一元一次不等式

【知识导图】

【教学建议】

 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表形式.它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是今后学生学习的基础.通过具体实例建立不等关系，探索不等式的性质，了解不等式的解集以及不等式的概念.

不等式的性质与等式的性质的联系及区别．

联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等．

区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别．

不等式基本性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变．即如果a＞b,那么a±c＞b±c．

不等式基本性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．即如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc 或ac＞bc ．

不等式基本性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc 或ac＜bc ．

(1)注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘以(或除以)同一个式子．

(2)注意对不等号的方向变与不变的理解．

(3)一定要注意不等式的性质3的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视．

解一元一次不等式的一般步骤

1. 去分母
2. 去括号
3. 移项
4. 合并同类项
5. 系数化为1

不等式在实际生活中的应用

根据等量关系列方程是我们解应用题的常用方法,但有的应用题中的数量是不等关系,我们可以仿照列方程的方法,根据题目中的不等关系列出不等式也可使问题得解．

解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)2(1＋x)＜3;           (2)≥.

【答案】

解：(1)去括号，得

　　　2＋2x＜3.

移项，得

　　　2x＜3－2.

合并同类项，得

　　　2x＜1.

系数化为1，得

　　　x＜.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．

(2)去分母，得

　　　3(2＋x)≥2(2x－1)．

去括号，得

　　　6＋3x≥4x－2.

移项，得

　　　3x－4x≥－2－6.

合并同类项，得

　　　－x≥－8.

系数化为1，得

　　　x≤8.

这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．

【解析】 依据解一元一次不等式的一般步骤, 要注意不等号的变号问题, 在数轴上表示出来解集.

根据不等式的基本性质, 把下列不等式化成x＞a 或x＜a 的形式:

(1)x－2＜3;   (2)6x＞5x－1;  (3)－4x＞4．

【答案】 (1) 由不等式的性质1可知, 不等式的两边都加上2,不等号的方向不变,

所以x－2＋2＜3＋2, 即x＜5．

(2) 由不等式的性质1可知,不等式的两边都减去5x, 不等号的方向不变, 所以

6x－5x＞5x－1－5x, 即 x＞－1．

(3) 由不等式的性质3可知, 不等式的两边都除以－4,不等号的方向改变, 所

以x＜－1．

【解析】适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形, 注意不等号方向的“不变”与“改变”．

去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？

【答案】解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x，去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x＋365×60%)天空气质良好，并且＞70%.

去分母，得

　　　x＋219＞255.5.

移项，合并同类项，得

　　　x＞36.5.

由x应为正整数，得

　　　x≥37.

答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.

【解析】 “明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即＞70%.

甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？

【答案】(1) 当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．

（2）当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，      因此到乙商场购物花费少．

(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x＞100)元．

①若到甲商场购物花费少，则

50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100)．

解得　　　　　x＞150.

这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．

②若到乙商场购物花费少，则

50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100)．

解得　　　　　x＜150.

这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．

③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100)．

解得　　　　　x＝150.

这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．

【解析】 在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：

(1)累计购物不超过50元；

(2)累计购物超过50元而不超过100元；

(3)累计购物超过100元．

1.下列变形中，不正确的是（　　）

A．由，可得  B．由，可是

C．由，可得　　　 D．由，可得

2.在数轴上表示下列不等式的解集:

(1) x＞1;  (2)x≥1;  (3)x＜－2; (4) x≤ -2．

3.不等式的解集是（　　）

Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】由不等式的性质解答．

2.【答案】

【解析】 利用数轴表示不等式的解集.

3.【答案】C.

【解析】根据解不等式的步骤进行计算.

1.不等式2x＞3﹣x的解集是（   ）

A．x＞3        B．x＜3       C．x＞1      D．x＜1

2.不等式2x+3≥5的解集在数轴上表示正确的是（   ）

A．

B．

C．

D．

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】 不等式2X>3-x移项得  2x+x>3

系数化1得x＞1.

故答案为:C.

2.【答案】D.

【解析】不等式移项,得2x≥5-3

合并同类项, 系数化1,得

包括1时,应用点表示,不能用空心的圆圈,表示1这一点.

故答案为:D

1. 关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（  ）

A.0         B.-3         C.-2       D.-1

2. 解关于x的不等式ax-5>3x+6
3. 小华家距离学校千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】不等式2x-a≤-1的解集为，数轴上所表示的解集为x≤-1，

所以，解得a=-1,故应选D.

2.【答案】（1）当a-3>0,时系数化为1，得

(2)当a-3<0,时，

（3）当a-3=0时，不等式无解.

3.【答案】千米／时

在本节课的学习中，重点是利用一元一次不等式的性质进行不等式的计算，同时注意符号的变化问题.一元一次不等式组的解集和解法, 灵活解一元一次不等式组，会运用不等式组的解集解决相关问题.

1.下列不等式中，是一元一次不等式的是(   )

A．2x-1＞0     B．-1＜2      C．3x-2y≤-1    D．

2. 不等式2x＞﹣3的解是（   ）

A．x＜       B．x＞       C．x＜       D．x＞

答案与解析

1.【答案】A.

【解析】解:A、是一元一次不等式

B、不含未知数,不符合定义

C、含有两个未知数,不符合定义

D、未知数的次数是2,不符合定义

2.【答案】B.

【解析】 根据不等式的性质二不等式两边除以2,就可以得出解集.

1.不等式2x-4≤0的解集在数轴上表示为（   ）

A．         B．

C．          D．

2. 不等式3(x-1)≤5-x的非负整数解有(   )

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

3. 解不等式

答案与解析

1.【答案】B．

【解析】解将不等式2X-4≤0移项

可得:2x≤4

将其系数化为1,可得x≤2.

X≤2解集包括2时,在数轴上应该用实心圆来表示,方向向左

故B符合题意.

2.【答案】C.

【解析】 先求出不等式的解集,再确定不等式的非负整数解即可.

3.【答案】x>2

【解析】去分母，得5x-1-3x>3  移项、合并同类项，得2x>4

系数化为1，得x>2.

1.下列说法不一定成立的是（　　）

A．若a＞b，则a+c＞b+c

B．若a+c＞b+c，则a＞b

C．若a＞b，则a＞b

D．若a＞b，则a＞b

2.不等式|x﹣1|＜1的解集是（   ）

A．x＞2      B．x＜0      C．1＜x＜2     D．0＜x＜2

3.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1，2，3，4，则a的取值范围是（   ）

A．            B．a≤

C．≤a＜﹣1           D．a≥

答案与解析

1.【答案】C．

【解析】解:A、在不等式a>b的两边同时加上C,不等式仍成立, 即a+C>b+C, 故本选项错误.B、在不等式a+C>b+c的两边同时减去C,不等式仍成立,即a>b,故本选项错误. C、当C=0时,若a>b,则不等式aC2>bC2不成立,故本选项正确. D、在不等式ac2>bc2的两边同时除以不为0的c2,该不等式仍成立,即a>b,故本选项错误. 故选:C

2.【答案】 D.

【解析】解：①当x﹣1≥0，即x≥1时，原式可化为：x﹣1＜1， 解得：x＜2，

∴1≤x＜2；

②当x﹣1＜0，即x＜1时，原式可化为：1﹣x＜1，

解得：x＞0，

∴0＜x＜1，

综上，该不等式的解集是0＜x＜2，

故选：D．

3.【答案】C.

【解析】 先求出不等式组的解集,然后根据整数解是1,2,34得到关于a的不等式组,解不等式组即可求解. 注意要根据a的正负情况讨论.