选修1-22.2直接证明与间接证明备课ppt课件
展开1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质.
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知识点一 双曲线的几何性质
知识点二 等轴双曲线实轴和虚轴 的双曲线叫做 ，它的渐近线是 .思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？答案 不一样.椭圆的离心率0
当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上.
题型探究 重点突破
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.
跟踪训练1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∵A(2，－3)在双曲线上，
跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程.
解得k＝4或k＝－14(舍去).
∵双曲线过点(3 ，2)，
解 设直线l的方程为y＝2x＋m，
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.
(1)求实数a的取值范围；
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得P(0,1)，
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
例4 已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1)过定点P(2,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
分析 (1)点P是弦P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系数的关系和中点坐标公式可求解.(2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况.解 (1)若直线的斜率不存在，即P1P2⊥x轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l的斜率存在.故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1.
得(2－k2)x2＋2k(2k－1)x－4k2＋4k－3＝0.
设直线l与双曲线的交点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
因为点P(2,1)是弦P1P2的中点，
当k＝4时，Δ＝4k2(2k－1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k－3)＝280＞0.
综上所述，所求直线方程为y＝4x－7.
(2)假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，
所以2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2⊥x轴，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1,1)，
所以直线Q1Q2的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
即2x2－4x＋3＝0，得Δ＝16－24＜0.这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在.
在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，对Q1Q2是否与x轴垂直进行了讨论.
2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，
又虚轴长是实轴长的2倍，
又a2＋b2＝c2＝25，
解得b2＝5，a2＝20，故选A.
5.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为____.解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，∵c>b，∴只有∠B1F1B2＝60°，
又a2＝c2－b2＝2b2，
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