高中3.2导数的计算测试题

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课时提升作业(二十)

几个常用函数的导数

与基本初等函数的导数公式

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.下列各式中正确的是　(　　)

A.(lnx)′=x       B.(cosx)′=sinx

C.(sinx)′=cosx     D.(x-8)′=-x-9

【解析】选C.因为(lnx)′=,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-,所以A,B,D均不正确,C正确.

2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是　(　　)

A.1    B.0    C.2    D.

【解析】选D.因为y′=,所以当x=2时,y′=,故图象在x=2处的切线斜率为.

3.(2015·西安高二检测)运动物体的位移s=3t2-2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为　(　　)

A.281    B.58    C.85    D.10

【解析】选B.因为s=3t2-2t+1,所以s′=6t-2.

当t=10时,s′=6×10-2=58.

即此物体在t=10时的瞬时速度为58.

4.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是　(　　)

A.∪        B..

所以直线l的斜率的范围是,

所以直线l倾斜角的范围是∪.

5.(2015·沈阳高二检测)已知f(x)=,则f′(-1)=　(　　)

A.     B.-    C.    D.-

【解题指南】先利用初等函数的求导公式求导,再求f′(-1)的值.

【解析】选D.因为f(x)==,

所以f′(x)=-,

所以f′(-1)=-(-1=-.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知f(x)=xa,a∈Q,若f′(-1)=-4,则a=________.

【解析】因为f′(x)=axa-1,

所以f′(-1)=a(-1)a-1=-4,所以a=4.

答案:4

【补偿训练】y=xα在x=1处的切线方程为y=-4x,则α的值为________.

【解析】y′=(xα)′=αxα-1,

由条件知,当x=1时,y′=-4,即α=-4.

答案:-4

7.(2015·长春高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为________.

【解析】设P(x0,y0),因为y′=′=(4x-2)′=-8x-3,tan135°=-1,

所以-8=-1.

解得x0=2,y0==1.

答案:(2,1)

8.曲线y=cosx在点A处的切线方程为________.

【解析】因为y′=(cosx)′=-sinx,

所以当x=时,y′=-sin=-,

所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y--=0.

答案:x+2y--=0

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.求下列函数的导数:

(1)y=x15.(2)y=.(3)y=.(4)y=10x.

【解析】(1)y′=(x15)′=15x14.

(2)y′=′=(x-9)′=-9x-10=-.

(3)y′=()′=()′==.

 (4)y′=(10x)′=10xln10.

10.(2015·惠州高二检测)求过曲线y=ex上点P(1,e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程.

【解题指南】先求出切线的斜率,再求出其垂线的斜率,进而得出直线方程.

【解析】因为y′=ex,

所以曲线在点P(1,e)处的切线斜率是e,

所以过点P且与切线垂直的直线的斜率k=-,

所以所求直线方程为y-e=-(x-1),

即x+ey-e2-1=0.

【补偿训练】已知函数y=asinx+b的图象过点A(0,0),B,试求函数在原点处的切线方程.

【解析】因为y=asinx+b的图象过点A(0,0),B,所以解得

所以y=sinx.

又因为y′=cosx,所以当x=0时,y′=1.

所以函数在原点处的切线方程为y=x.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2015·惠州高二检测)下列函数求导正确的是　(　　)

A.(x2)′=x      B.′=-

C.′=      D.(ln3)′=

【解析】选B.因为(x2)′=2x,′=-,

′=,(ln3)′=0.所以B选项正确.

2.(2015·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为

　(　　)

A.    B.-    C.-e    D.e

【解析】选D.设切点为(x0,).y′=ex,

当x=x0时,y′=,

所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),

即y=x+(1-x0),又y=kx是切线,

所以所以

【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k=　(　　)

A.     B.-    C.-e    D.e

【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=,当x=x0时,y′=,所以过切点的切线方程为y-lnx0=(x-x0),即y=x+lnx0-1,

所以所以

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·西安高二检测)若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,则y′=

f′(x)=________.

【解题指南】先求出函数y=f(x)的解析式,再进行求导.

【解析】因为f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,

所以f(x)=x2,f′(x)=2x.

答案:2x

4.(2015·梅州高二检测)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为________.

【解析】y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=.

an=lgxn=lg=lgn-lg(n+1),

则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.

答案:-2

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.求过点(2,0)且与曲线y=x3相切的直线方程.

【解题指南】先判断点是否在曲线上,然后根据具体情况求切线方程.

【解析】点(2,0)不在曲线y=x3上,可令切点坐标为(x0,).y′=3x2由题意,所求直线方程的斜率k==3,即=3,解得x0=0或x0=3.

当x0=0时,切点坐标是(0,0),斜率k=0,则所求直线方程是y=0;

当x0=3时,切点坐标是(3,27),斜率k=27,则所求直线方程是y-27=27(x-3),即27x-y-54=0.

综上,所求的直线方程为y=0或27x-y-54=0.

【补偿训练】已知曲线C:y=x3.

(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.

(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?

【解析】(1)因为y′=3x2,所以切线的斜率k=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

(2)由消去y得,3x-x3-2=0,

所以(x-1)2(x+2)=0,所以x1=1,x2=-2.

所以(1)中的切线与曲线C还有其他公共点,为(-2,-8).

6.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.

【解题指南】表示出过点(a,)与曲线相切的直线方程,用a表示出三角形的面积,解方程求a.

【解析】因为y′=-·,

当x=a时,y′=-·,

所以在点(a,)处的切线方程为(y-)=-··(x-a),令x=0,得y=,令y=0,得x=3a,所以×3a×=18,解得a=64.

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