数学七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计及反思

这是一份数学七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计及反思，共9页。教案主要包含了教学重难点，教学过程，情景导入，初步认识，思考探究，获取新知，运用新知，深化理解，师生互动，课堂小结，课后作业，教学反思等内容，欢迎下载使用。

知识与技能
1．掌握二元一次方程组解应用题的一般方法．
2．掌握数量问题、数字问题、利润问题的二元一次方程应用题的解法．
过程与方法
经历对各类二元一次方程应用题的学习，掌握各题型基本数量关系和基本解题技巧．
情感态度价值观
让同学们体验数学知识是解决实际问题的有力武器，提高数学学习兴趣．
【教学重难点】
重点：列二元一次方程组解决实际问题．
难点：有关各类应用题中两个相等关系的探求．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
问题1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
分析：本题的等量关系是：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30头大牛用饲料千克数＋15头小牛用饲料千克数＝675 kg，, 大牛用饲料千克数＋小牛用饲料千克数＝940 kg.))
设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg，
根据以上等量关系，列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
这就是说，每头大牛1天约需________ kg，每头小牛1天约需饲料________ kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计________，对小牛的食量估计________．
问题2 一个两位数，个位数字比十位数字大2，若交换两数的位置，得到的新两位数比原两位数大18.求这个两位数．
分析：设个位数字为x，十位数字为y，则原两位数可表示为________，新两位数为________，根据题意得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
问题3 某商场购进商品后，加价40%作为销售价．后来在促销活动中，商场决定将甲、乙两种商品分别按七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品共付款399元，这两种商品原销售价之和为490元，则这两种商品的进价分别为多少元？
分析：本题的两个等量关系是：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(甲标价的70%＋乙标价的90%＝ .,甲的标价 ＋ ＝ .))
并且标价＝(1＋利润率)×进价．
设甲商品进价为x元，乙商品的进价为y元．
根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
答：甲商品的进价为________元，乙商品的进价为________元．
教学说明
同学们可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相交流．
在问题2中，要告知学生两位数的代数式表示法：若十位数字是a，个位数字是b，则这个两位数为10a＋b，不要错写成ab.在问题3中，要抓住标价＝(1＋利润率)×进价，注意将标价、进价、售价、利润率、利润这几个量弄清楚．
【思考探究，获取新知】
思考 1.数字问题的基本数量关系是什么？
2．利润问题的基本数量关系是什么？
归纳结论
两位数＝十位数字×10＋个位数字．
三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．
标价＝进价＋进价×利润率＝(1＋利润率)×进价．
售价＝标价×eq \f(n折,10)(打n折销售时)．
利润＝售价－进价．
利润率＝eq \f(利润,进价)×100%＝eq \f(售价－进价,进价)×100%.
【运用新知，深化理解】
1．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y.则原数为10y＋x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x＋y，
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝5，,10y＋x＋10x＋y＝143，))解方程组得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝4.))
故这个两位数为10y＋x＝10×4＋9＝49.
答：这个两位数为49.
2．一件商品如果按定价打九折出售，可以盈利20%；如果打八折出售，可以盈利10元．问此商品的定价是多少？
解：设此商品的定价为x元，进价为y元．
依题意列方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.9x－y＝20%y，,0.8x－y＝10.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝200，,y＝150.))
教学说明
可让学生自主交流，讨论解答．
【师生互动，课堂小结】
两位数＝十位数字×10＋个位数字．
三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．
标价＝进价＋进价×利润率＝(1＋利润率)×进价．
售价＝标价×eq \f(n折,10)(打n折销售时)．
利润＝售价－进价．
利润率＝eq \f(利润,进价)×100%＝eq \f(售价－进价,进价)×100%.
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题8.3”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本节课的重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型．教学难点是利用相等关系将实际问题转化为数学问题．教学中，采取了让学生通过独立思考、自主探索、合作交流等方式，在思考、交流等数学活动中，养成严谨的思维方式和良好的学习习惯．
第2课时 实际问题与二元一次方程组(2)
【课标要求】
知识与技能
面积问题、百分数问题、工程问题．
过程与方法
先独立作业，再交流成果．
情感态度价值观
加强应用能力训练，提高数学兴趣．
【教学重难点】
重点：工程问题．
难点：分析题目中的两个等量关系．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
问题1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2，现把一块长200 m，宽100 m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？(结果取整数)
分析：如图，一种方案为：
甲、乙两种作物种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
此时设AE＝x m，BE＝y m.
两种等量关系是：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(甲作物总产量：乙作物总产量＝3∶4，,种甲作物面积＋种乙作物面积＝总面积.))
根据题意可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x∶2y＝3∶4，,x＋y＝200.))
可得方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
问题2 某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该学校现有在校初中生多少人？在校高中生多少人？
分析：设该校现有在校初中生人数为x，在校高中人数为y.
根据题意填表
由上表列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
问题3 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来．把这个工程交给了甲、乙两个施工队，工期为50天．甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米；10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成．问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
分析：本题的等量关系是
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(甲队原速度＋乙队原速度＝ ，,甲队施工量 ＋ ＝ .))
设甲队原计划每天修x千米，乙队原计划每天修y千米．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
答：甲队原计划每天修________千米，乙队原计划每天修________千米．
教学说明
先由学生独立完成，再交流成果，最后总结．
在问题1中，要告知学生若列成比例式就不是二元一次方程组，而是八年级才会接触到的分式方程组．
在问题2中，注意把握原有量、现有量、增长量、增长率之间的关系．
在问题3中，要告知学生常见的工程问题除了这种一般类型的，还有一种工作总量为单位“1”的．
【思考探究，获取新知】
思考 几何问题的应用题应注意哪些知识点？
归纳结论
几何问题的应用题应注意有关几何的知识，如长方形面积、三角形面积公式等．
【运用新知，深化理解】
1．某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力为：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工，为解决这个问题，所列方程组正确的是( D )．
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝140，,16x＋6y＝15)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝140，,6x＋6y＝15))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝15，,16x＋6y＝140)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝15，,6x＋16y＝140))
2．如图，8块相同的小长方形地砖恰好能拼成一个大长方形，且该大长方形的宽为20 cm，求每块小长方形地砖的面积．
3．某瓜农采用大棚栽培技术在一块地上种植了良种西瓜，这块地产西瓜约600个．在西瓜上市前，该瓜农随机摘下若干个成熟的西瓜，称重如下：
记录时不小心洒了墨水，现又知质量为5.0千克及以下的平均每个重4.8千克，质量为4.9千克及以上的平均每个重5.1千克．若每千克西瓜售价为3元，此瓜农在这块地的西瓜可收入大约多少元？
教学说明
在教学过程中，学生独立思考后，合作完成．教师巡视，针对有困难的学生，给予指导，最后讲解总结．
【师生互动，课堂小结】
方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．要根据问题中的数量关系列出方程组．解出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题8.3”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本课用二元一次方程组解决问题的教学过程充分体现了以学生为主体，让学生积极参与的教学模式，充分发挥了学生的主动意识．在解决问题过程中学生的各种解题方法，扩大了学生的思维能力，通过让学生体验解题的技巧，从而树立了学生学习的信心，激发了学生学习的积极性，让学生真正成为课堂的主人．
第3课时 实际问题与二元一次方程组(3)
【课标要求】
知识与技能
图文信息问题、行程问题、方案设计问题、其他问题．
过程与方法
先独立作业，再交流成果．
情感态度价值观
加强应用能力训练，提高数学兴趣．
【教学重难点】
重点：行程问题、方案设计问题．
难点：分析题目中的两个等量关系．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
问题1 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
分析：设产品重x吨，原料重y吨，
根据题意填表
题目所求数值是________，为此需先解出________与________．由上表，列方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多________元．
问题2 某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中，甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台？
分析：选择A型号的电脑后，另外一种只能从D、E当中选，所以可分情况讨论．本题中存在的两个等量关系是
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A型号电脑数量＋D或E型号电脑数量＝ ，,A型号电脑价格＋ ＝ .))
(1)当选用方案(A，D)时，设购买A型号、D型号电脑分别为x台，y台．
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))经检验，________.
(2)当选用方案(A，E)时，设购买A型号、E型号电脑分别为x台，y台．
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))经检验，________.
问题3 (吉林中考)如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度是28 cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224 cm，设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm，求x，y的值．
分析：本题存在两个等量关系：一是演员的身高是高跷长度的2倍；二是演员的身高与高跷和腿重合部分长度的差等于演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度与高跷的长度的差．
设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm.
根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( ., .))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ ，,y＝ .))
答：演员的身高为________ cm，高跷的长度为________ cm.
教学说明
在问题1中，要告知学生这种设未知数的方法叫“间接设法”．
在问题2中，应用分类讨论思想，注意对求得的结果进行检验．
在问题3中，要注意挖掘图中已知条件，找出等量关系．
【思考探究，获取新知】
思考 行程问题的基本数量关系是什么？追及问题、相遇问题的基本等量关系是什么？
归纳结论
行程问题：路程＝速度×时间．追及问题：快车路程－慢车路程＝被追路程．相遇问题：两者路程之和＝两者开始的距离．
【运用新知，深化理解】
1．甲、乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快．当两物体反向运动时，每15秒钟相遇1次；当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度．
(提示：反向：甲15秒所走路程＋乙15秒所走路程＝600，同向：甲60秒所走路程－乙60秒所走路程＝600.)
解：设甲物体的速度为x m/s，乙物体的速度为y m/s.
依题意列方程组得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(15x＋15y＝600，,60x－60y＝600.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝25，,y＝15.))
2．两地相距280千米，一艘轮船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时．求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解：设这艘轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，
依题意列方程组得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(14（x＋y）＝280，,20（x－y）＝280.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝17，,y＝3.))
3．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这批货车的情况如下表：
现租用该公司4辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付费30元计算，问货主应付费多少元？
解：设甲、乙两种货车每次分别运货x吨，y吨，
依题意有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝15.5,5x＋6y＝35，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.5))
这批货吨数为：4×4＋5×2.5＝28.5(吨)．
货主应付费：28.5×30＝855(元)．
答：货主应付费855元．
教学说明
题1、2是行程问题，其中对于环形问题，反向运动的实质是相遇问题，同向运动的实质是追及问题．题3是图表信息题．在教学过程中，学生独立思考后，合作完成．教师巡视，针对有困难的学生，给予指导，最后讲解总结．
【师生互动，课堂小结】
行程问题：路程＝速度×时间
工程问题：工作量＝工作效率×时间
顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水(风)速
逆水(风)速度＝静水(风)速度－水(风)速
【课后作业】
1．布置作业：从教材“习题8.3”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
【教学反思】
本节课的重点是让学生抓住实际问题的等量关系建立方程组模型，以此解决行程问题、图文信息问题和方案设计问题等．教学中采取让学生独立思考、合作交流等方式，帮助学生形成严谨的思维方式，养成良好的学习习惯．
现在
一年后增加
在校初中生
在校高中生
在校学生总数
西瓜质量(千克)
5.6
5.2
5.0
4.9
4.6
4.2
西瓜数量(个)
1
2
1
1
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
第一次
第二次
甲种货车辆数(单位：辆)
2
5
乙种货车辆数(单位：辆)
3
6
累计运货吨数(单位：吨)
15.5
35