人教B版 (2019)必修 第一册2.2.2 不等式的解集学案

  2.2.2　不等式的解集

最新课程标准：掌握不等式的解集，理解绝对值不等式，会解简单的不等式组．

知识点一　不等式的解集与不等式组的解集

一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．

知识点二　绝对值不等式

含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．

知识点三　数轴上两点间的距离及中点坐标公式

(1)距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|a－b|.

(2)中点坐标公式：A(a)，B(b)，线段AB的中点M对应的数为x，则x＝.

[基础自测]

1．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为(　　)

A．13  B．0

C．4   D．－2

解析：根据数轴标好相应的点易判断．

答案：C

2．不等式的解集是(　　)

A．{x|x<－2}     B．{x|x<2}

C．{x|－2<x≤3}  D．{x|－2<x<3}

解析：由可得则x<－2，故选A.

答案：A

3．集合M＝{x|x>0，x∈R}，N＝{x||x－1|≤2，x∈Z}，则M∩N＝(　　)

A．{x|0<x≤2，x∈R}  B．{x|0<x≤2，x∈Z}

C．{－1，－2,1,2}    D．{1,2,3}

解析：由题得N＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{1,2,3}．故选D.

答案：D

4．不等式|x＋1|<5的解集为________．

解析：|x＋1|<5⇒－5<x＋1<5⇒－6<x<4.

答案：{x|－6<x<4}

题型一　不等式组的解集[经典例题]

例1　解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

(1)(2)

【解析】　分别求出各不等式的解集，再求出各个解集的交集，并在数轴上表示出来即可．

(1)解不等式2x＋3>1，得x>－1，

解不等式x－2<0，得x<2，

则不等式组的解集为{x|－1<x<2}．

将解集表示在数轴上如下：

(2)解不等式x－>，得x>2，

解不等式x＋8<4x－1，得x>3，

则不等式组的解集为{x|x>3}，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

方法归纳

一元一次不等式组的求解策略

熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此类问题的关键．

跟踪训练1　不等式组的解集是(　　)

A．{x|x<－2}　 B．{x|－2<x≤1}

C．{x|x≤－2}  D．{x|x≥－2}

解析：解①，得x≤1，解②，得x<－2，

∴不等式组的解集为{x|x<－2}，故选A.

答案：A

题型二　解绝对值不等式[教材P66例题2]

例2　设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．

【解析】　因为AB的中点对应的数为，所以由题意可知≤5，即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范围是[－13,7]．

【答案】[－13,7]

方法归纳

含有绝对值的不等式的解题策略

解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据所求不等式的结构，选用恰当的方法．此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解．

跟踪训练2　解不等式3≤|x－2|<4.

解析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解．

原不等式等价于

由①，得x－2≤－3，或x－2≥3，∴x≤－1，或x≥5.

由②，得－4<x－2<4，∴－2<x<6.

如图所示，原不等式的解集为{x|－2<x≤－1，或5≤x<6}．

题型三　数轴上的基本公式及应用[经典例题]

例3　已知数轴上的三点A、B、P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．

(1)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时P与线段AB是什么关系？

(2)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)，若不存在，请说明理由．

【解析】　根据数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式求解．

(1)由题意知可以化为或或或解得x＝1.

∴点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．

(2)不存在这样的P(x)，理由如下：

∵AB＝|3－(－1)|＝4<6，

∴在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的.

方法归纳

数轴上基本公式的应用

(1)已知数轴上两点的坐标可用两点间的距离公式求距离，若已知两点间的距离，也可用距离公式求相应点的坐标；

(2)中点坐标公式可以解决三点共线问题．其中已知两点坐标，可用公式求第三点的坐标．

跟踪训练3　已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在射线BA上，且有＝，问在线段CD上是否存在点E使＝？如存在，求点E坐标，如不存在，请说明理由．

解析：设C(x)，E(x′)，则＝＝，x＝－5，所以C(－5)，

∵E在线段CD上，所以＝＝，4x′＋20＝3－x′，x′＝－∈(－5,3)，

∴在线段CD上存在点E，使＝.

课时作业 11

一、选择题

1．数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP－PN等于(　　)

A．－4  B．4

C．12   D．－12

解析：MP＝(－5)－3＝－8，PN＝(－1)－(－5)＝4，MP－PN＝－8－4＝－12.

答案：D

2．不等式组的解集是(　　)

A．{x|x≤2}      B．{x|x≥－2}

C．{x|－2<x≤2}  D．{x|－2≤x<2}

解析：化简可得因此可得－2≤x<2.故选D.

答案：D

3．不等式组的解集是x>1，则m的取值范围是(　　)

A．m≥1  B．m≤1

C．m≥0  D．m≤0

解析：不等式整理，得由不等式组的解集为x>1，得到m＋1≤1，解得m≤0.故选D项．

答案：D

4．[2019·天津卷]设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由|x－1|<1可得0<x<2.故“0<x<5”是|x－1|<1的必要而不充分条件．故选B项．

答案：B

二、填空题

5．若点P(1－m，－2m－4)在第四象限，且m为整数，则m的值为________．

解析：∵点P(1－m，－2m－4)在第四象限，且m为整数，

∴解得－2<m<1，则m为－1,0.

答案：－1,0

6．不等式<的解集为________．

解析：∵<，∴|x－1|>2，∴x－1>2或x－1<－2，即x>3或x<－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)

7．数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)距离的2倍，则x＝________.

解析：由题意知，|x＋8|＝2|x＋4|，即|x＋8|＝|2x＋8|，即x＋8＝±(2x＋8)，解得x＝0或x＝－.故P(0)或P.

答案：0或－

三、解答题

8．解不等式组：

解析：由x＋1<5，得x<4.由2(x＋4)>3x＋7，得2x＋8>3x＋7，即x<1.所以不等式组的解集为(－∞，1)．

9．若不等式|2x－a|≤x＋3对任意x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围．

解析：不等式|2x－a|≤x＋3去掉绝对值符号得－x－3≤2x－a≤x＋3，即对任意x∈[0,2]恒成立，变量分离得只需即所以a的取值范围是[－1,3]．

[尖子生题库]

10．解不等式：|x＋7|－|x－2|≤3.

解析：方法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1(如图所示)．

从图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．

方法二：令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2.

①当x<－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，

∴－9≤3成立，∴x<－7.

②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.

③当x>2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.

∴原不等式的解集为(－∞，－1]．

方法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，

构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即

y＝

作出函数的图象(如图)，从图可知，

当x≤－1时，有y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，

∴原不等式的解集为(－∞，－1]．