人教版数学九年级上册24.3《正多边形的画法》（第2课时）练习（原卷版+解析版）

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24.3正多边形的画法（第2课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·全国·九年级课时练习）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）．
乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（    ）

A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断
【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知，
六边形是正六边形，即甲同学的作业正确．
由乙同学的作业可知．依次画弧可得．
六边形为正六边形，即乙同学的作业正确．
故选C
【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键．
2．（2022·江苏·九年级课时练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，-3）．则顶点C的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，连接BD交CF于点M，交y轴于点N，设AB交x轴于点P，

根据题意得：BD∥x轴，AB∥y轴，BD⊥AB，∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，
∴BN=OP，∠CBD=CDB=30°，BD⊥y轴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为（2，-3），
∴AP=3，OP=BN=2，
∴，BP=1，
∴点C的纵坐标为1+2=3，
∴点C的坐标为．
故选：A
【点睛】本题考查正多边形，勾股定理，直角三角形的性质，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（   ）

A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．

【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．

二、填空题
4．（2022·湖北·武汉市第十一中学九年级阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角α最小可以为_____度．

【答案】60
【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：该图形可以看做为一个正六边形，
∵360°÷6=60°，
∴旋转角α最小可以为60°，
故答案为：60
【点睛】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．
5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为______．

【答案】（，）
【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标．
【详解】解：根据题意，点D与点A关于原点对称，
∵点A的坐标为：（1，），
∴点D的坐标为：（，）；
故答案为：（，）；
【点睛】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键．
6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号）

【答案】
【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．
【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，
∴OH=，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝，

∵AH＝HG＝，
∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．
7．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 _____平方分米．


【答案】
【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为16（平方分米），
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形与圆，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．

三、解答题
8．（2022·陕西·西安铁一中滨河学校九年级开学考试）如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点.
【详解】如图即为所求作的菱形

理由如下：
∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图和菱形的性质，解题的关键是掌握尺规作图和菱形的性质.
9．（2022·江苏·九年级课时练习）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．
（1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___．
（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：
①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
        
【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；
（2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；
②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．
【详解】（1），
∵O为三角形的外心，
∴O为三角形三边中垂线的交点，
又∵三角形为等边三角形，
∴可得CD垂直平分AB，
根据垂径定理可得：；
（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；

②如图所示：（方法不唯一）

【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
10．（2022·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图：

(1)在图1中，画出CD的中点G；
(2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；
（2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．
（1）
如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求；

（2）
如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求．

【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键．
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示的是以O为圆心的圆，上有一点A，请用尺规作图法，求作的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】直接作出直径AC，再过点O作AC的垂线，进而得出答案；
【详解】如图所示：正方形ABCD即为所求；

【点睛】此题主要考查了圆内接正方形的作图，正确掌握正方形的性质是解题关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）

【答案】见解析
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为的直径，
∴BD为的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是的内接正方形．

【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：

①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（　　）
A．②③ B．①③ C．② D．①
【答案】A
【分析】①根据题意可知过点作于，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得，即可判断①；
②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；
③依题意可知图形的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：标注字母如图，过点作于

，为的三等分点，为是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴中，，

在中


，
，


①不正确，
图形，边长为6，所以图形的周长为
如图，依题意可得
则，依题意，是正六边形，

所以图形的周长为
把图2中空白部分记作“图形”，由①可得，
是正六边形，
所以图形的周长为
∴图形的周长之比为=3：2：；
故②正确；
如图，过点作于点， 交内切圆于点，则即为所求，

根据正六边形的性质可得是等边三角形，
，
，
，
，
故③正确，
故选A．
【点睛】本题考查了正六边形与内切圆的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，理解题意求得各线段长是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（    ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
3．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可．
【详解】解：如图所示，

∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴，，，
因此每个正六边形的面积为：，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为，
矩形的面积为：，
因此图中阴影部分的面积是：，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．

二、填空题
4．（2022·黑龙江绥化·三模）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____．

【答案】．
【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可．
【详解】连接OD,OC,OE,

∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE==45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE=∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为____．

【答案】2
【详解】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．

6．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于____；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____．

【答案】          见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【详解】（1）∵⊙的半径为：，
∴⊙的周长，
故答案为：
（2）如图：
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，  
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．  
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，  
∴，
∴．
∵，
∴，
∵过圆心, ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．

故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．

三、解答题
7．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室一模）如图，正六边形ABCDEF在正三角形网格内，点O为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）在图1中，过点O作AC的平行线；
（2）在图2中，过点E作AC的平行线．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）利用正六边形的特性作图即可；
（2）结合等边三角形的性质以及正六边形的性质作图即可.
【详解】（1）如图所示（答案不唯一）：

（2）如图所示（答案不唯一）：

8．（2021·江苏·九年级专题练习）已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图．

（1）在图1中作点P，使得是等腰三角形：
（2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【分析】（1）直接利用正多边形的性质得出顶点P的位置；
（2）利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置．
【详解】解：（1）如图所示：点P为所求；
（2）如图所示：点O为所求；

【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质和正多边形的性质，正确应用正五边形的性质是解题关键．
9．（2020·吉林省实验繁荣高级中学九年级期中）图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．

（1）在图①中画一个四边形 ABCD，点D在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求 ．
（2）在图②中画一个四边形 ABCE，点E在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求 ．
【答案】（1）图见详解，6 ；（2）图见详解，4.5
【分析】（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知∠CBA=∠CDA，然后用用割补法求出面积即可；
（2）根据图中正方形网格和∠B的特点，作出∠E与∠B互补，然后用割补法求面积即可．
【详解】解：（1）如图，

S四边形ABCD=3×4-×2--=6；
（2）如图，

S四边形ABCE=3×3-×2--=．
【点睛】此题主要考查了应用设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．
10．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）已知已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；
（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．

【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形；
（2）连接AC，CF，即可得到所求三角形；
【详解】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形；
（2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形．

【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键．
11．（2021·全国·九年级专题练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．

（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；
（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；
（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可．
（2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可．
（3）作直径BE，CF，作直线EF即可．
【详解】解：（1）如图1，直线AF即为所求作．

（2）如图2，直线GH即为所求作．

（3）如图3，直线EF即为所求作．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2022·广东深圳·一模）如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见详解
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．
【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．

【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
13．（2022·全国·九年级课时练习）已知：射线
求作：，使得点在射线上，，．
作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵ 为⊙的直径，
∴__________．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；
（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示：            
       
（2）证明：连接．
∵ 为⊙的直径，
∴90．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
．
【点睛】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．
14．（2022·北京四中九年级阶段练习）阅读下面材料：

小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为∠APB的度数；
（2）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后求出，即为∠APB的度数；
（3）把△APB绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，可得， 过点A作于M，设与AF相交于N，证明 再利用勾股定理可得答案．
（1）
解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转得到，

由旋转的性质，
∴是等边三角形，
∴
∵
∴  
∴
故；
故答案为：．
（2）
如图3，把△APB绕点A逆时针旋转得到，

由旋转的性质，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴，
∴，
故．
（3）
如图4，∵正六边形的内角为，
∴把△APB绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，
∴，
过点A作于M，设与AF相交于N，

设
则
∴
∴
由旋转的性质可得：  
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．
15．（2022·全国·九年级课时练习）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．

【答案】见解析
【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．
【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．