【同步教案】人教版数学九年级上册-- 24.3 正多边形和圆（第1课时) 教案

24.3 正多边形和圆

第1课时

一、教学目标

【知识与技能】

了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.

【过程与方法】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系.

【情感态度与价值观】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共2课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.

【教学难点】 

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、边心距，边长之间的关系.

五、课前准备 

课件、图片、直尺等.

六、教学过程

（一）导入新课

出示课件2,3：

观察上边的美丽图案，思考下面的问题：

（1）这些都是生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能找出正多边形吗？

（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样做一个正多边形呢？

学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.（板书课题）

（二）探索新知

探究一 正多边形的对称性

教师问：什么叫做正多边形？（出示课件5）

学生答：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.

教师问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

学生答：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；

教师强调：正多边形：①各边相等；②各角相等，两个条件，缺一不可.

教师问:正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？（出示课件6,7）

学生动手操作，交流，感受正多边形的对称性.

教师归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.

探究二  正多边形的有关概念

教师问:以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？（出示课件8，9）

师生结合图形共同探究：

EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB,OD=OC.

GH是边AD、BC的垂直平分线，

∴OA=OD,OB=OC.

∴OA=OB=OC=OD.

∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.

AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，

∴OE=OH=OF=OG.

∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.

出示课件10：

教师问：所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？

学生答：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

教师问：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?

学生答：一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.

教师问：所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？

学生答：多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.

教师出示概念：（出示课件11）

1.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.

2.外接圆的半径叫做正多边形的半径.

3.内切圆的半径叫做正多边形的边心距.

4.正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于

练一练：（出示课件12）完成下面的表格：

学生计算交流并填表.

探究三  正多边形的有关计算

出示课件13：如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：

①它的中心角等于    度；

②OC   BC(填＞、＜或＝）；

③△OBC是      三角形；

④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的     倍.

⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________.

学生计算交流后，教师抽学生口答.

①60；②=；③等边；④6；⑤

出示课件14:例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).

教师分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.师生共同解答:（出示课件15）

解：过点O作OM⊥BC于M.

在Rt△OMB中,OB＝4,MB＝，

利用勾股定理,可得边心距，

亭子地基的面积：

巩固练习：（出示课件16）

如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是（    ）

A．60°       B．45°       C．36°     D．30°

学生独立思考后自主解答：C.

教师归纳：圆内接正多边形的辅助线（出示课件17）

1.连半径，得中心角；

2.作边心距，构造直角三角形.

巩固练习：（出示课件18）

已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？

学生独立思考后解答，一生板演.

解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长为x.

∴ 另一边长为8-x.

则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2,即

当x==4,另一边为4时，S有最大值＝8.

∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8.

（三）课堂练习（出示课件19-24）

1.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度.

2.填表：

3.若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是_____.

4.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为_____度.（不取近似值）

5.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.

6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．

7.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？

8.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.

(1)求图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；

(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.

参考答案：

1.360°解析：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.

2.

3.3

4.

5.

6.解：∵正方形的面积等于4，

∴正方形的边长AB=2.

则圆的直径AC=2，

∴⊙O的半径=.

∴⊙O的面积为

7.解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，

∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.

∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，

∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.

∴CG=BC=.

∵CG⊥BD，

∴BD=2BG=2×=2×3=6.

∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．

8.解：⑴①120°；②90°；③72°；

⑵.

（四）课堂小结

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？

（五）课前预习

预习下节课（24.3第2课时）的相关内容.

七、课后作业

配套练习册内容

八、板书设计：

九、教学反思：

本节课通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些基本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，体现了化归的思想.