人教版初中数学九年级上册24.3正多边形和圆 (课件PPT+预习案+教案+分层练习)

九年级上册24.3正多边形和圆教案

学习目标：

1.理解正多边形与圆的有关概念以及它们之间的关系.

2.掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系.

3会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.

学习重难点：

重点:正多边形和圆的关系，正多边形的半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.

难点:正多边形的半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.

一、复习回顾

什么样的图形是多边形？

什么样的图形是正多边形？

二、情境导入

观看美丽的图案

(1)这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常见到的图案,你能从这些图案中找出正多边形吗?

(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗?怎样作出一个正多边形呢?

三、知识讲解

1.正多边形的有关概念

各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.

⑴将一个圆分为五等分，依次连接各等分点得到一个五边形,这个五边形一定是正多边形吗?

∵====，

∴AB= BC=CD= DE=EA，==.

∴∠C=∠D.

同理可证:∠A=∠B=∠C=∠D=∠E,

∴五边形ABCDE是正五边形.

∵点A、B、C、D、E在⊙O上，

∴五边形ABCDE是圆内接正五边形.

⑵如果将圆n等分,依次连接各等分点得到个n边形,这个n边形一定是正n边形吗?能否按照证明圆内接正五边.形的方法证明圆内接正n边形吗？

可以按照仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.

正多边形的有关概念

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形的半径：外接圈的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

正多边形的对称性：所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心，n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

圆的外切正n边形:把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径,而不是内切圆的半径.

边心距与弦心距的关系:边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距.

敲黑板划重点

任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆;任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.

2.正多边形的有关计算

内角：.

中心角：.

外角：.

半径、边长、边心距的关系：R²=r²+（）².

周长：C=na

面积：S==Cr

敲黑板划重点

(1)正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，所以在进行与正多边形有关的计算时，可以把正多边形的计算转化到直角三角形中,利用勾股定理等知识解决.

(2)由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多边形的中心角和内角互补.

3.正多边形的画法

要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可，具体画法如下:

⑴用量角器等分圆，再顺次连接各等分点作正多边形.

⑵用尺规等分圆，再顺次连接名等分点作正多边形

正四边形、正八边形、正十六边形的作法

在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把⊙O四等分，从而作出正四边形；再用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直的直径，就可以作出正八边形;同理可以作出正十六边形等边数连次倍增的正多边形.

正六边形、正十二边形、正三角形的作法

先画⊙O的任意一条直径AB、再分别以点A、B为圆心，以⊙O的半径R为半径画弧，与⊙O相交于点C、D和E、F,顺次连接点A、C、E,、B、F、D、A得正六边形CEBFD.在正六边形的基础上可作正十二边形，连接BD、BC、CD.得正三角形.

此方法是一种比较准确的等分圆的方法，但有局限性，不能将圆任意等分.

四、例题精讲

1.正多边形的作图 

例1已知半径为R的⊙O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.

方法总结

作圆内接正多边形常有两种方法:

(1)用量角器等分圆周法;

(2)用尺规等分圆周法.

变式训练

作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.

2.正多边形的计算

例2如图,有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位).

方法总结

正n边形的两条相邻的半径和它的一条边可以把正多边形分成n个全等的等腰三角形，而中心到各边的垂线段又把每个等腰三角形分成两个全等的直角三角形，这样正n边形的有关计算就可以放到直角三角形中来处理.

变式训练

如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O,四边形EFGH是正方形,连接OF 、OG.

(1)求正方形EFGH的面积;

(2)求∠OGF的度数.

深入探究

如图,正六边形ABCDEF的对角线AC,AE,BF分别交于点G,H.求证:BG= GH=HF.

我的收获

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