初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆精品教案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆精品教案设计，共21页。教案主要包含了圆内接正多边形的判断，正多边形的有关计算，对正多边形的概念，混淆正多边形和圆的有关概念致错等内容，欢迎下载使用。

24.3 正多边形和圆





1．正多边形及有关概念


只要把一个圆分成 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的


圆．


一个正多边形的外接圆的 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的 叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 .


2．正多边形的有关计算


一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ；正多边形的中心角与外角的大小 .


易错点：易把正多边形的内切圆的半径(即边心距)当作正多边形的半径．








1．相等 外接 圆心 半径 圆心角 边心距


2． 相等











一、圆内接正多边形的判断


证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：


（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可.


（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等.


技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.


已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．





【解析】连接BF，CE，





∵AB=AC，


∴∠ABC=∠ACB，


又∵∠BAC=36°，


∴∠ABC=∠ACB=72°．


又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，


∴AF=CF，AE=BE，


∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，


∴，


∴AE=AF=BE=BC=FC，


∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．


∴五边形AEBCF为正五边形．


二、正多边形的有关计算


正多边形的相关计算技巧：


（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；


（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍.


（2019·贵阳市）如图，正六边形ABCDEF内接于，连接BD.则∠CBD的度数是





A.30°B.45°


C.60°D.90°


【答案】A


【解析】∵在正六边形ABCDEF中，，


∴，故选A.


三、对正多边形的概念、性质理解模糊


判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.


（1）各边相等的多边形是正多边形；（ ）


（2）圆内接菱形是正方形；（ ）


（3）各个角相等的圆内接多边形是正多边形；（ ）


（4）正多边形都是中心对称图形.（ ）


【易错提示】易因不理解正多边形的概念、性质而出错.


（1)菱形的各边相等，但它不一定是正方形；


（2）圆内接菱形的四个顶点将圆周4等分，所以它是正方形；


（3）圆内接矩形的各角都相等，但它不一定是正方形；


（4）当正多边形的边数为奇数时，该正多边形不是中心对称图形.


【正解】（1)×（2）√(3）×(4）×


四、混淆正多边形和圆的有关概念致错


求边长为a的正方形的半径.


【易错提示】正多边形有外接圆和内切圆，这两个圆是同心圆.正多边形的半径是指它的外接圆的半径，不要误认为正多边形的半径是它的内切圆半径


【正解】作正方形ABCD的外接圆，连接OA,OB.


在△AOB中，AB=a,∠AOB==90°，OA=OB.


由勾股定理，得OA2+OB2=a2，


∴，即边长为a的正方形的半径为.











1．是一个正n边形的外接圆，若的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为


A．4 B．5


C．6 D．7


2．一个圆的内接正六边形的边长为4，则该圆的内接正方形的边长为


A． B．


C． D．8


3．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于


A．120° B．6°


C．114° D．114°或6°


4．顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是





A．ACE是等边三角形


B．ACE既是轴对称图形也是中心对称图形


C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC


D．图中一共能画出3条对称轴


5．若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的中心角为


A．20° B．45°


C．60° D．90°


6．下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120°的六边形是正六边形；⑤各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________．


7．如图，已知正三角形ABC内接于，AD是的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若CD= cm，求的半径.





8．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）．


（1）求∠BPC的度数；


（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．




















9．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为





A．30° B．45°


C．50° D．60°


10．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为


A．1∶∶ B．∶∶1


C．3∶2∶1 D．1∶2∶3


11．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：


①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；


②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；


③连接OG．


问：OG的长是多少？


大臣给出的正确答案应是





A．3r B．（1+22）r


C．（1+32）r D．2r


12．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为____________．


13．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是____________度．





14．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．





图2中的图案外轮廓周长是_________；


在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_________．


15．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.





16．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________.





17．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=________.（结果保留根号）


18．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP=CQ，则 ∠POQ=________.








19．（2019·贵阳市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是





A．30°B．45°


C．60°D．90°


20．（2019·绥化市）下列命题是假命题的是


A．三角形两边的和大于第三边


B．正六边形的每个中心角都等于


C．半径为的圆内接正方形的边长等于


D．只有正方形的外角和等于


21．（2019·湖州市）如图，已知正五边形内接于，连接，则的度数是





A．B．


C．D．


22．（2019.河池）如图，在正六边形ABCDEF中，，则它的边长是





A．B．


C．D．


23．（2019.陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___________.


24．（2019·青岛市）如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．





25．（2019·海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为_________度.








1．【答案】因为的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角为60°，


∴，∴，故选C.


2．【答案】B


【解析】∵圆内接正六边形的边长是4，


∴.圆的半径为4.


那么直径为8.


圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于8.


∴圆的内接正方形的边长是.


故选：B.


3．【答案】D


【解析】如图，连接OA，OB，OC，


∵AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O的内接正六边形的一边，


∴∠AOC=360∘6=60∘，∠AOB=360∘5=72°，


∵OA=OC=OB，


∴∠OAB=54°，∠OAC=60°，


若AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAC-∠OAB=6°，


当AB、AC在OA两侧时，则∠BAC=∠OAC+∠OAB=54°+60°=114°．


∴∠BAC=6°或114°．故选D.








4．【答案】B


【解析】A.∵多边形ABCDEF是正六边形，


∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；


B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；


C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；


D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．


故选B．


5．【答案】B


【解析】∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，


∵多边形的外角之和为360°，∴边数，


∴该正多边形为正八边形，故这个正多边形的中心角为：.


故选：B.


6．【答案】②


【解析】①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；


②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成n个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；


③错误，正奇数边形不是中心对称图形；


④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为120°，但不是正六边形；


⑤错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．


故答案为：②.


7．【答案】6 cm


【解析】连接OA、OD、OC，如图所示：


∵等边内接于，AD为内接正十二边形的一边，


∴，，


∴，


∵OC=OD，


∴是等腰直角三角形，


∴，


即的半径为6 cm.





8．【解析】（1）连接OB，OC，





∵四边形ABCD为正方形，


∴∠BOC=90°，


∴∠P=∠BOC=45°；


（2）过点O作OE⊥BC于点E，


∵OB=OC，∠BOC=90°，


∴∠OBE=45°，


∴OE=BE，


∵OE2+BE2=OB2，


∴BE=，


∴BC=2BE=2×.


9．【答案】B


【解析】∵正六边形ADHGFE的内角为120°，


正方形ABCD的内角为90°，


∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，


∵AB=AE，


∴∠BEA=×（180°-150°）=15°，


∵∠DAE=120°，AD=AE，


∴∠AED==30°，


∴∠BED=15°+30°=45°．


故选B．


10．【答案】B


【解析】设圆的半径为R，


如图(一)，


连接OB，过O作OD⊥BC于D，


则∠OBC=30°,,


故BC=2BD=R；


如图(二)，


连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，


则△OBE是等腰直角三角形，


2BE2=OB2,即BE=R，


故BC=R；


如图(三)，


连接OA、OB，过O作OG⊥AB，


则△OAB是等边三角形，


故AG=R，AB=2AG=R，


故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R: R:R=::1.





11．【答案】D


【解析】如图连接CD，AC，DG，AG．





∵AD是⊙O直径，


∴∠ACD=90°，


在RtACD中，AD=2r，∠DAC=30°，


∴AC=3r，


∵DG=AG=CA，OD=OA，


∴OG⊥AD，


∴∠GOA=90°，


∴OG=AC2-OA2=(3r)2-r2=2r，


故选：D．


12．【答案】2:1


【解析】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，





过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，


∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，


∴O为正方形ABCD的中心，


∴∠BOC=90°，


∵OQ⊥BC，OB=CO，


∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，


∴OQ=22R；


设⊙O的内接正△EFG，如图，





过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，


∵正△EFG是⊙O的外接圆，


∴∠OGF=12∠EGF=30°，


∴OH=12R，


∴OQ：OH=（22R）：（12R）=2：1，


故答案为：2：1．


13．【答案】72


【解析】如图，连接OA、OB、OC，


∠AOB=360°5=72°，


∵∠AOB=∠BOC，OA=OB，OB=OC，


∴∠OAB=∠OBC，


在△AOM和△BON中，


OA=OB∠OAM=∠OBNAM=BN，


∴△AOM≌△BON，


∴∠BON=∠AOM，


∴∠MON=∠AOB=72°，


故答案为：72．





14．【答案】14,21


【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；


设∠BPC=2x，


∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：360180-2x=18090-x，


以∠APB为内角的正多边形的边数为：360x，


∴图案外轮廓周长是=18090-x﹣2+360x﹣2+360x﹣2=18090-x+720x﹣6，


根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，


当x越小时，周长越大，


∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，


则会标的外轮廓周长是=18090-30+72030﹣6=21，


故答案为：14，21．


15．【答案】48°


【解析】连接OA，





∵五边形ABCDE是正五边形，


∴∠AOB=360°5=72°，


∵△AMN是正三角形，


∴∠AOM=360°3=120°，


∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，


故答案为48°．


16．【答案】72°


【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，


∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，


∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，


∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，


故答案为：72°．


17．【答案】23


【解析】依照题意画出图象，如图所示．





∵六边形ABCDEF为正六边形，


∴△ABO为等边三角形，


∵⊙O的半径为1，


∴OM=1，


∴BM=AM=33，


∴AB=233，


∴S=6S△ABO=6×12×233×1=23．


故答案为：23.


18．【答案】72°．


【解析】连接OA、OB、OC，


∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，


∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，


在△OBP和△OCQ中，∵OB=OC，∠OBP=∠OCQ，BP=CQ，


∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，


∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，


∴∠BOP=∠QOC，


∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，


∴∠POQ=∠BOC=72°．


故答案为：72°．





19．【答案】A


【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，


∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，


故选：A．


【名师点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．


20．【答案】D


【解析】A、三角形两边的和大于第三边，A是真命题，不符合题意；


B、正六边形条边对应个中心角，每个中心角都等于，B是真命题，不符合题意；


C、半径为的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径，设边长等于，则：，解得边长为，C是真命题，不符合题意；


D、任何凸边形的外角和都为，D是假命题，符合题意，


故选D.


【名师点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.


21．【答案】C


【解析】∵五边形为正五边形，


∴，


∵，


∴，


∴，


故选C．


【名师点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．


22．【答案】D


【解析】如图，过点B作于点G.





正六边形ABCDEF中，每个内角为，


∴∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，


∴AG=AC=，


∴GB=1，AB=2，即边长为2.


故选D.


【名师点睛】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键.


23．【答案】6


【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，，为两个边长相等的等边三角形，


∴AD=2AB=6，故答案为6.





【名师点睛】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答.


24．【答案】54


【解析】连接AC，CF，





∵AF是⊙O的直径，


∴∠ACF=90°，


∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，


∴∠AFC=∠AOC=72°，


∴∠CAF=18°，∴ .


易得∠BDC=36°，


∴∠BDF=36°+18°=54°，


故答案为：54．


【名师点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．


25．【答案】144


【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，


∴.


∵AB、DE与⊙O相切，


∴∠OBA=∠ODE=90°，


∴∠BOD=，故答案为：144.帮—重点
正多边形及有关概念
帮—难点
正多边形及有关概念
帮—易错
混淆正多边形和圆的有关概念