专题8.2 一元一次不等式-2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）

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专题8.2 一元一次不等式【七大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc6774" 【题型1 一元一次不等式的概念】  PAGEREF _Toc6774 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5553" 【题型2 一元一次不等式的解法】  PAGEREF _Toc5553 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14282" 【题型3 一元一次不等式的整数解问题】  PAGEREF _Toc14282 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc7188" 【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】  PAGEREF _Toc7188 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc15780" 【题型5 一元一次不等式的最值问题】  PAGEREF _Toc15780 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc8984" 【题型6 含绝对值的一元一次不等式】  PAGEREF _Toc8984 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc13311" 【题型7 方程与不等式的综合求参数范围】  PAGEREF _Toc13311 \h 15【知识点 一元一次不等式】（1）不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解.（2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.【题型1 一元一次不等式的概念】【例1】（2022·安徽·灵璧县黄湾中学八年级阶段练习）下列不等式中是一元一次不等式的是(      )①2x-1＞1；②3+12x＜0；③x≤2.4；④1x＜5；⑤1＞-2；⑥x3-1＜0.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：（1）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；（2）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；（3）符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；(4) 1x是分式，故此不等式不是一元一次不等式，故本小题错误；(5) 此不等式不含未知数,不是一元一次不等式，故本小题错误；(6)) 符合一元一次不等式的定义，故本小题正确；故选:C.【点睛】本题考查的是一元一次不等式，熟知含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【变式1-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校七年级阶段练习）请写出一个解集是x＜1的一元一次不等式：______．【答案】x-1＜0（答案不唯一）【分析】根据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．【详解】移项，得 x-1＜0（答案不唯一）．【点睛】本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．【变式1-2】（2022·全国·七年级单元测试）当时k ______时，不等式(k−2)xk−1+2>0 是一元一次不等式.【答案】-2【详解】根据用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，可由系数不为0，得k-2≠0，解得k≠2，由未知数的次数为1，得|k|-1=1，解得k=±2，因此可得k=-2.故答案为-2.【变式1-3】（2022·山东·聊城市茌平区振兴街道中学八年级阶段练习）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．【答案】m=0， n≠3．【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值.【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，∴二次项系数为零，一次项系数不为零，又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为:mx2+(n-3)x≥0∴解得：m=0，n﹣3≠0．故m=0，n≠3．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键.【题型2 一元一次不等式的解法】【例2】（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）已知2x−13+1≥x−5−3x2，则代数式2−x−x+3最大值与最小值的差是________．【答案】10411【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．【详解】解：2x−13+1≥x−5−3x2，去分母得：2（2x−1）+6≥6x−3（5−3x），去括号得：4x−2+6≥6x−15+9x，移项得：4x−6x−9x≥−15+2−6，合并同类项得：−11x≥−19，解不等式组得：x≤1911；（1）当−3≤x≤1911时，2−x−x+3=2−x−x+3=2−x−x−3=−1−2x，当x=1911时有最小值−4911，当x=−3时有最大值5；（2）当x＜−3时，2−x−x+3=2−x+x+3=2−x+x+3=5，∴当x＜−3时2−x−x+3的值恒等于5（最大值）；∴最大值与最小值的差是5−−4911=5+4911=10411.故答案为：10411.【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．【变式2-1】（2022·河南·郑州市二七区侯寨一中八年级阶段练习）不等式5x-1≤2x+5的解集在数轴上表示正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式移项合并得：3x≤6，解得：x≤2，表示在数轴上，如图所示：，故选：D．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2022·山东淄博·七年级期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：(1)5x−9<2x−3(2)2x3−6x−16≤1【答案】(1)x<2，见解析(2)x≥−52，见解析【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；（1）解：5x−9<2x−3，5x-2x<-3+9，3x<6，x<2；解集在数轴上表示为：（2）解：2x3−6x−16≤1，4x-(6x-1)≤6，4x-6x+1≤6，4x-6x≤6-1，-2x≤5，x≥−52．解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．【变式2-3】（2022·北京市怀柔区第五中学七年级期末）下面是小征同学求不等式4x−13-12(3x-2)≥512解集并在数轴上表示解集的解答过程：第一步：13(4x-1)-12(3x-2)≥512；第二步：13×4x-13×1 ≥512；第三步：16x-4-18x+12≥5；第四步：-2x≥-3；第五步： ．(1)请将第二、五步和在数轴上表示解集补充完整；(2)第二步变形的依据是 ；(3)第三步变形的目的是 ．【答案】(1)见解析(2)乘法分配律(3)去分母【分析】（1）根据不等式的解法解答；（2）根据乘法分配律解答；（3）根据不等式的性质求解即可．（1）第一步：13(4x-1)-12(3x-2)≥512；第二步：13×4x-13×1-12×3x+12×2≥512；第三步：16x-4-18x+12≥5；第四步：-2x≥-3；第五步：x≤32．在数轴上表示解集：（2）第二步变形的依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律；（3）第三步变形的目的是去分母，故答案为：去分母．【点睛】此题考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数时不等号要改变．【题型3 一元一次不等式的整数解问题】【例3】（2022·贵州黔西·七年级期末）若不等式3(x+1)−2⩽4(x−3)+1的最小整数解是方程12x−m=5的解，则m的值为（    ）A．1 B．−11 C．32 D．−232【答案】A【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．【详解】解：3(x+1)−2⩽4(x−3)+1，3x+3−2⩽4x−12+1，3x−4x⩽−12+1−3+2，−x⩽−12，x⩾12，∴该不等式的最小整数解为12，∴把x=12代入方程12x−m=5中，12×12−m=5，6−m=5，m=1，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式3-1】（2022·甘肃定西·七年级阶段练习）不等式34x<1的非负整数解是（    ）A．0 B．1 C．0和1 D．1和2【答案】C【分析】求出不等式的解集，，然后找出整数解，即可求解．【详解】解：∵34x<1，∴x<43，∴不等式34x<1的非负整数解是：0和1．故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决的关键是正确解出不等式的解集，然后根据限制条件进行解答．【变式3-2】（2022·湖南衡阳·七年级期末）满足不等式2n−5<5−2n的正整数有___________、___________．【答案】     1     2【分析】根据一元一次不等式的解法求出n的范围，进而求出满足条件的正整数即可．【详解】解：2n−5<5−2n，移项得2n+2n<5+5，合并同类项得4n<10，系数化为1得n<2.5，∵ n取正整数，∴n=1或2，故答案为：1、2．【点睛】本题考查求一元一次不等式的正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．【变式3-3】（2022·山东枣庄·八年级期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab−a+b−2．例如，2※5=2×5−2+5−2=11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x<4，则不等式的正整数解是______．【答案】1，2【分析】根据题中的新定义运算列出不等式并求解．【详解】解：∵a※b=ab−a+b−2∴3※x=3x−3+x−2∵3※x<4∴3x−3+x−2<44x<9x<94∴该不等式的正整数解为：1，2．故答案为：1，2．【点睛】本题主要考查了新定义运算以及解一元一次不等式，熟练掌握新定义运算和解一元一次不等式是解答本题的关键．【题型4 含参数的一元一次不等式的解法】【例4】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知关于x的不等式a−a5x5(2)当a≠−1时，原不等式有解，当a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a<−1时，原不等式的解集为x<5．【分析】（1）根据解不等式的方法解不等式即可；（2）同（1）将原不等式化为xa+15>a+1，据此求解即可．（1）解：∵a−a5xa+1，∴xa+15>a+1，∵a=2022，∴a+1>0，∴x5>1，∴x>5；（2）解：由题意得原不等式可以化成xa+15>a+1，∴当a+1≠0，即a≠−1时，原不等式有解，当a+1>0，即a>−1时，原不等式的解集为x>5；当a+1<0，即a<−1时，原不等式的解集为x<5．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．【变式4-1】（2022·吉林吉林·七年级期末）关于x的不等式2x−a≥1的解集如图所示，则a的值为（     ）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】C【分析】先求出不等式的解集为x≥a+12，再根据数轴可得x≥1，从而可得a+12=1，解方程即可得．【详解】解：解关于x的不等式2x−a≥1得：x≥a+12，由数轴可知，这个不等式的解集为x≥1，则a+12=1，解得a=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的解集在数轴上的表示，熟练掌握不等式的解法是解题关键．【变式4-2】（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．（2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．【答案】          【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3，∴，故答案为：.（2）∵的解集中最小整数为-2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．【变式4-3】（2022·湖北随州·七年级期末）已知关于x的不等式1−x33；（2）当m≠−1时，原不等式有解；当m>−1时，原不等式的解集为x>3；当m<−1时，原不等式的解集为x<3．【分析】（1）当m=1时，通过求解不等式，即可得到答案；（2）对不等式进行去分母、移项、合并同类项后，根据一元一次不等式的性质，结合m的不同取值范围，即可完成求解．【详解】（1）当m=1时，1−x33；（2）去分母得：3−x3(m+1)∴当m≠−1时，原不等式有解当m>−1时，即m−1>0，原不等式的解集为x>3；当m<−1时，即m−1<0，原不等式的解集为x<3．【点睛】本题考查了一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式、去分母、移项、合并同类项的性质，从而完成求解．【题型5 一元一次不等式的最值问题】【例5】（2022·江苏扬州·七年级阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组2x+y=3k−1,x+2y=−2的解满足x+y>1，则满足条件的k的最小整数是______．【答案】3【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出k的范围，确定出k的最小整数解即可．【详解】解：2x+y=3k−1①x+2y=−2②，①+②，得：3x+3y=3k－3，则x+y=k－1，∵x+y＞1，∴k－1＞1，解得：k＞2，则满足条件的k的最小整数为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-1】（2022·宁夏·永宁县第二中学（永宁县回民高级中学）八年级期中）一元一次不等式x+12>x+23的最大整数解为_____________；【答案】-1【分析】先化简不等式，再求解即可．【详解】解：x+12>x+23，3x+3>6x+4−3x>1x<−13，则最大整数解为：-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集，解决本题的关键是找到不等式解集的最大整数解【变式5-2】（2022·江苏省兴化市大垛中心校七年级期末）已知关于x的方程3k−5x=−9的解是非负数，则k的最小值为________．【答案】−3【分析】把k当作已知数表示出方程的解，根据方程的解为非负数列出不等式，确定出k的范围即可．【详解】解：方程3k−5x=−9，解得：x=3k+95，∵关于x的方程3k−5x=−9的解是非负数，∴3k+95≥0，解得：k≥−3，∴k的最小值为−3．故答案为：−3．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式．根据题意得出不等式是解题的关键．【变式5-3】（2022·全国·八年级课时练习）若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值为n，则不等式的解集是________．【答案】【分析】解不等式2x-1≤13得到x的范围，就可以求出m的值；同理可以求出n的值，这样所求的不等式就是已知的，就可以解不等式．【详解】解：解不等式，解得，则．解不等式，解得，则．∴不等式为：，解得：．故答案为：.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，利用不等式的最值求相关系数，正确的理解不等式的解是本题的关键．【题型6 含绝对值的一元一次不等式】【例6】（2022·江苏·七年级专题练习）若关于x的不等式a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5有解，则a的取值范围是__________.【答案】a≥15【分析】根据绝对值的几何意义，可把x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5取得最小值15，即可求出a的取值范围．【详解】解：由绝对值的几何意义可得，把x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，∴当x位于第8个点时，即当x=-4时，x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5的最小值为15，∵a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5，∴当关于x的不等式a≥x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5有解时，a的取值范围是a≥15．故答案为：a≥15．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得x+1+2x+2+3x+3+4x+4+5x+5的最小值．【变式6-1】（2022·山东淄博·七年级期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是_____．【答案】a＞3．【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围．【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a，解得：a＞3；当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立；当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立，综上，实数a的范围为a＞3．故答案为：a＞3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键．【变式6-2】（2022·全国·九年级专题练习）不等式x−3−x+1>2的解集是__________．【答案】x<0【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2，4>2∴x＜-1，-1≤x≤3时，-x+3-x-1＞2，x<0；x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立.故答案是:x<0【点睛】考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础．【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）解下列不等式：（1）|x+2|−3>0（2）|3x−52|+5<7【答案】（1）x<−5或x>1；（2）130当x≥−2时，则x+2−3>0，解得x>1，∴x>1，当x<−2时，则−x−2−3>0，解得x<−5，∴x<−5，综上，x<−5或x>1；（2）|3x−52|+5<7当3x−52≥0，即x≥53时，3x−52+5<7，解得x<3，∴53≤x<3，当x<53时，则−3x−52+5<7，解得x>13，∴13−1，所以整数a的最小值为0．【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．【变式7-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）已知方程组2x+y=1−mx+2y=2的x，y满足x≥y，求m的取值范围．【答案】m≤−1【分析】先求得方程组的解，后根据x≥y建立不等式求解即可．【详解】因为2x+y=1−m①x+2y=2②②×2-①，得3y=3+m，解得y=3+m3把y=3+m3代入②，得x=−2m3，所以方程组的解为x=−2m3y=3+m3，·因为x≥y，所以−2m3≥3+m3，解得m≤−1．【点睛】本题考查了方程组的解法，不等式的解法，熟练掌握不等式的解法、方程组的解法是解题的关键．【变式7-3】（2022·陕西安康·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−3y=m−1x+y=−3m+7．(1)若方程组的解满足x−y>3m+11，求m的取值范围．(2)当m取（1）中最大负整数值时，求x−y的值．【答案】(1)m<−2(2)6【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据x−y>3m+11得到关于m的不等式，解不等式即可；（2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案．（1）解：x−3y=m−1①x+y=−3m+7②用②－①得：4y=8−4m，解得y=2−m，把y=2−m代入到②得：x+2−m=−3m+7，解得x=5−2m，∵x−y>3m+11，∴5−2m−2+m>3m+11，解得m<−2；（2）解：由（1）得m<−2，∵m取最大负整数，∴m=−3，∴x−y=5−2m−2+m=3−m=3−−3=6．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键．