专题11.3 期中期末专项复习之一元一次不等式十六大必考点-2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）

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专题11.3 一元一次不等式十六大必考点 【华东师大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc14197" 【考点1 不等式（组）的概念辨析】  PAGEREF _Toc14197 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc28123" 【考点2 不等式的基本性质运用】  PAGEREF _Toc28123 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc11492" 【考点3 求含参的不等式的解集】  PAGEREF _Toc11492 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc25291" 【考点4 解不等式（组）】  PAGEREF _Toc25291 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc23302" 【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】  PAGEREF _Toc23302 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc2995" 【考点6 不等式（组）中的新定义运算】  PAGEREF _Toc2995 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc14333" 【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】  PAGEREF _Toc14333 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc6365" 【考点8 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】  PAGEREF _Toc6365 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc8947" 【考点9 根据不等式的整数解求参数范围】  PAGEREF _Toc8947 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc9412" 【考点10 根据实际问题列不等式（组)】  PAGEREF _Toc9412 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc3202" 【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】  PAGEREF _Toc3202 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc25954" 【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】  PAGEREF _Toc25954 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc25446" 【考点13 不等式的应用】  PAGEREF _Toc25446 \h 31  HYPERLINK \l "_Toc25760" 【考点14 根据不等式组的解求参数】  PAGEREF _Toc25760 \h 36  HYPERLINK \l "_Toc28563" 【考点15 分式方程的解与不等式的综合】  PAGEREF _Toc28563 \h 38  HYPERLINK \l "_Toc24969" 【考点16 不等式组的应用】  PAGEREF _Toc24969 \h 41  【考点1 不等式（组）的概念辨析】 【例1】（2022·浙江·八年级期中）下列不等式中，一元一次不等式有    ①x2+3>2x ② 1x−3>0 ③ x−3>2y ④x−1π≥5π ⑤ 3y>−3 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【详解】分析：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 详解：①不是，因为最高次数是2； ②不是，因为是分式； ③不是，因为有两个未知数； ④是； ⑤是. 综上，只有2个是一元一次不等式. 故选B． 点睛：本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义.熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键. 【变式1-1】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）下列四个选项中是一元一次不等式组的是(　　) A．x+y=1x−y>1 B．x2+x>2x+1>3 C．2x+3>xx+2>3y D．x+1>22x+3>x 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组可得答案． 【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误； B、不是一元一次不等式组，故此选项错误； C、不是一元一次不等式组，故此选项错误； D、是一元一次不等式组，故此选项正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关键是熟练掌握定义． 【变式1-2】（2022·甘肃·武威第五中学八年级期中）x+1是不小于−1的负数，则可表示为（          ） A．−1c−b C．bc>c2 D．a+c>b 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a＋c＜b＋c，故A符合题意； B、∵a＜c， ∴a−b＜c−b，故B不符合题意； C、∵b＜c， ∴bc＞c2（c＜0），故C不符合题意； D、∵0＜a＜b＜c， ∴a＋c＞b，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式2-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）下列不等式的变形正确的是（　　） A．若ay，则xm>ym C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，每个选项判断即可得出答案． 【详解】A． 若a0时，则acy，当m>0时，则xm>ym，故选项错误，不符合题意； C． 若a>b，当c2>0时，则ac2>bc2，故选项错误，不符合题意；     D． 若ac2>bc2，则a>b，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了不等式基本性质，解题的关键是熟记并会用不等式基本性质．注意：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【变式2-2】（2022·浙江温州·八年级期中）若[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4．已知[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，则[a-2b+c]可以取到的值的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据题目的定义，求得a、b、c的取值范围，再得出a-2b+c的取值范围，从而得出[a-2b+c]可能的取值． 【详解】解：∵[a]=3，[b]=-2，[c]=-1， ∴3≤a＜4，-2≤b＜-1即2＜-2b≤4，-1≤c＜0， ∴4＜a-2b+c＜8， 则[a-2b+c]=5，6，7． 故选：B． 【点睛】此题考查了不等式性质，解决本题的关键在于判断a、b、c的取值范围． 【变式2-3】（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（    ） A．DB①， B+D>A+C②， A+B=C+D③， 由③得： B=C+D−A④， 把④代入②得： C+D−A+D>A+C， 2D>2A， ∴D>A， ∴D−A>0， 由③得： D−A=B−C， ∵D−A>0， ∴B−C>0， ∴B>C， ∴D>A>B>C， 即C0的解集为x<107，则关于x的不等式ax>b−a的解集为（   ） A．x<−3 B．x>−5 C．x<−25 D．x>−25 【答案】C 【分析】先根据题意得：b=35a且2a−b<0，可得a<0，即可求解． 【详解】解：∵(2a−b)x+a−5b>0， ∴(2a−b)x+>5b−a， ∵关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<107， ∴5b−a2a−b=107 ，且2a−b<0 ， ∴35b−7a=20a−10b ，解得：b=35a ， ∵2a−b<0， ∴2a−35a<0 ， ∴a<0 ， ∵ax>b−a， ∴ax>35a−a ，即ax>−25a ， ∴x<−25 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键． 【变式3-1】（2022·江苏南京·八年级期末）关于x的不等式ax+b>c的解集为x<3，则关于x的不等式ax−2+b>c的解集为（    ） A．x<3 B．x>3 C．x<5 D．x<1 【答案】C 【分析】根据第一个不等式的解集，得出有关a，b，c的代数式的值，从而求出答案． 【详解】解：因为不等式ax+b＞c的解集为x＜3， 所以a＜0，且c-b=3a， a（x-2）+b＞c可化为：x<2a+c−ba． 而2a+c−ba=2a+3aa=5． ∴x＜5． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解法．根据不等式的性质解不等式是解题的关键． 【变式3-2】（2022·广东·深圳市龙岗区智民实验学校八年级期中）若不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0的解集是x＞94，则不等式(a－4b)x＋2a－3b＞0的解集是_____． 【答案】x＞－819 【分析】根据（2a-b）x+3a-4b＜0的解集是x＞94，可以得到a与b的关系以及b的正负，从而可以得到所求不等式的解集． 【详解】解：∵（2a-b）x+3a-4b＜0的解集为x＞94， ∴-3a−4b2a−b=94且2a-b＜0， 解得，a=56b，且a＜b2， 则b＜0， ∴（a-4b）x+2a-3b＞0， 解得，x＞-819， 故答案为：x＞-819． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利用不等式的性质解答． 【变式3-3】（2022·江西·铅山县教育局教学研究室八年级期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（　　） A．x＜﹣12 B．x＞12 C．x＞﹣12 D．x＜12 【答案】C 【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、n＜0，m=3n，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵mx-n＞0， ∴mx＞n， ∵关于x的不等式mx-n＞0的解集是x＜13， ∴m＜0，nm=13， ∴m=3n，n＜0， ∴n-m=-2n，m+n=4n， ∴关于x的不等式（m+n）x＜n-m的解集是x＞-12， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质确定m、n的数量关系和正负性是解此题的关键． 【考点4 解不等式（组）】 【例4】（2022·山东威海·八年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为x=−9． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　　） A．2x−73≥x+1 B．2x−73≤x+1 C．2x−73>x+1 D．2x−73x+1得：x＜−10；没有最小整数解，故C选项不符合题意； 解不等式2x−731−23x 【答案】(1)x≥−2 (2)−1＜x≤2 【分析】（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求出不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先分别求出两个不等式的解，再求它们公共部的解即为不等式组的解集． （1） 解：2x−13−9x+26≤1 去分母，22x−1−9x+2≤6 去括号得，4x−2−9x−2≤6 移项得，4x−9x≤6+2+2 合并同类项，−5x≤10 系数化为1得，x≥−2 ∴不等式的解为：x≥−2 （2） 解：2x−3x−2≥4①43x+3>1−23x② 化简不等式①得，2x−3x+6≥4 解得，x≤2 化简不等式②得，4x+9＞3−2x 解得，x＞−1， ∴不等式组的解集为：−1＜x≤2． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次不等式（组）的方法步骤． 【变式4-2】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（    ） A．172 B．152 C．8 D．9 【答案】D 【分析】设“□”处是a，根据题意可得：5x+2≤3x−5①5−x5−a， ∵不等式组无解， ∴5−a≥−3.5， ∴a≤8.5， ∴“□”处不可以是9， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）设x为一切数，[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．解方程x−2[x]=72． 【答案】x=−2.5 【分析】先将方程变形为x=2[x]+72，跟后根据[x]的定义，建立不等式组求解． 【详解】解：∵x−2[x]=72 ∴x=2[x]+72 ∵[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分． ∴[x]≤x<[x]+1，即[x]≤2[x]+72<[x]+1， 解得−72≤[x]<−52， ∴[x]=−3 ∴x=2×−3+72=−2.5 【点睛】本题考方程与不等式组，理解[x]的定义，建立不等式组是解题的关键． 【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】 【例5】（2022·安徽安庆·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−23y=a+53的解满足x≥y，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣138 B．a≥﹣134 C．a≤﹣92 D．a≤﹣3 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组，再根据x≥y列出关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：3x+2y=−a−1①x−23y=a+53②， ①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5， 解得：y＝﹣a﹣32， 把y＝﹣a﹣32代入②得：x﹣23（﹣a﹣32）＝a+53， 整理得：x+23a+1＝a+53， 解得：x＝13a+23， ∵x≥y， ∴13a+23≥﹣a﹣32，即43a≥﹣136， 解得：a≥﹣138． 故选：A． 【点睛】本题考查利用二元一次方程组的解求参数的值，解一元一次不等式，解题关键是求出用含字母a的式子表示方程组的解． 【变式5-1】（2022·河南驻马店·八年级期末）如果关于x的方程2x+a3=4x+b5的解是非负数．那么a与b的关系是 _____． 【答案】5a≥3b 【分析】根据题意，先解关于x的方程，再根据题意列出一元一次不等式，进而求得a的范围． 【详解】2x+a3=4x+b5， 去分母得：5(2x+a)=3(4x+b)， 去括号得：10x+5a=12x+3b， 解得：x=5a−3b2， ∵关于x的方程2x+a3=4x+b5的解不是负数， 即5a−3b2≥0， ∴5a≥3b， 故答案为：5a≥3b． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式的应用，根据题意求得方程的解是解题的关键． 【变式5-2】（2022·广西崇左·八年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组3x−2y=9−a2x−y=7的解满足x−y>0，则a的取值范围是______． 【答案】a<2 【分析】先根据二元一次方程组的解法求出方程组的解，再结合方程组的解满足x−y>0，列出不等式求解． 【详解】解：在3x−2y=9−a①2x−y=7②中， 由②得y=2x−7， 把y=2x−7代入①得x=5+a， 把x=5+a代入②得y=3+2a， ∴方程组的解是x=5+ay=3+2a． ∵方程组的解满足x−y>0， ∴5+a−3+2a>0， ∴a<2． 故答案为：a<2． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，理解二元一次方程组的解法是解答关键． 【变式5-3】（2022·河南周口·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______． 【答案】7 【分析】先求出方程组的解，再根据x＞y得出关于a的不等式，求出a的范围，再求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再求出整数a，最后求出答案即可． 【详解】解：解方程组x−y=a+32x+y=5a得：x＝2a＋1y＝a−2， ∵x＞y， ∴2a＋1＞a−2， 解得：a＞−3， 2x+1<2a①2x−1≥6②， 解不等式①，得x＜2a−12， 解不等式②，得x≥72， ∵关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解， ∴72≥2a−12， 解得：a≤4， ∴−3＜a≤4， ∵a为整数， ∴a可以为−2，−1，0，1，2，3，4， ∴所有符合条件的整数a的个数为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出a的范围−3＜a≤4是解此题的关键． 【考点6 不等式（组）中的新定义运算】 【例6】（2022·江苏南通·八年级期中）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣73是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①分三种情况：−1＜x＜0,x=0，0＜x＜1；进行讨论即可求解；②③根据定义即可求解，④先求得[x]的值，确定x的整数部分和小数部分，分两种情况可得[x]的值，代入方程可得方程的解． 【详解】解：①当−1＜x＜0时，1+x−1−x=0−1=−1； 当x=0时，1+x−1−x=1−1=0； 当0＜x＜1时，1+x−1−x=1−0=1； 故当−1＜x＜1时，1+x−1−x的值为±1或0； 故①错误； ②设[a]=n，则[a−1]=n−1， ∴[a−1]=[a]−1 ，故②正确； ③根据定义可知，a的整数部分为[a]，小数部分为a-[a]， 则0≤a−a<1， 解得a﹣1＜[a]≤a，正确； ④3x﹣2[x]+1＝0， 则x=3x+12， ∴x的整数部分为3x+12，小数部分为0≤x−3x+12<1， 解得−33①−8m−3<9② ， 由①得，m＜−34，由②得m＞−32， ∴−32＜m＜−34， ∵m为整数， ∴m=-1． 故答案为：x≤2 ；-1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，熟知解不等式组时，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 【变式6-2】（2022·湖北武汉·八年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T（2m，5−4m）≤4T（m，3−2m）＞P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____． 【答案】−2≤P<−13 【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围． 【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1， ∴a−b2+(−1)=−2,4a+2b2×4+2=1, 解得：a=1，b=3， T(2m,5−4m)=2m+3(5−4m)4m+5−4m≤4, 解得m≥−12， T(m,3−2m)=m+3(3−2m)2m+3−2m>P，解得m<9−3P5， ∵关于m的不等式组T（2m，5−4m）≤4T（m，3−2m）＞P恰好有3个整数解， ∴2<9−3P5≤3， ∴−2≤P<−13． 故答案为：−2≤P<−13． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 【变式6-3】（2022·吉林· 八年级期末）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y=ax−by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2◎1=3，4◎3=1． (1)求a、b的值； (2)求5◎（－3）的值； (3)不等式m+13◎m−12≤5的解集是______． 【答案】(1)a=4，b=5 (2)35 (3)m≥−1 【分析】（1）根据题意得：2a−b=3①4a−3b=1②，然后利用加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）利用（1）的结论可得4（m+1）3−5（m−1）2≤5，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． （1） 解；由题意得： 2a−b=3①4a−3b=1②， ①×2得： 4a−2b=6③， ③−②得： b=5， 把b=5代入①中得： 2a−5=3， 解得：a=4， ∴原方程组的解为：a=4b=5， ∴a=4，b=5； （2） 解：5◎（−3）=5a+3b=5×4+3×5=35， ∴5◎（−3）的值为35； （3） 角：∵m+13◎m−12≤5， ∴4（m+1）3−5（m−1）2≤5， ∴8（m+1）−15（m−1）≤30， ∴8m+8−15m+15≤30， ∴8m−15m≤30−8−15， ∴−7m≤7， ∴m≥−1， 故答案为：m≥−1． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 【例7】（2022·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的不等式你ax−a+6>0只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（    ） A．a≤−3 B．−6−6 【答案】B 【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴a＜0， ∴不等式的解集为x＜a−6a， 又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解， ∴2＜a−6a≤3， 解得-6＜a≤-3， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键． 【变式7-1】（2022·山东泰安·一模）若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（    ） A．8≤m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜12 【答案】D 【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵4x+m⩾0， ∴x⩾−m4， ∵不等式4x+m⩾0有且仅有两个负整数解， ∴−3<−m4⩽−2， ∴8≤m<12， 故选：D 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于参数的不等式组是解决本题的关键． 【变式7-2】（2022·重庆十八中八年级期中）关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（    ） A．−70的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：x−a<0①2x+3>0②， 解①得x−32． 则不等式组的解集是−3202x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（    ） A．3 B．4 C．5或6 D．6或7 【答案】C 【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组的整数解确定m，n的取值范围，再根据m，n都为整数，即可确定m，n的值，代入计算即可． 【详解】解不等式x−m>0， 得x>m 解不等式2x−n≤0， 得x≤12n， ∴不等式组的解集为：m4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为______． 【答案】0≤m<2##2＞m≥0 【分析】先解一元一次不等式可得x＞m+42，再根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，可得m≥0，然后根据x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，可得m＜2，最后进行计算即可解答． 【详解】解：2x﹣m＞4， 2x＞m+4， x＞m+42， ∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解， ∴m+42≥2， ∴m≥0， ∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解， ∴6﹣m＞4， ∴m＜2， ∴0≤m＜2， 故答案为：0≤m＜2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式9-2】（2022·河南·南阳市第三中学八年级期中）若实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，则a可取的最小正整数为______ 【答案】5 【分析】根据实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可取的最小正整数． 【详解】解：由不等式2x﹣a﹣2＜0，得x＜a+22， ∵实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解， ∴a+22＞3，得a＞4， ∴a可取的最小正整数为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式9-3】（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：5(x+1)=10−2(x−1)， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：a>−1， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 【考点10 根据实际问题列不等式（组)】 【例10】（2022·全国·八年级）八年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（      ） A．8x769(x1) B．8x739(x1) C．8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1) D．8x+7≤6+9(x−1)8x+7≥3+9(x−1) 【答案】C 【分析】由于设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，那么可以得到8x+7＜6+9（x-1）和8x+7＞3+9（x-1），由它们组成不等式组即可求出学生人数与种植树木数量． 【详解】∵设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人， 而若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵， ∴依题意得8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1). 故选C． 【点睛】考查了不等式组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出不等式组．弄清如何用x分别表示学生人数与种植树木数量，并且根据题意列出不等式组解决问题． 【变式10-1】（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式(    ) A．5x+220−x≥75 B．5x+220−x>75 C．5x−220−x>75 D．5x−220−x≥75 【答案】D 【分析】设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有25−x道题，根据不等关系式得分≥75，列出不等式即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有25−x道题，由题意得： 5x−2×20−x≥75，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的应用，根据题意找出不等关系，是解题的关键． 【变式10-2】（2022·浙江·八年级期中）把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（　　） A．分给8个同学，则剩余6本 B．分给6个同学，则剩余8本 C．如果分给8个同学，则每人可多分6本 D．如果分给6个同学，则每人可多分8本 【答案】C 【分析】根据代数式8（x+6）的意义，结合题意，根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】解：设每个同学分x本，8（x+6）的意义为如果分给8个同学，则每人可多分6本， 由不等式8（x+6）＞11x,可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可多分6本；若每人分11本，则有剩余． 故选C． 【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系． 【变式10-3】（2022·全国·八年级期中）某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是(　　) A．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩾1380 B．{12x+10(8=x)⩾89200x+160(8−x)⩽1380 C．{12x+10(8−x)⩾89200x+160(8−x)⩾1380 D．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩽1380 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： 12x+108−x≤89200x+1608−x≥1380 ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】 【例11】（2022·福建·泉州市城东中学八年级期中）若不等式x+22−4，据此知x>−4都能使不等式m−7x<2m+3成立，再分m−7=0和m−7>0以及m−7<0分别求解． 【详解】解不等式x+22−4， ∵ x>−4都能使不等式m−7x<2m+3成立， 当m−7=0，即m=7时，则x>−4都能使0⋅x<17恒成立； 当m−7>0时，不等式m−7x<2m+3的解集为x<2m+3m−7，不符合题意， ∴m−7<0，即m<7， ∴不等式m−7x<2m+3的解集为x>2m+3m−7， ∵ x>−4都能使不等式x>2m+3m−7成立， ∴−4≥2m+3m−7， 解得m≥256， 综上，实数m的取值范围是256≤m≤7， 故答案为：256≤m≤7． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键． 【变式11-1】（2022·河北沧州·八年级期末）若不等式2x+5<1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1−3时，−2m⩽3， 解得m⩾−32， 此时m⩾−32； ②若−2m⩾15−m3，即m⩽−3时，15−m3⩽3， 解得m⩾6，与m⩽−3不符，舍去； 故答案为：m⩾−32． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】 【例12】（2022·新疆乌鲁木齐·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=3k+12x+3y=−k+2，且−1的意义是解题的关键． 【考点13 不等式的应用】 【例13】（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样)摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为21cm． (1)求出一个碗的高度是多少？ (2)李老师家的碗柜每格的高度为36cm，求李老师一摞碗最多只能放多少只？ 【答案】(1)5cm； (2)李老师最多能放16只碗． 【分析】（1）设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，可得碗的高度和碗的个数的关系式为高度=个数×碗底高度+碗身高度，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，列方程组即可求解； （2）根据（1）得出碗底的高度和碗身的高度，再根据碗橱的高度为36cm，列不等式求解． （1） 解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，由题意得， 6x+y=159x+y=21 ， 解得：x=2y=3 ， 则一个碗的高度为：2+3=5（cm）． （2） 设李老师一摞碗能放a只碗， 2a+3≤36， 解得：a≤332， 故李老师一摞碗最多只能放16只碗． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解． 【变式13-1】（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校八年级期中）为建设“醉美泸州”，泸州市绿化改造工程正如火如荼进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对蜀泸大道某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元，若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？ 【答案】240棵 【分析】设购买甲种树苗x棵，则购买一种（400-x）棵，然后根据“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列不等式求解即可． 【详解】解：设购买甲种树苗x棵，则购买一种（400-x）棵， 由题意得：200x≥300（400-x）， 解得：x≥240． 答：至少应购买甲种树苗240棵． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、找到不等关系、列出一元一次不等式是解答本题的关键． 【变式13-2】（2022·广东·东莞市万江第二中学八年级期中）为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求a、b的值； (2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案． 【答案】(1)a的值为12，b的值为10 (2)该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备． (3)购进1台A型设备，9台B型设备最省钱． 【分析】（1）根据“买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，根据总价=单价×数量结合购买设备的资金不超过105万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x为非负整数，即可得出各购买方案； （3）根据处理污水的总量=单台设备处理污水量×数量结合处理污水量不低于2040吨，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合（2）的结论可得出x的值，再求出两种进货方案所需费用，比较后即可得出结论． （1） 解：依题意，得：a−b=23b−2a=6， 解得：a=12b=10． 答：a的值为12，b的值为10． （2） 解：设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备， 依题意，得：12x+10（10-x）≤105， 解得：x≤212． ∵x为非负整数， ∴x=0，1，2， ∴该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备． （3） 解：依题意，得：240x+200（10-x）≥2040， 解得：x≥1， ∵x≤212，且x为整数， ∴x=1，2． 当x=1时，购进10台设备的费用为12+10×9=102（万元）， 当x=2时，购进10台设备的费用为12×2+10×8=104（万元）． ∵102＜104， ∴购进1台A型设备，9台B型设备最省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式13-3】（2022·福建泉州·八年级期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表： 请列方程（组）、不等式解答下列各题； (1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？ (2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值． (3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？ 【答案】(1)该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元； (2)8 (3)商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具 【分析】（1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可； （2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可； （3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45，列出不等式求解即可． (1) 解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个， 由题意得：x+y=30090x+60y=23400， 解得x=180y=120， ∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个 120−90×180+80−60×120=7800， ∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元， 答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元； (2) 解：由题意得：120×200×34+80×100×12+120×0.1a×200×1−34+80−2a×100×12=30000 解得a=8； (3) 解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”， 由题意得：120−90m≥45×80−60200−m， ∴30m≥3200−16m， 解得m≥160023， 又∵m是正整数， ∴m的最小值为70， ∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具， 答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是关键． 【考点14 根据不等式组的解求参数】 【例14】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）若不等式组x≥ax＜2有解，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≤2 D．a≥2 【答案】B 【分析】根据题中不等式组有解，求得解集即可得到结论 【详解】解：∵不等式组x≥ax＜2有解， ∴根据不等式组解集求解原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”可知，当a<2时，不等式组的解集为a≤x<2， 故选：B． 【点睛】本题考查由不等式组解的情况确定参数范围，掌握不等式组求解集的原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 【变式14-1】（2022·湖北孝感·八年级期末）已知不等式x+a>12x+b<2的解集为−21①2x+b<2②， 解不等式①得x>1−a， 解不等式②得x<2−b2， ∴不等式组的解为：1−a12y−a≤0的解集为y<−2，则符合条件的所有整数a的和为（　　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据关于x的方程的解为正数即可得出a<6且a≠2，根据不等式组的解集为y<−2，即可得出a≥−2，找出−2≤a<6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解：由方程2−a=4(x−1)的解为x=6−a4， ∵x≠1， ∴6−a4≠1，解得：a≠2； ∵关于x的方程2−a=4(x−1)的解为正数， ∴6−a4>0，解得：a<6 ∵{y+23−y2>1①2(y−a)≤0② 解不等式①得：y<−2； 解不等式②得：y≤a； ∵关于y的不等式组{y+23−y2>12(y−a)≤0的解集为y<−2 ∴a≥−2； ∴−2≤a<6，且a≠2； ∵a为整数， ∴a=−2、−1、0、1、3、4、5； ∵−2+(−1)+0+1+3+4+5=10， 所以符合条件的所有整数a的和是10． 故选A． 【点睛】本题考查含参的方程以及不等式，熟练掌握解含参的方程和不等式是本题解题关键，注意分析含参的不等式时要考虑端点． 【变式14-3】（2022·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如果不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m，那么m的取值范围是（　　） A．m≥3 B．m≤3 C．m＝3 D．m＜3 【答案】A 【分析】先求得不等式-4x+1＜-8-x的解，然后再根据不等式组解集判断方法可确定出m的范围． 【详解】−4x+1<−8−x①x>m② ∵不等式①的解集为x＞3， 又∵不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m． ∴m≥3． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 【考点15 分式方程的解与不等式的综合】 【例15】（2022·江苏淮安·八年级期末）若关于x的分式方程m2x−4=1−x2−x−2的根是正数，则实数m的取值范围是（    ） A．m>−4，且m≠0 B．m<10且，m≠2 C．m<0，且m≠−4 D．m<6且，m≠2 【答案】D 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：方程两边同乘2（x﹣2）得： m=2（x-1）﹣4（x-2）， 解得：x=6−m2． ∵6−m2≠2， ∴m≠2， 由题意得：6−m2＞0， 解得：m＜6， ∴实数m的取值范围是：m＜6且m≠2． 故选：D． 【点睛】此题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法． 【变式15-1】（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组x>m−2−2x+1≥4m−3有解，且使关于x的分式方程1x−2−m−x2−x=2有非负整数解的所有m的值的和是（    ） A．-1 B．2 C．-6 D．0 【答案】C 【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和． 【详解】解：∵关于x的不等式组x>m−2−2x+1≥4m−3有解， 由−2x+1≥4m−3可得：x≤2−2m ∴m−2<2−2m， 解得m<43， 由1x−2−m−x2−x=2解得x=m+53， ∵分式方程1x−2−m−x2−x=2有非负整数解， ∴x=m+53是非负整数， ∵m<43， ∴m=1，−5，−2， ∴1−5−2=−6， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解和不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键． 【变式15-2】（2022·重庆南开中学八年级期末）若关于x的方程3−x2−x+ax−2=3有非负整数解，且关于y的不等式组{y−a2⩾−1y+3<3(y−1)的解集为y>3，则所有满足条件的整数a的值之和为（） A．－1 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先解分式方程，得x=a+32，再根据题意可得a的取值范围，再解不等式组，根据题意可得a−2⩽3，进一步可得a的取值范围，即可求出满足条件的整数a的和． 【详解】解：方程3−x2−x+ax−2=3， 去分母，得−3+x+a=3(x−2)， 解得x=a+32， ∵方程有非负整数解， ∴ a+32⩾0且a+32为不等于2的整数， 解得a⩾−3且a≠1， 解不等式y−a2⩾−1， 得y⩾a−2， 解不等式y+3<3(y−1)， 得y>3， ∵不等式组的解集为y>3， ∴a−2⩽3， 解得a⩽5， ∴−3⩽a⩽5且a≠1， ∵ a+32为整数， ∴a可取值−3，−1，3，5， −3+(−1)+3+5=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集等，解题的关键是熟练掌握解分式方程和不等式组的方法． 【变式15-3】（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）若整数a使关于x的分式方程1x−3+x−a3−x=1的解为非负整数，且使关于y的不等式组y+53≤y2y−3>2y−a至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．14 B．12 C．6 D．4 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：解不等式y+53⩽y2得：y⩾10， 解不等式y−3>2(y−a)得：y<2a−3， ∵不等式组至多有3个整数解， ∴2a−3⩽13，解得a≤8， 方程1x−3+x−a3−x=1，去分母得1−x+a=x−3，解得：x=a+42， ∵分式方程有非负整数解， ∴x⩾0(x为非负整数）且x≠3， ∴ a+42⩾0且a+42≠3， ∴a⩾−4，取偶数且a≠2， ∴−4⩽a⩽8且a≠2且a为偶数， ∴符合条件的所有整数a的值为：−4，−2，0，4，6，8， ∴符合条件的所有整数a的和是：12， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． 【考点16 不等式组的应用】 【例16】（2022·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级开学考试）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得15−2x3≥1x≥1，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个， 根据题意列出不等式组：15−2x3≥1x≥1， 解得：1≤x≤6， 当x=1时，15−2×13=133，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当x=2时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当x=3时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当x=4时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当x=5时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当x=6时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有4+3+3+2+1+1=14（种）不同的购买方案， 故选D． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【变式16-1】（2022·安徽·郎溪实验一模）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元． (1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？ 【答案】(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台 (2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台 【分析】（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果． （2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案． (1) 解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得： x+y=501500x+2100y=90000， 解得：x=25y=25， ②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：m+n=502500m+2100n=90000， 解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意． ③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：a+b=501500a+2500b=90000， 解得：a=35b=15， ∴进货方案有两种： ①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台， ②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台， (2) 解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得： 2500s+2100⋅3s+50−4s⋅1500≤90000250s+200⋅3s+15050−4s≥8500， 解得：4≤s≤5514， ∵s为整数， ∴s＝4或5， 当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台， s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台， 答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台， ②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台． 【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程组，以及根据题意列出不等式组． 【变式16-2】（2022·浙江台州·八年级期末）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛． (1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？ (2)现有大桶和小桶共23个，且大桶的个数小于小桶个数的2倍．如果这些桶能装下50斛的酒，求所有满足条件的大桶和小桶的个数？ 【答案】(1)1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛； (2)需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个． 【分析】（1）设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2） 设需要m个大桶，（23-m）个小桶，列出不等式组求解即可． （1） 设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶以盛酒y斛， 5x+2y=17x+5y=8， 解得x=3y=1． 答：1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛； （2） 设需要m个大桶，（23-m）个小桶，则 0