初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品学案

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品学案，共5页。学案主要包含了计算x1+等内容，欢迎下载使用。

导学探究：


阅读教材，回答下列问题：


1、回忆：一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的求根公式是_____________.由求根公式可知, 一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。


2.(1)方程（x-x1）(x-x2)= 0 与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？


_____(答“是”或“否”)。


(2)方程（x-x1）(x-x2)= 0的两个根据是_________________.


方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________


(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为______, 一次项系数p=______, 常数项q=_____,反之，方程x2+px +q =0 两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+ x2=______, x1x2=_______.


3、一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1=__________,x2 =___________.


(1) 计算x1+ x2和 x1x2的值。


（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。


归纳梳理


1、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+ x2=________, x1x2=__________.


一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________.


2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.


典例探究


1．不解方程求两个根之和与积


【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积．





总结：在使用根与系数的关系时，应注意：


不是一般式的要先化成一般式；


2．已知一元二次方程的两根求系数


【例2】关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．




















总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．


练2．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）


A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2





3．已知一元二次方程的一个根求另一个根


【例3】已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为 ．


总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：


把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；


（2） 根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．


4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负


【例4】方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（ ）


A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．两根都为负





总结：


不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；


首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；


练4．方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（ ）


A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定








21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时)


导学探究


1．一元二次方程的一般形式是_______________.


2. 一元二次方程的求根公式是______________________.


3. 判别式与一元二次方程根的情况：


4. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2与系数a,b,c的关系是什么？


典例探究


1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围


总结：


已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.


练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x1•x2﹣x12﹣x22≥0，求k的取值范围.











【例2】已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0


（1）当m取何值时，方程有两个实数根？


（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．


总结：


一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△的关系如下：


（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；


（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；


（3）△＜0⇔方程没有实数根．





课堂小练


一、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )


A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为( )


A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2


LISTNUM OutlineDefault \l 3 一元二次方程 x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）


A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根


C.只有一个实数根 D.没有实数根


LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列一元二次方程没有实数根的是( )


A.x2＋2x＋1=0 B.x2＋x＋2=0 C.x2－1=0 D.x2－2x－1=0


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则另一个根是( )


A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）


A．1 B．5 C．﹣5 D．6





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为（ ）


A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设方程x2﹣5x﹣1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值是（ ）


A.﹣6 B.6 C.﹣4 D.4


二、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 方程x2﹣(k+1)x+k+2=0有两个相等的实数根.则k= .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如果方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是 .


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知x1和x2分别为方程x2+x﹣2=0的两个实数根，那么x1+x2= ；x1•x2= ．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，则b+c的值是 ．


三、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知关于x的方程x2+x+n=0


(1)若方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围


(2)若方程的两个实数根分别为﹣2，m，求m，n的值.




















参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 D


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 B


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案是：7或﹣1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：k．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：k≤1.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：﹣1；﹣2．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：﹣3．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：设方程的另一个根为x2，


根据题意，得：，解得：，


∴方程的另一个根位5，k的值为﹣10．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵方程x2+x+n=0有两个不相等的实数根，


∴△=12﹣4n＞0，


解得：n＜0.25.


(2)由题意，得：m+(﹣2)=﹣1，


∴m=1.


又∵﹣2m=n，


∴n=﹣2.