【精品导学案】人教版 九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径导学案（含答案）
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一、新课导入
1、圆是轴对称图形，经过直径的直线是圆的对称轴，一个圆有无数条对称轴；
2、把一个圆沿一条直径对折，直径两侧的半圆有什么关系？
二、学习目标
1、掌握垂径定理和垂径定理的推论；
2、能利用垂径定理及垂径定理的推论解决实际问题。
三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。
（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
研读一、认真阅读课本
要求：掌握垂径定理，会用几何语言表示垂径定理。一边阅读一边完成检测一。
检测练习一、
1、圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条过圆心的直线，一个圆有无数条对称轴。
2、圆心到弧的垂线段的长度叫做弦心距。
3、如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，则有AM=BM ，=，=，
4、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、垂径定理的两个条件：①直径；②垂直于弦。结论：③平分弦；④平分弦所对的两条弧。
完成尝试应用
6、下列四个图形中第几个可以用垂径定理：
【解析】第一个图形中的AB虽然垂直于弦CD，但是AB不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；
第二个图形中的AB虽然是直径，但是AB不垂直于弦CD，所以不能用垂径定理；
第三个图形中的OE虽然垂直于弦CD，但是OE不是⊙O的直径，所以不能用垂径定理；
第四个图形中的AB是⊙O的直径，并且AB垂直于弦CD，所以能用垂径定理；
研读二、认真阅读课本，利用圆的轴对称性探索垂径定理的推论；
问题探究：
7、如下图所示，CD是⊙O的直径，AM=BM，求证：CD⊥AB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
证明：连接OA、OB，
在△OAM和△OBM中，
，
∴△OAM≌△OBM，
∴∠OMA=∠OMB=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD是对称轴，
∴把⊙O沿CD折叠时，点A与点B重合，
∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
结论：根据圆是轴对称图形可得：
1、平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；
2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.
检测练习二、
8、如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为M，求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
证明：连接OA、OB，
∵CD⊥AB，
∴∠OMA=∠OMB=90°，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
，
∴△OAM≌△OBM，
∴AM=BM，
∴CD是对称轴，
∴把⊙O沿CD折叠时，点A与点B重合，
∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.
小窍门：通过连接弦的两个端点与圆心构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明垂径定理.
研读三、利用垂径定理探索夹在两条平行弦之间的两条弧的关系。
9、已知，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，弧AE和弧BF有什么关系？
【解析】∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴弧DE=弧DF，
同理可证：弧AD=弧BD，
∴弧AE=弧BF.
结论：夹在两条平行弦之间的弧相等.
研读四：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
【解析】过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE.
∴AC＝BD
检测练习三、
10、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
【解析】过点O作OD⊥AB于D，并延长OD交于点C，
则AD=BD==18.7m，OA=OC=OB=R，
∵CD=7.2m，
∴OD=R-7.2m，
∵，
∴，
解得：R≈27.9，
答：桥拱的半径是27.9m.
四、完成随堂练习(PPT)
五、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？
（二）你认为应该注意什么问题？
六、作业布置：完成课后练习.
